Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c2lem3 42128
Description: Lemma for aks6d1c2 42132 to simplify context. (Contributed by metakunt, 1-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c2.1 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c2.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c2.3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks6d1c2.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c2.5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c2.6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c2.7 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c2.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c2.9 (𝜑𝐹:(0...𝐴)⟶ℕ0)
aks6d1c2.10 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c2.11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c2.12 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c2.13 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
aks6d1c2.14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c2.15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c2.16 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c2.17 𝐻 = ( ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ (((eval1𝐾)‘(𝐺))‘𝑀))
aks6d1c2.18 𝐵 = (⌊‘(√‘(♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))))
aks6d1c2.19 𝐶 = (𝐸 “ ((0...𝐵) × (0...𝐵)))
aks6d1c2.20 (𝜑𝐼𝐶)
aks6d1c2.21 (𝜑𝐽𝐶)
aks6d1c2.22 (𝜑𝐼 < 𝐽)
aks6d1c2.23 = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
aks6d1c2.24 𝑋 = (var1𝐾)
aks6d1c2.25 𝑆 = ((𝐽 𝑋)(-g‘(Poly1𝐾))(𝐼 𝑋))
aks6d1c2.26 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
aks6d1c2.27 (𝜑𝐽 = (𝐼 + (𝑈 · 𝑅)))
aks6d1c2p3.1 (𝜑𝑠 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
aks6d1c2p3.2 (𝜑𝑟 ∈ (0...𝐵))
aks6d1c2p3.3 (𝜑𝑜 ∈ (0...𝐵))
aks6d1c2p3.4 (𝜑𝐽 = (𝑟𝐸𝑜))
aks6d1c2p3.5 (𝜑𝑝 ∈ (0...𝐵))
aks6d1c2p3.6 (𝜑𝑞 ∈ (0...𝐵))
aks6d1c2p3.7 (𝜑𝐼 = (𝑝𝐸𝑞))
aks6d1c2p3.8 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
aks6d1c2lem3 (𝜑 → (𝐽(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
Distinct variable groups:   ,𝑎   𝐴,𝑎   𝐴,𝑔,𝑖   𝑥,𝐴   𝑒,𝐺,𝑓,𝑦   𝐾,𝑎   𝑒,𝐾,𝑓,𝑦   𝑔,𝐾,𝑖   𝑥,𝐾   𝑦,𝑀   𝑁,𝑎   𝑒,𝑁,𝑓,𝑦   𝑘,𝑁,𝑙   𝑥,𝑁   𝑃,𝑒,𝑓,𝑦   𝑃,𝑘,𝑙   𝑥,𝑃   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑥,𝑅   𝜑,𝑎   𝑒,𝑜,𝑓,𝑦   𝑒,𝑝,𝑓,𝑦   𝑒,𝑞,𝑓,𝑦   𝑒,𝑟,𝑓,𝑦   𝑒,𝑠,𝑓,𝑦   𝜑,𝑔,𝑖   𝑔,𝑠,𝑖   𝑘,𝑜,𝑙   𝑘,𝑝,𝑙   𝜑,𝑘,𝑙   𝑘,𝑞,𝑙   𝑘,𝑟,𝑙   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑒,𝑓,,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑒,𝑓,,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝑃(𝑔,,𝑖,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎)   (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝑅(𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝐾(,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑙)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝑀(𝑥,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)   𝑁(𝑔,,𝑖,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑜,𝑠,𝑟,𝑞,𝑝,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c2lem3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks6d1c2p3.4 . . . 4 (𝜑𝐽 = (𝑟𝐸𝑜))
2 aks6d1c2.12 . . . . . 6 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙))))
4 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑟𝑙 = 𝑜)) → 𝑘 = 𝑟)
54oveq2d 7448 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑟𝑙 = 𝑜)) → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑟))
6 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑟𝑙 = 𝑜)) → 𝑙 = 𝑜)
76oveq2d 7448 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑟𝑙 = 𝑜)) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))
85, 7oveq12d 7450 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑟𝑙 = 𝑜)) → ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) = ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)))
9 aks6d1c2p3.2 . . . . . 6 (𝜑𝑟 ∈ (0...𝐵))
10 elfznn0 13661 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (0...𝐵) → 𝑟 ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑟 ∈ ℕ0)
12 aks6d1c2p3.3 . . . . . 6 (𝜑𝑜 ∈ (0...𝐵))
13 elfznn0 13661 . . . . . 6 (𝑜 ∈ (0...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑜 ∈ ℕ0)
15 ovexd 7467 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)) ∈ V)
163, 8, 11, 14, 15ovmpod 7586 . . . 4 (𝜑 → (𝑟𝐸𝑜) = ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)))
171, 16eqtrd 2776 . . 3 (𝜑𝐽 = ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)))
1817oveq1d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐽(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
19 aks6d1c2p3.7 . . . . 5 (𝜑𝐼 = (𝑝𝐸𝑞))
20 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑝𝑙 = 𝑞)) → 𝑘 = 𝑝)
2120oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑝𝑙 = 𝑞)) → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑝))
22 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑝𝑙 = 𝑞)) → 𝑙 = 𝑞)
2322oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑝𝑙 = 𝑞)) → ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙) = ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))
2421, 23oveq12d 7450 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝑝𝑙 = 𝑞)) → ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)) = ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)))
25 aks6d1c2p3.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑝 ∈ (0...𝐵))
26 elfznn0 13661 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (0...𝐵) → 𝑝 ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑝 ∈ ℕ0)
28 aks6d1c2p3.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑞 ∈ (0...𝐵))
29 elfznn0 13661 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ (0...𝐵) → 𝑞 ∈ ℕ0)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑞 ∈ ℕ0)
31 ovexd 7467 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)) ∈ V)
323, 24, 27, 30, 31ovmpod 7586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑝𝐸𝑞) = ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)))
3319, 32eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑𝐼 = ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)))
3433oveq1d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
35 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀))
3635oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
37 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
3837fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑀 → (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
3936, 38eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑦 = 𝑀 → ((((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))))
40 aks6d1c2.1 . . . . . . 7 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
41 aks6d1c2.2 . . . . . . 7 𝑃 = (chr‘𝐾)
42 aks6d1c2.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Field)
43 aks6d1c2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 aks6d1c2.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
45 aks6d1c2.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
46 aks6d1c2.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝑁)
47 aks6d1c2.8 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
48 aks6d1c2p3.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑠 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
49 nn0ex 12534 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
51 ovexd 7467 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ V)
52 elmapg 8880 . . . . . . . . 9 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝐴) ∈ V) → (𝑠 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑠:(0...𝐴)⟶ℕ0))
5350, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑠:(0...𝐴)⟶ℕ0))
5448, 53mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑𝑠:(0...𝐴)⟶ℕ0)
55 aks6d1c2.10 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
56 aks6d1c2.11 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
57 eqid 2736 . . . . . . 7 ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)) = ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))
58 aks6d1c2.14 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
59 aks6d1c2.15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
6040, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 54, 55, 56, 27, 30, 57, 58, 59aks6d1c1rh 42127 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)) (𝐺𝑠))
6140, 60aks6d1c1p1rcl 42110 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)) ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑠) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))))
6261simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑠) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
6361simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)) ∈ ℕ)
6440, 62, 63aks6d1c1p1 42109 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)) (𝐺𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))))
6560, 64mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))
66 aks6d1c2.16 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
6739, 65, 66rspcdva 3622 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
6833eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞)) = 𝐼)
6968oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
7017eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)) = 𝐽)
7170oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (𝐽(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
72 aks6d1c2.27 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = (𝐼 + (𝑈 · 𝑅)))
7372oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = ((𝐼 + (𝑈 · 𝑅))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
7442fldcrngd 20743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
75 crngring 20243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
77 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
7877ringmgp 20237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd)
7976, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd)
80 aks6d1c2p3.8 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
81 aks6d1c2.26 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
8281nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℕ0)
8344nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
8482, 83nn0mulcld 12594 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 · 𝑅) ∈ ℕ0)
8577crngmgp 20239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ CRing → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
8674, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (mulGrp‘𝐾) ∈ CMnd)
87 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
8886, 83, 87isprimroot 42095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑣 ∈ ℕ0 ((𝑣(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑣))))
8988biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) → (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑣 ∈ ℕ0 ((𝑣(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑣))))
9066, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) ∧ ∀𝑣 ∈ ℕ0 ((𝑣(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)) → 𝑅𝑣)))
9190simp1d 1142 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
9280, 84, 913jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑈 · 𝑅) ∈ ℕ0𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
93 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
94 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g‘(mulGrp‘𝐾)) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
9593, 87, 94mulgnn0dir 19123 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd ∧ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑈 · 𝑅) ∈ ℕ0𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))) → ((𝐼 + (𝑈 · 𝑅))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = ((𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑈 · 𝑅)(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
9679, 92, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐼 + (𝑈 · 𝑅))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = ((𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑈 · 𝑅)(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
9782, 83, 913jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))))
9893, 87mulgnn0ass 19129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd ∧ (𝑈 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))) → ((𝑈 · 𝑅)(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (𝑈(.g‘(mulGrp‘𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
9979, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑅)(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (𝑈(.g‘(mulGrp‘𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
10090simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
101100oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈(.g‘(mulGrp‘𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = (𝑈(.g‘(mulGrp‘𝐾))(0g‘(mulGrp‘𝐾))))
102 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
10393, 87, 102mulgnn0z 19120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd ∧ 𝑈 ∈ ℕ0) → (𝑈(.g‘(mulGrp‘𝐾))(0g‘(mulGrp‘𝐾))) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
10479, 82, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈(.g‘(mulGrp‘𝐾))(0g‘(mulGrp‘𝐾))) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
105101, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈(.g‘(mulGrp‘𝐾))(𝑅(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
10699, 105eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑅)(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (0g‘(mulGrp‘𝐾)))
107106oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑈 · 𝑅)(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = ((𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g‘(mulGrp‘𝐾))(0g‘(mulGrp‘𝐾))))
10893, 87, 79, 80, 91mulgnn0cld 19114 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
10993, 94, 102mndrid 18769 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝐾) ∈ Mnd ∧ (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐾))) → ((𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g‘(mulGrp‘𝐾))(0g‘(mulGrp‘𝐾))) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
11079, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g‘(mulGrp‘𝐾))(0g‘(mulGrp‘𝐾))) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
111107, 110eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)(+g‘(mulGrp‘𝐾))((𝑈 · 𝑅)(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
11296, 111eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼 + (𝑈 · 𝑅))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
11373, 112eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
11471, 113eqtr2d 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
11569, 114eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
116115fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
11735oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 → (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
118 oveq2 7440 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑀 → (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))
119118fveq2d 6909 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑀 → (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
120117, 119eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑀 → ((((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)) ↔ (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀))))
121 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)) = ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))
12240, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 54, 55, 56, 11, 14, 121, 58, 59aks6d1c1rh 42127 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)) (𝐺𝑠))
12340, 122aks6d1c1p1rcl 42110 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)) ∈ ℕ ∧ (𝐺𝑠) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))))
124123simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)) ∈ ℕ)
12540, 62, 124aks6d1c1p1 42109 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜)) (𝐺𝑠) ↔ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦))))
126122, 125mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))
127120, 126, 66rspcdva 3622 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)))
128127eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
129116, 128eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘(((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑀)) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
13067, 129eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (((𝑃𝑝) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑞))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
13134, 130eqtr2d 2777 . 2 (𝜑 → (((𝑃𝑟) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑜))(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
13218, 131eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝐽(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)) = (𝐼(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘(𝐺𝑠))‘𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  {copab 5204  cmpt 5224   × cxp 5682  cima 5687  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  m cmap 8867  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   / cdiv 11921  cn 12267  0cn0 12528  ...cfz 13548  cfl 13831  cexp 14103  chash 14370  csqrt 15273  cdvds 16291   gcd cgcd 16532  cprime 16709  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  -gcsg 18954  .gcmg 19086  CMndccmn 19799  mulGrpcmgp 20138  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232   RingIso crs 20471  Fieldcfield 20731  ℤRHomczrh 21511  chrcchr 21513  ℤ/nczn 21514  algSccascl 21873  var1cv1 22178  Poly1cpl1 22179  eval1ce1 22319   PrimRoots cprimroots 42093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-phi 16804  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-rim 20474  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-chr 21517  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evl1 22321  df-primroots 42094
This theorem is referenced by:  aks6d1c2lem4  42129
  Copyright terms: Public domain W3C validator