Theorem frrusgrord 30271

Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". Variant of frrusgrord0 30270, using the definition RegUSGraph (df-rusgr 29492). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frrusgrord0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frrusgrord	⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Proof of Theorem frrusgrord

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusgrrgr 29497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → 𝐺 RegGraph 𝐾)
2		frrusgrord0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	2, 3	rgrprop 29494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 RegGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
6	5	simprd 494	. . . . 5 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)
7	2	frrusgrord0 30270	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
8	6, 7	syl5 34	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
9	8	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
10	9	expcom 412	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))))
11	10	impd 409	1 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∅c0 4322   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Fincfn 8966  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   − cmin 11485  ℕ₀^*cxnn0 12590  ♯chash 14342  Vtxcvtx 28929  VtxDegcvtxdg 29399   RegGraph crgr 29489   RegUSGraph crusgr 29490   FriendGraph cfrgr 30188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-ac2 10497  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5111  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-ac 10152  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-xadd 13141  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574  df-s1 14599  df-s2 14852  df-s3 14853  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-ushgr 28992  df-upgr 29015  df-umgr 29016  df-uspgr 29083  df-usgr 29084  df-fusgr 29250  df-nbgr 29266  df-vtxdg 29400  df-rgr 29491  df-rusgr 29492  df-wlks 29533  df-wlkson 29534  df-trls 29626  df-trlson 29627  df-pths 29650  df-spths 29651  df-pthson 29652  df-spthson 29653  df-wwlks 29761  df-wwlksn 29762  df-wwlksnon 29763  df-wspthsn 29764  df-wspthsnon 29765  df-frgr 30189

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  30321  frgrregord013  30325