Theorem ovolun 25406

Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. (Unlike the stronger ovoliun 25412, this does not require any choice principles.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolun	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))

Proof of Theorem ovolun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
2		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	ovolunlem2 25405	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥))
5	4	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥))
6		unss 4155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	6	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	7	ad2ant2r 747	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ)
9		ovolcl 25385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ ℝ*)
11		readdcl 11157	. . . 4 ⊢ (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
12	11	ad2ant2l 746	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
13		xralrple 13171	. . 3 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥)))
14	10, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥)))
15	5, 14	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∪ cun 3914   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073   + caddc 11077  ℝ^*cxr 11213   ≤ cle 11215  ℝ⁺crp 12957  vol*covol 25369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-ioo 13316  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-ovol 25371

This theorem is referenced by:  ovolunnul  25407  ovolfiniun  25408  ismbl2  25434  nulmbl2  25443  unmbl  25444  volun  25452  voliunlem2  25458  uniioombllem3  25492  uniioombllem4  25493  volcn  25513  mblfinlem3  37648  mblfinlem4  37649  ovolsplit  45979