MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord 30193
Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 30192, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 29414). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrrgr 29419 . . . . . . 7 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ 𝐺 RegGraph 𝐾)
2 frrusgrord0.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2725 . . . . . . . 8 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
42, 3rgrprop 29416 . . . . . . 7 (𝐺 RegGraph 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
65simprd 494 . . . . 5 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)
72frrusgrord0 30192 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
86, 7syl5 34 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
983expb 1117 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
109expcom 412 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1))))
1110impd 409 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   βˆ’ cmin 11472  β„•0*cxnn0 12572  β™―chash 14319  Vtxcvtx 28851  VtxDegcvtxdg 29321   RegGraph crgr 29411   RegUSGraph crusgr 29412   FriendGraph cfrgr 30110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-ac2 10484  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-ac 10137  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-s1 14576  df-s2 14829  df-s3 14830  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-vtx 28853  df-iedg 28854  df-edg 28903  df-uhgr 28913  df-ushgr 28914  df-upgr 28937  df-umgr 28938  df-uspgr 29005  df-usgr 29006  df-fusgr 29172  df-nbgr 29188  df-vtxdg 29322  df-rgr 29413  df-rusgr 29414  df-wlks 29455  df-wlkson 29456  df-trls 29548  df-trlson 29549  df-pths 29572  df-spths 29573  df-pthson 29574  df-spthson 29575  df-wwlks 29683  df-wwlksn 29684  df-wwlksnon 29685  df-wspthsn 29686  df-wspthsnon 29687  df-frgr 30111
This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30243  frgrregord013  30247
  Copyright terms: Public domain W3C validator