Theorem ncoprmgcdne1b 16589

Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16666 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmgcdne1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12813	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3		eluz2b3 12847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4		neneq 2939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
5	3, 4	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
6	5	anim1ci 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
7	2, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8		neqne 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
9	8	anim1ci 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
10	9, 3	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
11	10	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
13	12	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simprrl 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
16	14, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
17	16	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))))
18	7, 17	impbid2 226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
19	18	rexbidv2 3158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20		rexanali 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
22		coprmgcdb 16588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
23	22	necon3bbid 2970	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
24	19, 21, 23	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤ_≥cuz 12763   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  16590  prmdvdsncoprmbd  16666  flt4lem2  43009