Theorem ncoprmgcdne1b 16457

Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16533 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmgcdne1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12734	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
2	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3		eluz2b3 12772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4		neneq 2947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
5	3, 4	simplbiim 506	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
6	5	anim1ci 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
7	2, 6	jca 513	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8		neqne 2949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
9	8	anim1ci 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
10	9, 3	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
11	10	ex 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
12	11	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
13	12	impcom 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
14	13	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simprrl 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
16	14, 15	jca 513	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
17	16	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))))
18	7, 17	impbid2 225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
19	18	rexbidv2 3169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20		rexanali 3103	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
22		coprmgcdb 16456	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
23	22	necon3bbid 2979	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
24	19, 21, 23	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5100  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346  1c1 10982  ℕcn 12083  2c2 12138  ℤ_≥cuz 12692   ∥ cdvds 16067   gcd cgcd 16305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-sup 9308  df-inf 9309  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-seq 13832  df-exp 13893  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051  df-dvds 16068  df-gcd 16306

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  16458  prmdvdsncoprmbd  16533  flt4lem2  40797