Theorem prmdvdsncoprmbd 16763

Description: Two positive integers are not coprime iff a prime divides both integers. Deduction version of ncoprmgcdne1b 16685 with the existential quantifier over the primes instead of integers greater than or equal to 2. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
prmdvdsncoprmbd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsncoprmbd	⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsncoprmbd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	anim1d 620	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)) → (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))))
4	3	reximdv2 3173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
5		breq1 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ↔ 𝑖 ∥ 𝐴))
6		breq1 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝑖 ∥ 𝐵))
7	5, 6	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
8	7	cbvrexvw 3242	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))
9	4, 8	imbitrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
10		exprmfct 16740	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
11	10	ad2antrl 738	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖)
12		prmnn 16709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
13	12	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∈ ℤ)
15		eluzelz 12850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
16	15	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	ad4ant24 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
18		prmdvdsncoprmbd.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
19	18	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℕ)
20	19	nnzd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐴 ∈ ℤ)
21		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝑖)
22		simprrl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐴)
23	22	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐴)
24	14, 17, 20, 21, 23	dvdstrd 16330	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐴)
25		prmdvdsncoprmbd.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
26	25	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		simprrr 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → 𝑖 ∥ 𝐵)
29	28	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∥ 𝐵)
30	14, 17, 27, 21, 29	dvdstrd 16330	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → 𝑝 ∥ 𝐵)
31	24, 30	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ 𝑖) → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
32	31	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑖 → (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
33	32	reximdva 3176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑖 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
34	11, 33	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵))
35	34	rexlimdvaa 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵)))
36	9, 35	impbid 214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵)))
37		ncoprmgcdne1b 16685	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
38	18, 25, 37	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
39	36, 38	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝐴 ∧ 𝑝 ∥ 𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087   class class class wbr 5101  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  1c1 11075  ℕcn 12211  2c2 12273  ℤcz 12569  ℤ_≥cuz 12840   ∥ cdvds 16287   gcd cgcd 16529  ℙcprime 16706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fz 13514  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-dvds 16288  df-gcd 16530  df-prm 16707

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42705  flt4lem5elem  43234