Theorem ovolun 25627

Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. (Unlike the stronger ovoliun 25633, this does not require any choice principles.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolun	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))

Proof of Theorem ovolun

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
2		simplr 780	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
3		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	ovolunlem2 25626	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥))
5	4	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥))
6		unss 4151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	6	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	7	ad2ant2r 759	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ)
9		ovolcl 25606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ ℝ*)
11		readdcl 11183	. . . 4 ⊢ (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
12	11	ad2ant2l 758	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
13		xralrple 13231	. . 3 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥)))
14	10, 12, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥)))
15	5, 14	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   + caddc 11103  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  ℝ⁺crp 13016  vol*covol 25590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-ovol 25592

This theorem is referenced by:  ovolunnul  25628  ovolfiniun  25629  ismbl2  25655  nulmbl2  25664  unmbl  25665  volun  25673  voliunlem2  25679  uniioombllem3  25713  uniioombllem4  25714  volcn  25734  mblfinlem3  38198  mblfinlem4  38199  ovolsplit  46594