Theorem gausslemma2dlem5 26424

Description: Lemma 5 for gausslemma2d 26427. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2d.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem5a 26423	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
6		fzfi 13620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
8		neg1cn 12017	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → -1 ∈ ℂ)
10		elfzelz 13185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
11		2z 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
13	10, 12	zmulcld 12361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12356	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
16	7, 9, 15	fprodmul 15598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
17	6, 8	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ)
18		fprodconst 15616	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))))
20		nnoddn2prm 16440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℝ)
23	1, 20, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
24		4re 11987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26		4ne0 12011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 ≠ 0)
28	23, 25, 27	redivcld 11733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
29	28	flcld 13446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
30	4, 29	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
31	30	peano2zd 12358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
32		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
33		oddm1d2 15997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
35	34	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
36	1, 20, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
37	2, 36	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
38	1, 4, 2	gausslemma2dlem0f 26414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝐻)
39		eluz2 12517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝐻))
40	31, 37, 38, 39	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
41		hashfz 14070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1))
43	37	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
44	30	zcnd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
45		1cnd 10901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
46	43, 44, 45	nppcan2d 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = (𝐻 − 𝑀))
47		gausslemma2d.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
48	46, 47	eqtr4di 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 − (𝑀 + 1)) + 1) = 𝑁)
49	42, 48	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑀 + 1)...𝐻)) = 𝑁)
50	49	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘((𝑀 + 1)...𝐻))) = (-1↑𝑁))
51	19, 50	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 = (-1↑𝑁))
52	51	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)-1 · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
53	16, 52	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) = ((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)))
54	53	oveq1d 7270	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))
55	5, 54	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (((-1↑𝑁) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  4c4 11960  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438   mod cmo 13517  ↑cexp 13710  ♯chash 13972  ∏cprod 15543   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  26425