MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincossq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincossq 16018
Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sincossq (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq
StepHypRef Expression
1 negcl 11360 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 cosadd 16007 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
31, 2mpdan 686 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
4 negid 11407 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
54fveq2d 6844 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6 cos0 15992 . . 3 (cos‘0) = 1
75, 6eqtrdi 2794 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8 sincl 15968 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
98sqcld 14002 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10 coscl 15969 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 14002 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
129, 11addcomd 11316 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
1310sqvald 14001 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14 cosneg 15989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1514oveq2d 7368 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
1613, 15eqtr4d 2781 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)))
178sqvald 14001 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18 sinneg 15988 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
1918negeqd 11354 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = --(sin‘𝐴))
208negnegd 11462 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → --(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
2119, 20eqtrd 2778 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = (sin‘𝐴))
2221oveq2d 7368 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
2317, 22eqtr4d 2781 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)))
241sincld 15972 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) ∈ ℂ)
258, 24mulneg2d 11568 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2623, 25eqtrd 2778 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2716, 26oveq12d 7370 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
281coscld 15973 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) ∈ ℂ)
2910, 28mulcld 11134 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) ∈ ℂ)
308, 24mulcld 11134 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3129, 30negsubd 11477 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
3212, 27, 313eqtrrd 2783 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
333, 7, 323eqtr3rd 2787 1 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008  0cc0 11010  1c1 11011   + caddc 11013   · cmul 11015  cmin 11344  -cneg 11345  2c2 12167  cexp 13922  sincsin 15906  cosccos 15907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-pm 8727  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-ico 13225  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-fl 13652  df-seq 13862  df-exp 13923  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14912  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ef 15910  df-sin 15912  df-cos 15913
This theorem is referenced by:  cos2t  16020  cos2tsin  16021  sinbnd  16022  cosbnd  16023  absefi  16038  sinhalfpilem  25772  sincos6thpi  25824  efif1olem4  25853  heron  26140  asinsin  26194  atandmtan  26222  basellem8  26389  sin2h  36000  tan2h  36002  dvtan  36060  itgsinexp  44091  onetansqsecsq  47101  cotsqcscsq  47102
  Copyright terms: Public domain W3C validator