MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolun 23703
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. (Unlike the stronger ovoliun 23709, this does not require any choice principles.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolun (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))

Proof of Theorem ovolun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 757 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
2 simplr 759 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
3 simpr 479 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
41, 2, 3ovolunlem2 23702 . . 3 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥))
54ralrimiva 3148 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥))
6 unss 4010 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
76biimpi 208 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
87ad2ant2r 737 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
9 ovolcl 23682 . . . 4 ((𝐴𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
11 readdcl 10355 . . . 4 (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
1211ad2ant2l 736 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ)
13 xralrple 12348 . . 3 (((vol*‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥)))
1410, 12, 13syl2anc 579 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → ((vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ (((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)) + 𝑥)))
155, 14mpbird 249 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) ≤ ((vol*‘𝐴) + (vol*‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2107  wral 3090  cun 3790  wss 3792   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cr 10271   + caddc 10275  *cxr 10410  cle 10412  +crp 12137  vol*covol 23666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-ovol 23668
This theorem is referenced by:  ovolunnul  23704  ovolfiniun  23705  ismbl2  23731  nulmbl2  23740  unmbl  23741  volun  23749  voliunlem2  23755  uniioombllem3  23789  uniioombllem4  23790  volcn  23810  mblfinlem3  34074  mblfinlem4  34075  ovolsplit  41132
  Copyright terms: Public domain W3C validator