Theorem gausslemma2dlem5 27352

Description: Lemma 5 for gausslemma2d 27355. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem5a 27351	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6		fzfi 13925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
8		neg1cn 12135	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → -1 ∈ ℂ)
10		elfzelz 13469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
11		2z 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12625	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
16	7, 9, 15	fprodmul 15916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
17	6, 8	pm3.2i 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ)
18		fprodconst 15934	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
20		nnoddn2prm 16773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	1, 20, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
24		4re 12256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26		4ne0 12280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
28	23, 25, 27	redivcld 11974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
30	4, 29	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
32		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
33		oddm1d2 16320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
35	34	biimpa 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
36	1, 20, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
37	2, 36	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
38	1, 4, 2	gausslemma2dlem0f 27342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
39		eluz2 12785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐻))
40	31, 37, 38, 39	syl3anbrc 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
41		hashfz 14380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
43	37	zcnd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
44	30	zcnd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45		1cnd 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	nppcan2d 11522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = (𝐻 − 𝑀))
47		gausslemma2d.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
48	46, 47	eqtr4di 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = 𝑁)
49	42, 48	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = 𝑁)
50	49	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))) = (-1↑𝑁))
51	19, 50	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑𝑁))
52	51	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
53	16, 52	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
54	53	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
55	5, 54	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  4c4 12229  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ⌊cfl 13740   mod cmo 13819  ↑cexp 14014  ♯chash 14283  ∏cprod 15859   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  27353