MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmgcdne1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmgcdne1b 16687
Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16764 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmgcdne1b ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12924 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3 eluz2b3 12964 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4 neneq 2946 . . . . . . 7 (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
53, 4simplbiim 504 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
65anim1ci 616 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
72, 6jca 511 . . . 4 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8 neqne 2948 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
98anim1ci 616 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
109, 3sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1110ex 412 . . . . . . . . 9 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1211adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1312impcom 407 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1413adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
15 simprrl 781 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖𝐴𝑖𝐵))
1614, 15jca 511 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
1716ex 412 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))))
187, 17impbid2 226 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
1918rexbidv2 3175 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20 rexanali 3102 . . 3 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
2120a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
22 coprmgcdb 16686 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
2322necon3bbid 2978 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
2419, 21, 233bitrd 305 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  cn 12266  2c2 12321  cuz 12878  cdvds 16290   gcd cgcd 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532
This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  16688  prmdvdsncoprmbd  16764  flt4lem2  42657
  Copyright terms: Public domain W3C validator