MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord 30103
Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 30102, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 29324). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrrgr 29329 . . . . . . 7 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ 𝐺 RegGraph 𝐾)
2 frrusgrord0.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2726 . . . . . . . 8 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
42, 3rgrprop 29326 . . . . . . 7 (𝐺 RegGraph 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
65simprd 495 . . . . 5 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)
72frrusgrord0 30102 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
86, 7syl5 34 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
983expb 1117 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
109expcom 413 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1))))
1110impd 410 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  β„•0*cxnn0 12548  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28764  VtxDegcvtxdg 29231   RegGraph crgr 29321   RegUSGraph crusgr 29322   FriendGraph cfrgr 30020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-vtx 28766  df-iedg 28767  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-ushgr 28827  df-upgr 28850  df-umgr 28851  df-uspgr 28918  df-usgr 28919  df-fusgr 29082  df-nbgr 29098  df-vtxdg 29232  df-rgr 29323  df-rusgr 29324  df-wlks 29365  df-wlkson 29366  df-trls 29458  df-trlson 29459  df-pths 29482  df-spths 29483  df-pthson 29484  df-spthson 29485  df-wwlks 29593  df-wwlksn 29594  df-wwlksnon 29595  df-wspthsn 29596  df-wspthsnon 29597  df-frgr 30021
This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30153  frgrregord013  30157
  Copyright terms: Public domain W3C validator