MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5 26722
Description: Lemma 5 for gausslemma2d 26725. (Contributed by AV, 9-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
gausslemma2d.n ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘˜)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . 3 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem5a 26721 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
6 fzfi 13878 . . . . . 6 ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin
76a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin)
8 neg1cn 12268 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
98a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
10 elfzelz 13442 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
11 2z 12536 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1310, 12zmulcld 12614 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1413zcnd 12609 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
1514adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
167, 9, 15fprodmul 15844 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
176, 8pm3.2i 472 . . . . . . 7 (((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚)
18 fprodconst 15862 . . . . . . 7 ((((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))))
1917, 18mp1i 13 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))))
20 nnoddn2prm 16684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ))
21 nnre 12161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
231, 20, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
24 4re 12238 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
26 4ne0 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 4 โ‰  0)
2823, 25, 27redivcld 11984 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
2928flcld 13704 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
304, 29eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3130peano2zd 12611 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
32 nnz 12521 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
33 oddm1d2 16243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
3534biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
361, 20, 353syl 18 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
372, 36eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„ค)
381, 4, 2gausslemma2dlem0f 26712 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐ป)
39 eluz2 12770 . . . . . . . . . 10 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) โ†” ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ป โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ + 1) โ‰ค ๐ป))
4031, 37, 38, 39syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
41 hashfz 14328 . . . . . . . . 9 (๐ป โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1))
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1))
4337zcnd 12609 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ โ„‚)
4430zcnd 12609 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
45 1cnd 11151 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4643, 44, 45nppcan2d 11539 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1) = (๐ป โˆ’ ๐‘€))
47 gausslemma2d.n . . . . . . . . 9 ๐‘ = (๐ป โˆ’ ๐‘€)
4846, 47eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ป โˆ’ (๐‘€ + 1)) + 1) = ๐‘)
4942, 48eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป)) = ๐‘)
5049oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜((๐‘€ + 1)...๐ป))) = (-1โ†‘๐‘))
5119, 50eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 = (-1โ†‘๐‘))
5251oveq1d 7373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
5316, 52eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = ((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)))
5453oveq1d 7373 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
555, 54eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘๐‘) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  ...cfz 13425  โŒŠcfl 13696   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968  โ™ฏchash 14231  โˆcprod 15789   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-prod 15790  df-dvds 16138  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  26723
  Copyright terms: Public domain W3C validator