Theorem sqrtcld 15493

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  ℂcc 11099  √csqrt 15286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15496  pythagtriplem12  16887  pythagtriplem14  16889  pythagtriplem16  16891  tcphcphlem1  25375  tcphcph  25377  efif1olem3  26690  efif1olem4  26691  dvcnsqrt  26890  loglesqrt  26907  quad  26986  dcubic  26992  cubic  26995  quartlem2  27004  quartlem3  27005  quartlem4  27006  quart  27007  asinlem  27014  asinlem2  27015  asinlem3a  27016  asinlem3  27017  asinf  27018  asinneg  27032  efiasin  27034  sinasin  27035  asinbnd  27045  cosasin  27050  efiatan2  27063  cosatan  27067  cosatanne0  27068  atans2  27077  addsqnreup  27588  quad3d  33075  constrsqrtcl  34150  sqsscirc1  34279  divsqrtid  34962  logdivsqrle  35018  dvasin  38336  dvacos  38337  areacirclem1  38340  areacirclem4  38343  areacirc  38345  tan3rdpi  43094  pell1234qrne0  43563  pell1234qrreccl  43564  pell1234qrmulcl  43565  pell14qrgt0  43569  pell1234qrdich  43571  pell14qrdich  43579  pell1qr1  43581  rmspecsqrtnq  43616  rmxyneg  43630  rmxyadd  43631  rmxy1  43632  rmxy0  43633  jm2.22  43705  stirlinglem3  46773  stirlinglem4  46774  stirlinglem13  46783  stirlinglem14  46784  stirlinglem15  46785  qndenserrnbllem  46991  sqrtnegnre  48027  quad1  48368  requad01  48369  requad1  48370  requad2  48371  itsclc0yqsol  49527  itscnhlc0xyqsol  49528  itschlc0xyqsol1  49529  itschlc0xyqsol  49530  itsclc0xyqsolr  49532  inlinecirc02plem  49549