Theorem sincossq 15366

Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sincossq	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 10739	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		cosadd 15355	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
3	1, 2	mpdan 683	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
4		negid 10787	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
5	4	fveq2d 6549	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6		cos0 15340	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
7	5, 6	syl6eq 2849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8		sincl 15316	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	sqcld 13362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		coscl 15317	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 13362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12	9, 11	addcomd 10695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
13	10	sqvald 13361	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14		cosneg 15337	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
15	14	oveq2d 7039	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
16	13, 15	eqtr4d 2836	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)))
17	8	sqvald 13361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18		sinneg 15336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
19	18	negeqd 10733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = --(sin‘𝐴))
20	8	negnegd 10842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
21	19, 20	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = (sin‘𝐴))
22	21	oveq2d 7039	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
23	17, 22	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)))
24	1	sincld 15320	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) ∈ ℂ)
25	8, 24	mulneg2d 10948	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
26	23, 25	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
27	16, 26	oveq12d 7041	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
28	1	coscld 15321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) ∈ ℂ)
29	10, 28	mulcld 10514	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30	8, 24	mulcld 10514	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)) ∈ ℂ)
31	29, 30	negsubd 10857	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
32	12, 27, 31	3eqtrrd 2838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
33	3, 7, 32	3eqtr3rd 2842	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℂcc 10388  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395   − cmin 10723  -cneg 10724  2c2 11546  ↑cexp 13283  sincsin 15254  cosccos 15255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-ico 12598  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261

This theorem is referenced by:  cos2t  15368  cos2tsin  15369  sinbnd  15370  cosbnd  15371  absefi  15386  sinhalfpilem  24736  sincos6thpi  24788  efif1olem4  24814  heron  25101  asinsin  25155  atandmtan  25183  basellem8  25351  sin2h  34434  tan2h  34436  dvtan  34494  itgsinexp  41803  onetansqsecsq  44362  cotsqcscsq  44363