Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmgcdne1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmgcdne1b 15992
 Description: Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmgcdne1b ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem ncoprmgcdne1b
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12281 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℕ)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ)
3 eluz2b3 12319 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
4 neneq 3020 . . . . . . 7 (𝑖 ≠ 1 → ¬ 𝑖 = 1)
53, 4simplbiim 508 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → ¬ 𝑖 = 1)
65anim1ci 618 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))
72, 6jca 515 . . . 4 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
8 neqne 3022 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
98anim1ci 618 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ≠ 1))
109, 3sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑖 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1110ex 416 . . . . . . . . 9 𝑖 = 1 → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1211adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
1312impcom 411 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
1413adantl 485 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘2))
15 simprrl 780 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖𝐴𝑖𝐵))
1614, 15jca 515 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
1716ex 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))))
187, 17impbid2 229 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1))))
1918rexbidv2 3287 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1)))
20 rexanali 3257 . . 3 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1))
2120a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) ∧ ¬ 𝑖 = 1) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1)))
22 coprmgcdb 15991 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
2322necon3bbid 3051 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
2419, 21, 233bitrd 308 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  1c1 10536  ℕcn 11634  2c2 11689  ℤ≥cuz 12240   ∥ cdvds 15607   gcd cgcd 15841 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15842 This theorem is referenced by:  ncoprmgcdgt1b  15993
 Copyright terms: Public domain W3C validator