MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrtcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtcld 14790
Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqrtcld (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqrtcl 14714 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  cfv 6351  cc 10527  csqrt 14585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588
This theorem is referenced by:  msqsqrtd  14793  pythagtriplem12  16155  pythagtriplem14  16157  pythagtriplem16  16159  tcphcphlem1  23753  tcphcph  23755  efif1olem3  25041  efif1olem4  25042  dvcnsqrt  25238  loglesqrt  25252  quad  25331  dcubic  25337  cubic  25340  quartlem2  25349  quartlem3  25350  quartlem4  25351  quart  25352  asinlem  25359  asinlem2  25360  asinlem3a  25361  asinlem3  25362  asinf  25363  asinneg  25377  efiasin  25379  sinasin  25380  asinbnd  25390  cosasin  25395  efiatan2  25408  cosatan  25412  cosatanne0  25413  atans2  25422  addsqnreup  25933  sqsscirc1  31038  divsqrtid  31752  logdivsqrle  31808  dvasin  34846  dvacos  34847  areacirclem1  34850  areacirclem4  34853  areacirc  34855  pell1234qrne0  39312  pell1234qrreccl  39313  pell1234qrmulcl  39314  pell14qrgt0  39318  pell1234qrdich  39320  pell14qrdich  39328  pell1qr1  39330  rmspecsqrtnq  39365  rmxyneg  39379  rmxyadd  39380  rmxy1  39381  rmxy0  39382  jm2.22  39454  stirlinglem3  42224  stirlinglem4  42225  stirlinglem13  42234  stirlinglem14  42235  stirlinglem15  42236  qndenserrnbllem  42442  sqrtnegnre  43370  quad1  43614  requad01  43615  requad1  43616  requad2  43617  itsclc0yqsol  44580  itscnhlc0xyqsol  44581  itschlc0xyqsol1  44582  itschlc0xyqsol  44583  itsclc0xyqsolr  44585  inlinecirc02plem  44602
  Copyright terms: Public domain W3C validator