Theorem sqrtcld 15354

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6489  ℂcc 11015  √csqrt 15147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15357  pythagtriplem12  16745  pythagtriplem14  16747  pythagtriplem16  16749  tcphcphlem1  25182  tcphcph  25184  efif1olem3  26500  efif1olem4  26501  dvcnsqrt  26700  loglesqrt  26718  quad  26797  dcubic  26803  cubic  26806  quartlem2  26815  quartlem3  26816  quartlem4  26817  quart  26818  asinlem  26825  asinlem2  26826  asinlem3a  26827  asinlem3  26828  asinf  26829  asinneg  26843  efiasin  26845  sinasin  26846  asinbnd  26856  cosasin  26861  efiatan2  26874  cosatan  26878  cosatanne0  26879  atans2  26888  addsqnreup  27401  quad3d  32757  constrsqrtcl  33864  sqsscirc1  33993  divsqrtid  34679  logdivsqrle  34735  dvasin  37817  dvacos  37818  areacirclem1  37821  areacirclem4  37824  areacirc  37826  tan3rdpi  42522  pell1234qrne0  43010  pell1234qrreccl  43011  pell1234qrmulcl  43012  pell14qrgt0  43016  pell1234qrdich  43018  pell14qrdich  43026  pell1qr1  43028  rmspecsqrtnq  43063  rmxyneg  43077  rmxyadd  43078  rmxy1  43079  rmxy0  43080  jm2.22  43152  stirlinglem3  46236  stirlinglem4  46237  stirlinglem13  46246  stirlinglem14  46247  stirlinglem15  46248  qndenserrnbllem  46454  sqrtnegnre  47469  quad1  47782  requad01  47783  requad1  47784  requad2  47785  itsclc0yqsol  48926  itscnhlc0xyqsol  48927  itschlc0xyqsol1  48928  itschlc0xyqsol  48929  itsclc0xyqsolr  48931  inlinecirc02plem  48948