Theorem frrusgrord 30321

Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 30320, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 29537). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frrusgrord0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frrusgrord	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrrgr 29542	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 RegGraph 𝐾)
2		frrusgrord0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	2, 3	rgrprop 29539	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
6	5	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7	2	frrusgrord0 30320	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
8	6, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
9	8	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
10	9	expcom 413	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
11	10	impd 410	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  ℕ₀^*cxnn0 12454  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28974  VtxDegcvtxdg 29444   RegGraph crgr 29534   RegUSGraph crusgr 29535   FriendGraph cfrgr 30238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-vtx 28976  df-iedg 28977  df-edg 29026  df-uhgr 29036  df-ushgr 29037  df-upgr 29060  df-umgr 29061  df-uspgr 29128  df-usgr 29129  df-fusgr 29295  df-nbgr 29311  df-vtxdg 29445  df-rgr 29536  df-rusgr 29537  df-wlks 29578  df-wlkson 29579  df-trls 29669  df-trlson 29670  df-pths 29692  df-spths 29693  df-pthson 29694  df-spthson 29695  df-wwlks 29808  df-wwlksn 29809  df-wwlksnon 29810  df-wspthsn 29811  df-wspthsnon 29812  df-frgr 30239

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30371  frgrregord013  30375