Theorem sqrtcld 15527

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15449	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  ℂcc 11122  √csqrt 15320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  msqsqrtd  15530  pythagtriplem12  16918  pythagtriplem14  16920  pythagtriplem16  16922  tcphcphlem1  25463  tcphcph  25465  efif1olem3  26781  efif1olem4  26782  dvcnsqrt  26981  loglesqrt  26998  quad  27077  dcubic  27083  cubic  27086  quartlem2  27095  quartlem3  27096  quartlem4  27097  quart  27098  asinlem  27105  asinlem2  27106  asinlem3a  27107  asinlem3  27108  asinf  27109  asinneg  27123  efiasin  27125  sinasin  27126  asinbnd  27136  cosasin  27141  efiatan2  27154  cosatan  27158  cosatanne0  27159  atans2  27168  addsqnreup  27679  quad3d  33220  constrsqrtcl  34289  sqsscirc1  34418  divsqrtid  35102  logdivsqrle  35158  dvasin  38453  dvacos  38454  areacirclem1  38457  areacirclem4  38460  areacirc  38462  tan3rdpi  43227  pell1234qrne0  43694  pell1234qrreccl  43695  pell1234qrmulcl  43696  pell14qrgt0  43700  pell1234qrdich  43702  pell14qrdich  43710  pell1qr1  43712  rmspecsqrtnq  43747  rmxyneg  43761  rmxyadd  43762  rmxy1  43763  rmxy0  43764  jm2.22  43836  stirlinglem3  46904  stirlinglem4  46905  stirlinglem13  46914  stirlinglem14  46915  stirlinglem15  46916  qndenserrnbllem  47122  sqrtnnaa  47731  sqrtnegnre  48195  quad1  48536  requad01  48537  requad1  48538  requad2  48539  itsclc0yqsol  49694  itscnhlc0xyqsol  49695  itschlc0xyqsol1  49696  itschlc0xyqsol  49697  itsclc0xyqsolr  49699  inlinecirc02plem  49716