Theorem prmdvdsncoprmbd 16669

Description: Two positive integers are not coprime iff a prime divides both integers. Deduction version of ncoprmgcdne1b 16593 with the existential quantifier over the primes instead of integers greater than or equal to 2. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
prmdvdsncoprmbd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd	⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsncoprmbd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	anim1d 609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)) → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))))
4	3	reximdv2 3162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
5		breq1 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑖 ∥ 𝐴))
6		breq1 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
7	5, 6	anbi12d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
8	7	cbvrexvw 3233	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
9	4, 8	imbitrdi 250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
10		exprmfct 16647	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
11	10	ad2antrl 724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
12		prmnn 16617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
13	12	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		eluzelz 12838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	ad4ant24 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
18		prmdvdsncoprmbd.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
19	18	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℤ)
21		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝑖)
22		simprrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐴)
23	22	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐴)
24	14, 17, 20, 21, 23	dvdstrd 16244	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐴)
25		prmdvdsncoprmbd.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
26	25	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		simprrr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐵)
29	28	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐵)
30	14, 17, 27, 21, 29	dvdstrd 16244	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐵)
31	24, 30	jca 510	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
32	31	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
33	32	reximdva 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
34	11, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
35	34	rexlimdvaa 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
36	9, 35	impbid 211	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
37		ncoprmgcdne1b 16593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
38	18, 25, 37	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
39	36, 38	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  1c1 11115  ℕcn 12218  2c2 12273  ℤcz 12564  ℤ_≥cuz 12828   ∥ cdvds 16203   gcd cgcd 16441  ℙcprime 16614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  41260  flt4lem5elem  41697