MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmgcdne1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmgcdne1b 16612
Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16690 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmgcdne1b ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12890 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3 eluz2b3 12928 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4 neneq 2941 . . . . . . 7 (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
53, 4simplbiim 504 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
65anim1ci 615 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
72, 6jca 511 . . . 4 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8 neqne 2943 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
98anim1ci 615 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
109, 3sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1110ex 412 . . . . . . . . 9 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1211adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1312impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
15 simprrl 780 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖𝐴𝑖𝐵))
1614, 15jca 511 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
1716ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))))
187, 17impbid2 225 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
1918rexbidv2 3169 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20 rexanali 3097 . . 3 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
2120a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
22 coprmgcdb 16611 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
2322necon3bbid 2973 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
2419, 21, 233bitrd 305 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  wrex 3065   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11131  cn 12234  2c2 12289  cuz 12844  cdvds 16222   gcd cgcd 16460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461
This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  16613  prmdvdsncoprmbd  16690  flt4lem2  41993
  Copyright terms: Public domain W3C validator