Theorem sqrtcld 15001

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 14925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  ℂcc 10727  √csqrt 14796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15004  pythagtriplem12  16379  pythagtriplem14  16381  pythagtriplem16  16383  tcphcphlem1  24132  tcphcph  24134  efif1olem3  25433  efif1olem4  25434  dvcnsqrt  25630  loglesqrt  25644  quad  25723  dcubic  25729  cubic  25732  quartlem2  25741  quartlem3  25742  quartlem4  25743  quart  25744  asinlem  25751  asinlem2  25752  asinlem3a  25753  asinlem3  25754  asinf  25755  asinneg  25769  efiasin  25771  sinasin  25772  asinbnd  25782  cosasin  25787  efiatan2  25800  cosatan  25804  cosatanne0  25805  atans2  25814  addsqnreup  26324  sqsscirc1  31572  divsqrtid  32286  logdivsqrle  32342  dvasin  35598  dvacos  35599  areacirclem1  35602  areacirclem4  35605  areacirc  35607  pell1234qrne0  40378  pell1234qrreccl  40379  pell1234qrmulcl  40380  pell14qrgt0  40384  pell1234qrdich  40386  pell14qrdich  40394  pell1qr1  40396  rmspecsqrtnq  40431  rmxyneg  40445  rmxyadd  40446  rmxy1  40447  rmxy0  40448  jm2.22  40520  stirlinglem3  43292  stirlinglem4  43293  stirlinglem13  43302  stirlinglem14  43303  stirlinglem15  43304  qndenserrnbllem  43510  sqrtnegnre  44472  quad1  44745  requad01  44746  requad1  44747  requad2  44748  itsclc0yqsol  45783  itscnhlc0xyqsol  45784  itschlc0xyqsol1  45785  itschlc0xyqsol  45786  itsclc0xyqsolr  45788  inlinecirc02plem  45805