Theorem sincossq 16256

Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sincossq	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11474	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		cosadd 16245	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
3	1, 2	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
4		negid 11522	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
5	4	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6		cos0 16230	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
7	5, 6	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8		sincl 16206	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10		coscl 16207	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	sqcld 14200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12	9, 11	addcomd 11429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
13	10	sqvald 14199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14		cosneg 16227	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
15	14	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
16	13, 15	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)))
17	8	sqvald 14199	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18		sinneg 16226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
19	18	negeqd 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = --(sin‘𝐴))
20	8	negnegd 11577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
21	19, 20	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = (sin‘𝐴))
22	21	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
23	17, 22	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)))
24	1	sincld 16210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) ∈ ℂ)
25	8, 24	mulneg2d 11685	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
26	23, 25	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
27	16, 26	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
28	1	coscld 16211	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) ∈ ℂ)
29	10, 28	mulcld 11246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) ∈ ℂ)
30	8, 24	mulcld 11246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)) ∈ ℂ)
31	29, 30	negsubd 11592	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
32	12, 27, 31	3eqtrrd 2805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
33	3, 7, 32	3eqtr3rd 2809	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   + caddc 11120   · cmul 11122   − cmin 11458  -cneg 11459  2c2 12312  ↑cexp 14117  sincsin 16141  cosccos 16142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148

This theorem is used by:  cos2t  16258  cos2tsin  16259  sinbnd  16260  cosbnd  16261  absefi  16276  sinhalfpilem  26681  sincos6thpi  26734  efif1olem4  26763  heron  27056  asinsin  27110  atandmtan  27138  basellem8  27305  sin2h  38320  tan2h  38322  dvtan  38380  itgsinexp  46729  sin3t  47668  cos3t  47669  sin5t  47675  onetansqsecsq  50598  cotsqcscsq  50599