MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5 26874
Description: Lemma 5 for gausslemma2d 26877. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
gausslemma2d.n ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem5a 26873 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
6 fzfi 13937 . . . . . 6 ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin
76a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin)
8 neg1cn 12326 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
98a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
10 elfzelz 13501 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
11 2z 12594 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1310, 12zmulcld 12672 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12667 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
1514adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
167, 9, 15fprodmul 15904 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
176, 8pm3.2i 472 . . . . . . 7 (((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚)
18 fprodconst 15922 . . . . . . 7 ((((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))))
1917, 18mp1i 13 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))))
20 nnoddn2prm 16744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
21 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
231, 20, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
24 4re 12296 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
26 4ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2823, 25, 27redivcld 12042 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
2928flcld 13763 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
304, 29eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3130peano2zd 12669 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
32 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
33 oddm1d2 16303 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3534biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
361, 20, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
372, 36eqeltrid 2838 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
381, 4, 2gausslemma2dlem0f 26864 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐ป)
39 eluz2 12828 . . . . . . . . . 10 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐ป))
4031, 37, 38, 39syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
41 hashfz 14387 . . . . . . . . 9 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1))
4337zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
4430zcnd 12667 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
45 1cnd 11209 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4643, 44, 45nppcan2d 11597 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1) = (๐ป โˆ’ ๐‘€))
47 gausslemma2d.n . . . . . . . . 9 ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
4846, 47eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1) = ๐‘)
4942, 48eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ๐‘)
5049oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))) = (-1โ†‘๐‘))
5119, 50eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘๐‘))
5251oveq1d 7424 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
5316, 52eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
5453oveq1d 7424 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
555, 54eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027  โ™ฏchash 14290  โˆcprod 15849   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  26875
  Copyright terms: Public domain W3C validator