Theorem aks6d1c1p5 42803

Description: The product of exponents is introspective. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1p5.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1p5.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1p5.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1p5.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1p5.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1p5.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1p5.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1p5.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1p5.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1p5.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1p5.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1p5.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1p5.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1p5.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1p5.16	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p5.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1p5.18	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p5.19	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p5	⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹)

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝐵,𝑒,𝑓   𝐷,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   + (𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑦,𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p5

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p5.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
3		aks6d1c1p5.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
4	3	crngmgp 20323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
6	5	cmnmndd 19874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
7	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑉 ∈ Mnd)
8		aks6d1c1p5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
9		aks6d1c1p5.18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∼ 𝐹)
10	8, 9	aks6d1c1p1rcl 42799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
11	10	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
13	12	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
14		aks6d1c1p5.19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
15	8, 14	aks6d1c1p1rcl 42799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
16	15	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
19		aks6d1c1p5.11	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
20		aks6d1c1p5.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
21		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22		aks6d1c1p5.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
24		aks6d1c1p5.15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
26		aks6d1c1p5.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
27	5, 25, 26	isprimroot 42784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞))))
28	27	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞))))
29	28	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞)))
30	29	simp1d 1158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
31	3, 21	mgpbas 20221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉))
33	32	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
35	30, 34	eleqtrd 2871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
36	10	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
38	19, 20, 21, 22, 23, 35, 37	fveval1fvcl 22462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
39	34	eleq2d 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾)))
40	38, 39	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
41	13, 18, 40	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉)))
42		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
43	42, 26	mulgnn0ass 19176	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
44	7, 41, 43	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
45		eqidd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)) = (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)))
46		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑙 = 𝑦) → 𝑙 = 𝑦)
47	46	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑙 = 𝑦) → (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸 ↑ 𝑦))
48		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅))
49	42, 26, 7, 18, 30	mulgnn0cld 19161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ 𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
50	45, 47, 48, 49	fvmptd 6998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦) = (𝐸 ↑ 𝑦))
51	50	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
52	51	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
53	52	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
54		2fveq3 6887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))
55	54	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
56		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))
57	56	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))
58	57	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
59	55, 58	eqeq12d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))))
60	8, 36, 11	aks6d1c1p1 42798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
61	60	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∼ 𝐹 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
62	9, 61	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦)))
63	26	oveqi 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸(.g‘𝑉)𝑙)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸(.g‘𝑉)𝑙))
65	64	mpteq2ia 5210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)) = (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸(.g‘𝑉)𝑙))
66		aks6d1c1p5.16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
67	65, 5, 24, 16, 66	primrootscoprbij2 42794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–1-1-onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅))
68		f1ofo 6829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–1-1-onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅))
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅))
70		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
71	70	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
72		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = (𝐷 ↑ 𝑦))
73	72	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦)))
74	71, 73	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
75	74	cbvfo 7288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)–onto→(𝑉 PrimRoots 𝑅) → (∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
76	69, 75	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
77	62, 76	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))))
78	77	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))))
79	59, 78, 48	rspcdva 3591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
80	50	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)))
81	80	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
82	79, 81	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
83	53, 82	eqtr2d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
84		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑧) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
85	84	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
86		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ 𝑧) = (𝐸 ↑ 𝑦))
87	86	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
88	85, 87	eqeq12d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
89	8, 36, 16	aks6d1c1p1 42798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
90	89	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
91	14, 90	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
92		nfv 1941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧))
93		nfv 1941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))
94	92, 93, 88	cbvralw 3313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
95	91, 94	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
96	95	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
97	88, 96, 48	rspcdva 3591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
98	97	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
99	98	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
100	83, 99	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
101	100	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
102	13, 18, 30	3jca 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉)))
103	42, 26	mulgnn0ass 19176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)))
104	103	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))
105	7, 102, 104	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))
106	105	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
107	44, 101, 106	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
108	107	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
109	11, 16	nnmulcld 12289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∈ ℕ)
110	8, 36, 109	aks6d1c1p1 42798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))))
111	108, 110	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   class class class wbr 5113  {copab 5177   ↦ cmpt 5196  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11101   · cmul 11105  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504   ∥ cdvds 16310   gcd cgcd 16552  ℙcprime 16729  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  0_gc0g 17492  Mndcmnd 18792  ._gcmg 19133  CMndccmn 19850  mulGrpcmgp 20216  CRingccrg 20316  Fieldcfield 20814  chrcchr 21620  algSccascl 21971  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  eval₁ce1 22443   PrimRoots cprimroots 42782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-cring 20318  df-rhm 20554  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-field 20816  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-assa 21972  df-asp 21973  df-ascl 21974  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-evls 22194  df-evl 22195  df-psr1 22309  df-ply1 22311  df-evl1 22445  df-primroots 42783

This theorem is referenced by:  aks6d1c1p8  42806  aks6d1c1  42807