Theorem frrusgrord 30321

Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 30320, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 29540). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frrusgrord0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frrusgrord	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrrgr 29545	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 RegGraph 𝐾)
2		frrusgrord0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	2, 3	rgrprop 29542	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
6	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7	2	frrusgrord0 30320	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
8	6, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
9	8	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
10	9	expcom 413	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
11	10	impd 410	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  1c1 11047   + caddc 11049   · cmul 11051   − cmin 11383  ℕ₀^*cxnn0 12493  ♯chash 14273  Vtxcvtx 28977  VtxDegcvtxdg 29447   RegGraph crgr 29537   RegUSGraph crusgr 29538   FriendGraph cfrgr 30238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-ac2 10394  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-dju 9832  df-card 9870  df-ac 10047  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-xadd 13051  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-word 14457  df-concat 14514  df-s1 14539  df-s2 14791  df-s3 14792  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-sum 15630  df-vtx 28979  df-iedg 28980  df-edg 29029  df-uhgr 29039  df-ushgr 29040  df-upgr 29063  df-umgr 29064  df-uspgr 29131  df-usgr 29132  df-fusgr 29298  df-nbgr 29314  df-vtxdg 29448  df-rgr 29539  df-rusgr 29540  df-wlks 29581  df-wlkson 29582  df-trls 29672  df-trlson 29673  df-pths 29695  df-spths 29696  df-pthson 29697  df-spthson 29698  df-wwlks 29811  df-wwlksn 29812  df-wwlksnon 29813  df-wspthsn 29814  df-wspthsnon 29815  df-frgr 30239

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30371  frgrregord013  30375