MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsncoprmbd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsncoprmbd 16609
Description: Two positive integers are not coprime iff a prime divides both integers. Deduction version of ncoprmgcdne1b 16533 with the existential quantifier over the primes instead of integers greater than or equal to 2. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prmdvdsncoprmbd.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
prmdvdsncoprmbd.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsncoprmbd (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝

Proof of Theorem prmdvdsncoprmbd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 16579 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2)))
32anim1d 612 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝𝐴𝑝𝐵)) → (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑝𝐴𝑝𝐵))))
43reximdv2 3162 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵) → ∃𝑝 ∈ (ℤ‘2)(𝑝𝐴𝑝𝐵)))
5 breq1 5113 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝𝐴𝑖𝐴))
6 breq1 5113 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝𝐵𝑖𝐵))
75, 6anbi12d 632 . . . . 5 (𝑝 = 𝑖 → ((𝑝𝐴𝑝𝐵) ↔ (𝑖𝐴𝑖𝐵)))
87cbvrexvw 3229 . . . 4 (∃𝑝 ∈ (ℤ‘2)(𝑝𝐴𝑝𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵))
94, 8syl6ib 251 . . 3 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵) → ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
10 exprmfct 16587 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑖)
1110ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑖)
12 prmnn 16557 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑝 ∈ ℕ)
1413nnzd 12533 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑝 ∈ ℤ)
15 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
1716ad4ant24 753 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
18 prmdvdsncoprmbd.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
1918ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝐴 ∈ ℕ)
2019nnzd 12533 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝐴 ∈ ℤ)
21 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑝𝑖)
22 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) → 𝑖𝐴)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑖𝐴)
2414, 17, 20, 21, 23dvdstrd 16184 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑝𝐴)
25 prmdvdsncoprmbd.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝐵 ∈ ℕ)
2726nnzd 12533 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝐵 ∈ ℤ)
28 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) → 𝑖𝐵)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑖𝐵)
3014, 17, 27, 21, 29dvdstrd 16184 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → 𝑝𝐵)
3124, 30jca 513 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝑖) → (𝑝𝐴𝑝𝐵))
3231ex 414 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑖 → (𝑝𝐴𝑝𝐵)))
3332reximdva 3166 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑖 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵)))
3411, 33mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵))
3534rexlimdvaa 3154 . . 3 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵)))
369, 35impbid 211 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
37 ncoprmgcdne1b 16533 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
3818, 25, 37syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
3936, 38bitrd 279 1 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴𝑝𝐵) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  wne 2944  wrex 3074   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059  cn 12160  2c2 12215  cz 12506  cuz 12770  cdvds 16143   gcd cgcd 16381  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  40573  flt4lem5elem  41018
  Copyright terms: Public domain W3C validator