MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincossq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincossq 15112
Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sincossq (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq
StepHypRef Expression
1 negcl 10487 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 cosadd 15101 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
31, 2mpdan 667 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
4 negid 10534 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
54fveq2d 6337 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6 cos0 15086 . . 3 (cos‘0) = 1
75, 6syl6eq 2821 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8 sincl 15062 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
98sqcld 13213 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10 coscl 15063 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 13213 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
129, 11addcomd 10444 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
1310sqvald 13212 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14 cosneg 15083 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1514oveq2d 6812 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
1613, 15eqtr4d 2808 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)))
178sqvald 13212 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18 sinneg 15082 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
1918negeqd 10481 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = --(sin‘𝐴))
208negnegd 10589 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → --(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
2119, 20eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = (sin‘𝐴))
2221oveq2d 6812 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
2317, 22eqtr4d 2808 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)))
241sincld 15066 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) ∈ ℂ)
258, 24mulneg2d 10690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2623, 25eqtrd 2805 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2716, 26oveq12d 6814 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
281coscld 15067 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) ∈ ℂ)
2910, 28mulcld 10266 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) ∈ ℂ)
308, 24mulcld 10266 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3129, 30negsubd 10604 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
3212, 27, 313eqtrrd 2810 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
333, 7, 323eqtr3rd 2814 1 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472  -cneg 10473  2c2 11276  cexp 13067  sincsin 15000  cosccos 15001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007
This theorem is referenced by:  cos2t  15114  cos2tsin  15115  sinbnd  15116  cosbnd  15117  absefi  15132  sinhalfpilem  24436  sincos6thpi  24488  efif1olem4  24512  heron  24786  asinsin  24840  atandmtan  24868  basellem8  25035  sin2h  33731  tan2h  33733  dvtan  33791  itgsinexp  40683  onetansqsecsq  43028  cotsqcscsq  43029
  Copyright terms: Public domain W3C validator