Theorem prmdvdsncoprmbd 16691

Description: Two positive integers are not coprime iff a prime divides both integers. Deduction version of ncoprmgcdne1b 16613 with the existential quantifier over the primes instead of integers greater than or equal to 2. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
prmdvdsncoprmbd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd	⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsncoprmbd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16659	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	anim1d 612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)) → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))))
4	3	reximdv2 3148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
5		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑖 ∥ 𝐴))
6		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
7	5, 6	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
8	7	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
9	4, 8	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
10		exprmfct 16668	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
11	10	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
12		prmnn 16637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
13	12	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		eluzelz 12792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	ad4ant24 755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
18		prmdvdsncoprmbd.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
19	18	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝑖)
22		simprrl 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐴)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐴)
24	14, 17, 20, 21, 23	dvdstrd 16258	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐴)
25		prmdvdsncoprmbd.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
26	25	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		simprrr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐵)
29	28	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐵)
30	14, 17, 27, 21, 29	dvdstrd 16258	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐵)
31	24, 30	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
32	31	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
33	32	reximdva 3151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
34	11, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
35	34	rexlimdvaa 3140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
36	9, 35	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
37		ncoprmgcdne1b 16613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
38	18, 25, 37	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
39	36, 38	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11033  ℕcn 12168  2c2 12230  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782   ∥ cdvds 16215   gcd cgcd 16457  ℙcprime 16634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-prm 16635

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42543  flt4lem5elem  43101