Theorem gausslemma2dlem5 27698

Description: Lemma 5 for gausslemma2d 27701. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem5a 27697	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6		fzfi 14115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
8		neg1cn 12305	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → -1 ∈ ℂ)
10		elfzelz 13656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
11		2z 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12804	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
16	7, 9, 15	fprodmul 16127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
17	6, 8	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ)
18		fprodconst 16145	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
19	17, 18	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
20		nnoddn2prm 16989	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21		nnre 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	1, 20, 22	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
24		4re 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26		4ne0 12454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
28	23, 25, 27	redivcld 12145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
30	4, 29	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
32		nnz 12714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
33		oddm1d2 16530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
35	34	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
36	1, 20, 35	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
37	2, 36	eqeltrid 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
38	1, 4, 2	gausslemma2dlem0f 27688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
39		eluz2 12971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐻))
40	31, 37, 38, 39	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
41		hashfz 14572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
43	37	zcnd 12804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
44	30	zcnd 12804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45		1cnd 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	nppcan2d 11695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = (𝐻 − 𝑀))
47		gausslemma2d.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
48	46, 47	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = 𝑁)
49	42, 48	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = 𝑁)
50	49	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))) = (-1↑𝑁))
51	19, 50	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑𝑁))
52	51	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
53	16, 52	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
54	53	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
55	5, 54	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  4c4 12399  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ⌊cfl 13930   mod cmo 14009  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  ∏cprod 16072   ∥ cdvds 16422  ℙcprime 16846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-prod 16073  df-dvds 16423  df-prm 16847

This theorem is used by:  gausslemma2dlem6  27699