Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincossq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincossq 15524
 Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sincossq (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq
StepHypRef Expression
1 negcl 10878 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 cosadd 15513 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
31, 2mpdan 686 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
4 negid 10925 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
54fveq2d 6650 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6 cos0 15498 . . 3 (cos‘0) = 1
75, 6eqtrdi 2849 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8 sincl 15474 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
98sqcld 13507 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10 coscl 15475 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 13507 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
129, 11addcomd 10834 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
1310sqvald 13506 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14 cosneg 15495 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1514oveq2d 7152 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
1613, 15eqtr4d 2836 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)))
178sqvald 13506 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18 sinneg 15494 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
1918negeqd 10872 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = --(sin‘𝐴))
208negnegd 10980 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → --(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
2119, 20eqtrd 2833 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = (sin‘𝐴))
2221oveq2d 7152 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
2317, 22eqtr4d 2836 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)))
241sincld 15478 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) ∈ ℂ)
258, 24mulneg2d 11086 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2623, 25eqtrd 2833 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2716, 26oveq12d 7154 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
281coscld 15479 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) ∈ ℂ)
2910, 28mulcld 10653 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) ∈ ℂ)
308, 24mulcld 10653 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3129, 30negsubd 10995 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
3212, 27, 313eqtrrd 2838 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
333, 7, 323eqtr3rd 2842 1 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   − cmin 10862  -cneg 10863  2c2 11683  ↑cexp 13428  sincsin 15412  cosccos 15413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-ico 12735  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419 This theorem is referenced by:  cos2t  15526  cos2tsin  15527  sinbnd  15528  cosbnd  15529  absefi  15544  sinhalfpilem  25066  sincos6thpi  25118  efif1olem4  25147  heron  25434  asinsin  25488  atandmtan  25516  basellem8  25683  sin2h  35066  tan2h  35068  dvtan  35126  itgsinexp  42640  onetansqsecsq  45328  cotsqcscsq  45329
 Copyright terms: Public domain W3C validator