Theorem ncoprmgcdne1b 16283

Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. See prmdvdsncoprmbd 16359 for a version where the existential quantifier is restricted to primes. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmgcdne1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12553	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3		eluz2b3 12591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4		neneq 2948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
5	3, 4	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
6	5	anim1ci 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
7	2, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8		neqne 2950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
9	8	anim1ci 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
10	9, 3	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
11	10	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)))
13	12	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘2))
15		simprrl 777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
16	14, 15	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
17	16	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))))
18	7, 17	impbid2 225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
19	18	rexbidv2 3223	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20		rexanali 3191	. . 3 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
21	20	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
22		coprmgcdb 16282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
23	22	necon3bbid 2980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
24	19, 21, 23	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤ_≥cuz 12511   ∥ cdvds 15891   gcd cgcd 16129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  16284  prmdvdsncoprmbd  16359  flt4lem2  40400