Theorem prmdvdsncoprmbd 16167

Description: Two positive integers are not coprime iff a prime divides both integers. Deduction version of ncoprmgcdne1b 16091 with the existential quantifier over the primes instead of integers greater than or equal to 2. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
prmdvdsncoprmbd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd	⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsncoprmbd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	anim1d 614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)) → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))))
4	3	reximdv2 3181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
5		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑖 ∥ 𝐴))
6		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
7	5, 6	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
8	7	cbvrexvw 3350	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
9	4, 8	syl6ib 254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
10		exprmfct 16145	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
11	10	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
12		prmnn 16115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
13	12	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		eluzelz 12334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	ad4ant24 754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
18		prmdvdsncoprmbd.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
19	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℤ)
21		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝑖)
22		simprrl 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐴)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐴)
24	14, 17, 20, 21, 23	dvdstrd 15740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐴)
25		prmdvdsncoprmbd.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		simprrr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐵)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐵)
30	14, 17, 27, 21, 29	dvdstrd 15740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐵)
31	24, 30	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
32	31	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
33	32	reximdva 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
34	11, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
35	34	rexlimdvaa 3195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
36	9, 35	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
37		ncoprmgcdne1b 16091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
38	18, 25, 37	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
39	36, 38	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∃wrex 3054   class class class wbr 5030  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  1c1 10616  ℕcn 11716  2c2 11771  ℤcz 12062  ℤ_≥cuz 12324   ∥ cdvds 15699   gcd cgcd 15937  ℙcprime 16112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-prm 16113

This theorem is referenced by:  flt4lem5elem  40060