Theorem frrusgrord 30545

Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 30544, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 29761). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frrusgrord0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frrusgrord	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrrgr 29766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 RegGraph 𝐾)
2		frrusgrord0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	2, 3	rgrprop 29763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
6	5	simprd 499	. . . . 5 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7	2	frrusgrord0 30544	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
8	6, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
9	8	3expb 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
10	9	expcom 417	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
11	10	impd 414	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Fincfn 8929  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11416  ℕ₀^*cxnn0 12556  ♯chash 14345  Vtxcvtx 29199  VtxDegcvtxdg 29668   RegGraph crgr 29758   RegUSGraph crusgr 29759   FriendGraph cfrgr 30462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-oi 9460  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-xadd 13117  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-word 14529  df-concat 14586  df-s1 14612  df-s2 14863  df-s3 14864  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716  df-vtx 29201  df-iedg 29202  df-edg 29251  df-uhgr 29261  df-ushgr 29262  df-upgr 29285  df-umgr 29286  df-uspgr 29353  df-usgr 29354  df-fusgr 29520  df-nbgr 29536  df-vtxdg 29669  df-rgr 29760  df-rusgr 29761  df-wlks 29802  df-wlkson 29803  df-trls 29893  df-trlson 29894  df-pths 29916  df-spths 29917  df-pthson 29918  df-spthson 29919  df-wwlks 30032  df-wwlksn 30033  df-wwlksnon 30034  df-wspthsn 30035  df-wspthsnon 30036  df-frgr 30463

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30595  frgrregord013  30599