MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5 27108
Description: Lemma 5 for gausslemma2d 27111. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
gausslemma2d.n ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem5a 27107 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
6 fzfi 13943 . . . . . 6 ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin
76a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin)
8 neg1cn 12332 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
98a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
10 elfzelz 13507 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
11 2z 12600 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1310, 12zmulcld 12678 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12673 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
1514adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
167, 9, 15fprodmul 15910 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
176, 8pm3.2i 469 . . . . . . 7 (((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚)
18 fprodconst 15928 . . . . . . 7 ((((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))))
1917, 18mp1i 13 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))))
20 nnoddn2prm 16750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
21 nnre 12225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2221adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
231, 20, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
24 4re 12302 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
26 4ne0 12326 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2823, 25, 27redivcld 12048 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
2928flcld 13769 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
304, 29eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3130peano2zd 12675 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
32 nnz 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
33 oddm1d2 16309 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3534biimpa 475 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
361, 20, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
372, 36eqeltrid 2835 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
381, 4, 2gausslemma2dlem0f 27098 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐ป)
39 eluz2 12834 . . . . . . . . . 10 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐ป))
4031, 37, 38, 39syl3anbrc 1341 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
41 hashfz 14393 . . . . . . . . 9 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1))
4337zcnd 12673 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
4430zcnd 12673 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
45 1cnd 11215 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4643, 44, 45nppcan2d 11603 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1) = (๐ป โˆ’ ๐‘€))
47 gausslemma2d.n . . . . . . . . 9 ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
4846, 47eqtr4di 2788 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1) = ๐‘)
4942, 48eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ๐‘)
5049oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))) = (-1โ†‘๐‘))
5119, 50eqtrd 2770 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘๐‘))
5251oveq1d 7428 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
5316, 52eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
5453oveq1d 7428 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
555, 54eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11254   โ‰ค cle 11255   โˆ’ cmin 11450  -cneg 11451   / cdiv 11877  โ„•cn 12218  2c2 12273  4c4 12275  โ„คcz 12564  โ„คโ‰ฅcuz 12828  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14033  โ™ฏchash 14296  โˆcprod 15855   โˆฅ cdvds 16203  โ„™cprime 16614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16204  df-prm 16615
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  27109
  Copyright terms: Public domain W3C validator