Theorem prmdvdsncoprmbd 16697

Description: Two positive integers are not coprime iff a prime divides both integers. Deduction version of ncoprmgcdne1b 16620 with the existential quantifier over the primes instead of integers greater than or equal to 2. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
prmdvdsncoprmbd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd	⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsncoprmbd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	anim1d 611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)) → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))))
4	3	reximdv2 3143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
5		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑖 ∥ 𝐴))
6		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
7	5, 6	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
8	7	cbvrexvw 3216	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
9	4, 8	imbitrdi 251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
10		exprmfct 16674	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
11	10	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
12		prmnn 16644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
13	12	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		eluzelz 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	ad4ant24 754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
18		prmdvdsncoprmbd.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
19	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℤ)
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝑖)
22		simprrl 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐴)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐴)
24	14, 17, 20, 21, 23	dvdstrd 16265	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐴)
25		prmdvdsncoprmbd.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		simprrr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐵)
29	28	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐵)
30	14, 17, 27, 21, 29	dvdstrd 16265	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐵)
31	24, 30	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
32	31	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
33	32	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
34	11, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
35	34	rexlimdvaa 3135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
36	9, 35	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
37		ncoprmgcdne1b 16620	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
38	18, 25, 37	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
39	36, 38	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793   ∥ cdvds 16222   gcd cgcd 16464  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42075  flt4lem5elem  42639