MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincossq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincossq 16063
Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sincossq (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq
StepHypRef Expression
1 negcl 11406 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
2 cosadd 16052 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜(𝐴 + -𝐴)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴))))
31, 2mpdan 686 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝐴 + -𝐴)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴))))
4 negid 11453 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 + -𝐴) = 0)
54fveq2d 6847 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝐴 + -𝐴)) = (cosβ€˜0))
6 cos0 16037 . . 3 (cosβ€˜0) = 1
75, 6eqtrdi 2789 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8 sincl 16013 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
98sqcld 14055 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
10 coscl 16014 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
1110sqcld 14055 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
129, 11addcomd 11362 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)))
1310sqvald 14054 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) = ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΄)))
14 cosneg 16034 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜-𝐴) = (cosβ€˜π΄))
1514oveq2d 7374 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) = ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜π΄)))
1613, 15eqtr4d 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) = ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)))
178sqvald 14054 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΄)))
18 sinneg 16033 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) = -(sinβ€˜π΄))
1918negeqd 11400 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜-𝐴) = --(sinβ€˜π΄))
208negnegd 11508 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ --(sinβ€˜π΄) = (sinβ€˜π΄))
2119, 20eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ -(sinβ€˜-𝐴) = (sinβ€˜π΄))
2221oveq2d 7374 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· -(sinβ€˜-𝐴)) = ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜π΄)))
2317, 22eqtr4d 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) = ((sinβ€˜π΄) Β· -(sinβ€˜-𝐴)))
241sincld 16017 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
258, 24mulneg2d 11614 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· -(sinβ€˜-𝐴)) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴)))
2623, 25eqtrd 2773 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) = -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴)))
2716, 26oveq12d 7376 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) + ((sinβ€˜π΄)↑2)) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴))))
281coscld 16018 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜-𝐴) ∈ β„‚)
2910, 28mulcld 11180 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚)
308, 24mulcld 11180 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴)) ∈ β„‚)
3129, 30negsubd 11523 . . 3 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) + -((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴))) = (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴))))
3212, 27, 313eqtrrd 2778 . 2 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄) Β· (cosβ€˜-𝐴)) βˆ’ ((sinβ€˜π΄) Β· (sinβ€˜-𝐴))) = (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)))
333, 7, 323eqtr3rd 2782 1 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  2c2 12213  β†‘cexp 13973  sincsin 15951  cosccos 15952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958
This theorem is referenced by:  cos2t  16065  cos2tsin  16066  sinbnd  16067  cosbnd  16068  absefi  16083  sinhalfpilem  25836  sincos6thpi  25888  efif1olem4  25917  heron  26204  asinsin  26258  atandmtan  26286  basellem8  26453  sin2h  36114  tan2h  36116  dvtan  36174  itgsinexp  44282  onetansqsecsq  47292  cotsqcscsq  47293
  Copyright terms: Public domain W3C validator