Theorem ncoprmgcdne1b 16615

Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16693 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmgcdne1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12893	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
2	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3		eluz2b3 12931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4		neneq 2936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
5	3, 4	simplbiim 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
6	5	anim1ci 614	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
7	2, 6	jca 510	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8		neqne 2938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
9	8	anim1ci 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
10	9, 3	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
11	10	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
12	11	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
13	12	impcom 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
14	13	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
16	14, 15	jca 510	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
17	16	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))))
18	7, 17	impbid2 225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
19	18	rexbidv2 3165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20		rexanali 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
22		coprmgcdb 16614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
23	22	necon3bbid 2968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
24	19, 21, 23	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134  ℕcn 12237  2c2 12292  ℤ_≥cuz 12847   ∥ cdvds 16225   gcd cgcd 16463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-gcd 16464

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  16616  prmdvdsncoprmbd  16693  flt4lem2  42132