Theorem sincossq 16356

Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sincossq	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		cosadd 16345	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴))))
3	1, 2	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴))))
4		negid 11615	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
5	4	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6		cos0 16330	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
7	5, 6	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8		sincl 16306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14297	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		coscl 16307	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14297	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12	9, 11	addcomd 11522	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
13	10	sqvald 14296	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14		cosneg 16327	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))
15	14	oveq2d 7443	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
16	13, 15	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)))
17	8	sqvald 14296	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18		sinneg 16326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘ -𝐴) = -(sin‘𝐴))
19	18	negeqd 11561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘ -𝐴) = - -(sin‘𝐴))
20	8	negnegd 11670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → - -(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
21	19, 20	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘ -𝐴) = (sin‘𝐴))
22	21	oveq2d 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘ -𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
23	17, 22	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘ -𝐴)))
24	1	sincld 16310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘ -𝐴) ∈ ℂ)
25	8, 24	mulneg2d 11780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘ -𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴)))
26	23, 25	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴)))
27	16, 26	oveq12d 7445	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴))))
28	1	coscld 16311	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) ∈ ℂ)
29	10, 28	mulcld 11339	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
30	8, 24	mulcld 11339	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴)) ∈ ℂ)
31	29, 30	negsubd 11685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴))))
32	12, 27, 31	3eqtrrd 2803	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘ -𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘ -𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
33	3, 7, 32	3eqtr3rd 2807	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   − cmin 11551   -cneg 11552  2c2 12407  ↑cexp 14214  sincsin 16241  cosccos 16242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-ico 13492  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-seq 14155  df-exp 14215  df-fac 14428  df-bc 14457  df-hash 14485  df-shft 15232  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-limsup 15650  df-clim 15667  df-rlim 15668  df-sum 15866  df-ef 16245  df-sin 16247  df-cos 16248

This theorem is used by:  cos2t  16358  cos2tsin  16359  sinbnd  16360  cosbnd  16361  absefi  16376  sinhalfpilem  26804  sincos6thpi  26856  efif1olem4  26885  heron  27178  asinsin  27232  atandmtan  27260  basellem8  27427  sin2h  38673  tan2h  38675  dvtan  38728  itgsinexp  47104  sin3t  48056  cos3t  48057  sin5t  48063  onetansqsecsq  51068  cotsqcscsq  51069  dvcot  51072