Theorem aks6d1c1p5 42072

Description: The product of exponents is introspective. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1p5.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1p5.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1p5.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1p5.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1p5.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1p5.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1p5.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1p5.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1p5.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1p5.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1p5.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1p5.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1p5.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1p5.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1p5.16	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p5.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1p5.18	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p5.19	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p5	⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹)

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝐵,𝑒,𝑓   𝐷,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   + (𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑦,𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p5

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p5.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
3		aks6d1c1p5.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
4	3	crngmgp 20206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
6	5	cmnmndd 19790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑉 ∈ Mnd)
8		aks6d1c1p5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
9		aks6d1c1p5.18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∼ 𝐹)
10	8, 9	aks6d1c1p1rcl 42068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
11	10	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
14		aks6d1c1p5.19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
15	8, 14	aks6d1c1p1rcl 42068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
16	15	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 12570	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
19		aks6d1c1p5.11	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
20		aks6d1c1p5.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
21		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22		aks6d1c1p5.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
24		aks6d1c1p5.15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
26		aks6d1c1p5.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
27	5, 25, 26	isprimroot 42053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞))))
28	27	biimpd 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞))))
29	28	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞)))
30	29	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
31	3, 21	mgpbas 20110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉))
33	32	eqcomd 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
35	30, 34	eleqtrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
36	10	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
38	19, 20, 21, 22, 23, 35, 37	fveval1fvcl 22285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
39	34	eleq2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾)))
40	38, 39	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
41	13, 18, 40	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉)))
42		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
43	42, 26	mulgnn0ass 19097	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
44	7, 41, 43	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
45		eqidd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)) = (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)))
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑙 = 𝑦) → 𝑙 = 𝑦)
47	46	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑙 = 𝑦) → (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸 ↑ 𝑦))
48		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅))
49	42, 26, 7, 18, 30	mulgnn0cld 19082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ 𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
50	45, 47, 48, 49	fvmptd 7003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦) = (𝐸 ↑ 𝑦))
51	50	fveq2d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
52	51	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
53	52	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
54		2fveq3 6891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))
55	54	oveq2d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
56		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))
57	56	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))
58	57	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
59	55, 58	eqeq12d 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))))
60	8, 36, 11	aks6d1c1p1 42067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
61	60	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∼ 𝐹 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
62	9, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦)))
63	26	oveqi 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸(.g‘𝑉)𝑙)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸(.g‘𝑉)𝑙))
65	64	mpteq2ia 5225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)) = (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸(.g‘𝑉)𝑙))
66		aks6d1c1p5.16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
67	65, 5, 24, 16, 66	primrootscoprbij2 42063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–1-1-onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅))
68		f1ofo 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–1-1-onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅))
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅))
70		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
71	70	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
72		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = (𝐷 ↑ 𝑦))
73	72	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦)))
74	71, 73	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
75	74	cbvfo 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅) → (∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
76	69, 75	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
77	62, 76	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))))
78	77	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))))
79	59, 78, 48	rspcdva 3606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
80	50	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)))
81	80	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
82	79, 81	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
83	53, 82	eqtr2d 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
84		fveq2 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑧) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
85	84	oveq2d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
86		oveq2 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ 𝑧) = (𝐸 ↑ 𝑦))
87	86	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
88	85, 87	eqeq12d 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
89	8, 36, 16	aks6d1c1p1 42067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
90	89	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
91	14, 90	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
92		nfv 1913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧))
93		nfv 1913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))
94	92, 93, 88	cbvralw 3289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
95	91, 94	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
96	95	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
97	88, 96, 48	rspcdva 3606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
98	97	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
99	98	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
100	83, 99	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
101	100	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
102	13, 18, 30	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉)))
103	42, 26	mulgnn0ass 19097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)))
104	103	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))
105	7, 102, 104	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))
106	105	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
107	44, 101, 106	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
108	107	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
109	11, 16	nnmulcld 12301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∈ ℕ)
110	8, 36, 109	aks6d1c1p1 42067	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))))
111	108, 110	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   class class class wbr 5123  {copab 5185   ↦ cmpt 5205  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1c1 11138   · cmul 11142  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509   ∥ cdvds 16272   gcd cgcd 16513  ℙcprime 16690  Basecbs 17229  +_gcplusg 17273  0_gc0g 17455  Mndcmnd 18716  ._gcmg 19054  CMndccmn 19766  mulGrpcmgp 20105  CRingccrg 20199  Fieldcfield 20698  chrcchr 21474  algSccascl 21826  var₁cv1 22125  Poly₁cpl1 22126  eval₁ce1 22266   PrimRoots cprimroots 42051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-hom 17297  df-cco 17298  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-prds 17463  df-pws 17465  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-mhm 18765  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-ghm 19200  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-rhm 20440  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-field 20700  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-assa 21827  df-asp 21828  df-ascl 21829  df-psr 21883  df-mvr 21884  df-mpl 21885  df-opsr 21887  df-evls 22046  df-evl 22047  df-psr1 22129  df-ply1 22131  df-evl1 22268  df-primroots 42052

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p8  42075  aks6d1c1  42076