Theorem aks6d1c1p5 43353

Description: The product of exponents is introspective. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1p5.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1p5.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1p5.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1p5.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1p5.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1p5.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1p5.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1p5.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1p5.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1p5.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1p5.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1p5.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1p5.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1p5.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1p5.16	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p5.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1p5.18	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p5.19	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p5	⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹)

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝐵,𝑒,𝑓   𝐷,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑃(𝑦, 𝑒, 𝑓)   + (𝑦, 𝑒, 𝑓)   ∼ (𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐾(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑁(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑊(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑋(𝑦, 𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p5

Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑧 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p5.13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 21022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
3		aks6d1c1p5.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
4	3	crngmgp 20494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
6	5	cmnmndd 20045	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Mnd)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑉 ∈ Mnd)
8		aks6d1c1p5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
9		aks6d1c1p5.18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∼ 𝐹)
10	8, 9	aks6d1c1p1rcl 43349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
11	10	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 12691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
14		aks6d1c1p5.19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
15	8, 14	aks6d1c1p1rcl 43349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
16	15	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
17	16	nnnn0d 12691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ0)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
19		aks6d1c1p5.11	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
20		aks6d1c1p5.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
21		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22		aks6d1c1p5.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
23	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
24		aks6d1c1p5.15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
25	24	nnnn0d 12691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
26		aks6d1c1p5.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
27	5, 25, 26	isprimroot 43334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞))))
28	27	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞))))
29	28	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑞 ∈ ℕ0 ((𝑞 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑞)))
30	29	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
31	3, 21	mgpbas 20392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉))
33	32	eqcomd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (Base‘𝑉) = (Base‘𝐾))
35	30, 34	eleqtrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
36	10	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
38	19, 20, 21, 22, 23, 35, 37	fveval1fvcl 22678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
39	34	eleq2d 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉) ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾)))
40	38, 39	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
41	13, 18, 40	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉)))
42		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
43	42, 26	mulgnn0ass 19346	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
44	7, 41, 43	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
45		eqidd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)) = (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)))
46		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑙 = 𝑦) → 𝑙 = 𝑦)
47	46	oveq2d 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑙 = 𝑦) → (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸 ↑ 𝑦))
48		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅))
49	42, 26, 7, 18, 30	mulgnn0cld 19331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ 𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
50	45, 47, 48, 49	fvmptd 7021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦) = (𝐸 ↑ 𝑦))
51	50	fveq2d 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
52	51	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
53	52	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
54		2fveq3 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))
55	54	oveq2d 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
56		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))
57	56	oveq2d 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))
58	57	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
59	55, 58	eqeq12d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑦 → ((𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)))))
60	8, 36, 11	aks6d1c1p1 43348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
61	60	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∼ 𝐹 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
62	9, 61	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦)))
63	26	oveqi 7453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸(.g‘𝑉)𝑙)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝐸 ↑ 𝑙) = (𝐸(.g‘𝑉)𝑙))
65	64	mpteq2ia 5203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)) = (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸(.g‘𝑉)𝑙))
66		aks6d1c1p5.16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
67	65, 5, 24, 16, 66	primrootscoprbij2 43344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)⟶1-1onto(𝑉 PrimRoots 𝑅))
68		f1ofo 6851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)⟶1-1onto(𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)⟶onto(𝑉 PrimRoots 𝑅))
69	67, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)⟶onto(𝑉 PrimRoots 𝑅))
70		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
71	70	oveq2d 7456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
72		oveq2 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖)) = (𝐷 ↑ 𝑦))
73	72	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦)))
74	71, 73	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖) = 𝑦 → ((𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
75	74	cbvfo 7317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙)):(𝑉 PrimRoots 𝑅)⟶onto(𝑉 PrimRoots 𝑅) → (∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
76	69, 75	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ 𝑦))))
77	62, 76	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))))
78	77	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑖 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑖))))
79	59, 78, 48	rspcdva 3581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))))
80	50	oveq2d 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦)) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)))
81	80	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ ((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
82	79, 81	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘((𝑙 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↦ (𝐸 ↑ 𝑙))‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
83	53, 82	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
84		fveq2 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑧) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
85	84	oveq2d 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
86		oveq2 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐸 ↑ 𝑧) = (𝐸 ↑ 𝑦))
87	86	fveq2d 6909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
88	85, 87	eqeq12d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
89	8, 36, 16	aks6d1c1p1 43348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
90	89	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∼ 𝐹 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))))
91	14, 90	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
92		nfv 1949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧))
93		nfv 1949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))
94	92, 93, 88	cbvralw 3308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
95	91, 94	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
96	95	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑧)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑧)))
97	88, 96, 48	rspcdva 3581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)))
98	97	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦)) = (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)))
99	98	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘(𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
100	83, 99	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))))
101	100	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))))
102	13, 18, 30	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉)))
103	42, 26	mulgnn0ass 19346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦) = (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)))
104	103	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Mnd ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))
105	7, 102, 104	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦)) = ((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))
106	105	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘(𝐷 ↑ (𝐸 ↑ 𝑦))) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
107	44, 101, 106	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
108	107	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦)))
109	11, 16	nnmulcld 12415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∈ ℕ)
110	8, 36, 109	aks6d1c1p1 43348	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)((𝐷 · 𝐸) ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘((𝐷 · 𝐸) ↑ 𝑦))))
111	108, 110	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∼ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  {copab 5170   ↦ cmpt 5189  ⟶ontowfo 6553  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1c1 11225   · cmul 11229  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630   ∥ cdvds 16448   gcd cgcd 16690  ℙcprime 16872  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  0_gc0g 17636  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303  CMndccmn 20021  mulGrpcmgp 20387  CRingccrg 20487  Fieldcfield 21008  chrcchr 21834  algSccascl 22187  var₁cv1 22521  Poly₁cpl1 22522  eval₁ce1 22659   PrimRoots cprimroots 43332

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-gcd 16691  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-field 21010  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-assa 22188  df-asp 22189  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-evls 22410  df-evl 22411  df-psr1 22525  df-ply1 22527  df-evl1 22661  df-primroots 43333

This theorem is used by:  aks6d1c1p8  43356  aks6d1c1  43357