MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord 29591
Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 29590, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 28812). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrrgr 28817 . . . . . . 7 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ 𝐺 RegGraph 𝐾)
2 frrusgrord0.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
42, 3rgrprop 28814 . . . . . . 7 (𝐺 RegGraph 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾))
65simprd 496 . . . . 5 (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾)
72frrusgrord0 29590 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
86, 7syl5 34 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
983expb 1120 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
109expcom 414 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1))))
1110impd 411 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) = ((𝐾 Β· (𝐾 βˆ’ 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443  β„•0*cxnn0 12543  β™―chash 14289  Vtxcvtx 28253  VtxDegcvtxdg 28719   RegGraph crgr 28809   RegUSGraph crusgr 28810   FriendGraph cfrgr 29508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-ac 10110  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-s2 14798  df-s3 14799  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-vtx 28255  df-iedg 28256  df-edg 28305  df-uhgr 28315  df-ushgr 28316  df-upgr 28339  df-umgr 28340  df-uspgr 28407  df-usgr 28408  df-fusgr 28571  df-nbgr 28587  df-vtxdg 28720  df-rgr 28811  df-rusgr 28812  df-wlks 28853  df-wlkson 28854  df-trls 28946  df-trlson 28947  df-pths 28970  df-spths 28971  df-pthson 28972  df-spthson 28973  df-wwlks 29081  df-wwlksn 29082  df-wwlksnon 29083  df-wspthsn 29084  df-wspthsnon 29085  df-frgr 29509
This theorem is referenced by:  numclwwlk7  29641  frgrregord013  29645
  Copyright terms: Public domain W3C validator