Theorem ncoprmgcdne1b 16627

Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16704 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmgcdne1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12854	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3		eluz2b3 12888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4		neneq 2932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
5	3, 4	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
6	5	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
7	2, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8		neqne 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
9	8	anim1ci 616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
10	9, 3	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
11	10	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
13	12	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
16	14, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
17	16	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))))
18	7, 17	impbid2 226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
19	18	rexbidv2 3154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20		rexanali 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
22		coprmgcdb 16626	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
23	22	necon3bbid 2963	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
24	19, 21, 23	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤ_≥cuz 12800   ∥ cdvds 16229   gcd cgcd 16471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  16628  prmdvdsncoprmbd  16704  flt4lem2  42642