Theorem qeqnumdivden 15824

Description: Recover a rational number from its canonical representation. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qeqnumdivden	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))

Proof of Theorem qeqnumdivden

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) = (numer‘𝐴))
2		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (denom‘𝐴) = (denom‘𝐴)
3	1, 2	jctir 518	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((numer‘𝐴) = (numer‘𝐴) ∧ (denom‘𝐴) = (denom‘𝐴)))
4		qnumcl 15818	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
5		qdencl 15819	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
6		qnumdenbi 15822	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (numer‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝐴) ∈ ℕ) → ((((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1 ∧ 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))) ↔ ((numer‘𝐴) = (numer‘𝐴) ∧ (denom‘𝐴) = (denom‘𝐴))))
7	4, 5, 6	mpd3an23 1593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ((((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1 ∧ 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))) ↔ ((numer‘𝐴) = (numer‘𝐴) ∧ (denom‘𝐴) = (denom‘𝐴))))
8	3, 7	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (((numer‘𝐴) gcd (denom‘𝐴)) = 1 ∧ 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴))))
9	8	simprd 491	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  1c1 10252   / cdiv 11008  ℕcn 11349  ℤcz 11703  ℚcq 12070   gcd cgcd 15588  numercnumer 15811  denomcdenom 15812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-dvds 15357  df-gcd 15589  df-numer 15813  df-denom 15814

This theorem is referenced by:  qmuldeneqnum  15825  numdensq  15832  qden1elz  15835  numdenneg  30109  qqhval2  30570  qqhghm  30576  qqhrhm  30577  qqhnm  30578  qqhre  30608  pellexlem3  38238