Theorem sqrtcld 15613

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15535	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  ℂcc 11202  √csqrt 15406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409

This theorem is used by:  msqsqrtd  15616  pythagtriplem12  17010  pythagtriplem14  17012  pythagtriplem16  17014  tcphcphlem1  25562  tcphcph  25564  efif1olem3  26878  efif1olem4  26879  dvcnsqrt  27078  loglesqrt  27095  quad  27174  dcubic  27180  cubic  27183  quartlem2  27192  quartlem3  27193  quartlem4  27194  quart  27195  asinlem  27202  asinlem2  27203  asinlem3a  27204  asinlem3  27205  asinf  27206  asinneg  27220  efiasin  27222  sinasin  27223  asinbnd  27233  cosasin  27238  efiatan2  27251  cosatan  27255  cosatanne0  27256  atans2  27265  addsqnreup  27776  quad3d  33388  constrsqrtcl  34458  sqsscirc1  34587  divsqrtid  35270  logdivsqrle  35326  dvasin  38716  dvacos  38717  areacirclem1  38720  areacirclem4  38723  areacirc  38725  tan3rdpi  43497  pell1234qrne0  43954  pell1234qrreccl  43955  pell1234qrmulcl  43956  pell14qrgt0  43960  pell1234qrdich  43962  pell14qrdich  43970  pell1qr1  43972  rmspecsqrtnq  44007  rmxyneg  44021  rmxyadd  44022  rmxy1  44023  rmxy0  44024  jm2.22  44096  stirlinglem3  47180  stirlinglem4  47181  stirlinglem13  47190  stirlinglem14  47191  stirlinglem15  47192  qndenserrnbllem  47398  sqrtnnaa  48007  sqrtnegnre  48471  quad1  48812  requad01  48813  requad1  48814  requad2  48815  itsclc0yqsol  49970  itscnhlc0xyqsol  49971  itschlc0xyqsol1  49972  itschlc0xyqsol  49973  itsclc0xyqsolr  49975  inlinecirc02plem  49992