Theorem sqrtcld 15393

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15315	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  ℂcc 11027  √csqrt 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15396  pythagtriplem12  16788  pythagtriplem14  16790  pythagtriplem16  16792  tcphcphlem1  25220  tcphcph  25222  efif1olem3  26526  efif1olem4  26527  dvcnsqrt  26726  loglesqrt  26743  quad  26822  dcubic  26828  cubic  26831  quartlem2  26840  quartlem3  26841  quartlem4  26842  quart  26843  asinlem  26850  asinlem2  26851  asinlem3a  26852  asinlem3  26853  asinf  26854  asinneg  26868  efiasin  26870  sinasin  26871  asinbnd  26881  cosasin  26886  efiatan2  26899  cosatan  26903  cosatanne0  26904  atans2  26913  addsqnreup  27424  quad3d  32841  constrsqrtcl  33963  sqsscirc1  34092  divsqrtid  34778  logdivsqrle  34834  dvasin  38071  dvacos  38072  areacirclem1  38075  areacirclem4  38078  areacirc  38080  tan3rdpi  42829  pell1234qrne0  43298  pell1234qrreccl  43299  pell1234qrmulcl  43300  pell14qrgt0  43304  pell1234qrdich  43306  pell14qrdich  43314  pell1qr1  43316  rmspecsqrtnq  43351  rmxyneg  43365  rmxyadd  43366  rmxy1  43367  rmxy0  43368  jm2.22  43440  stirlinglem3  46519  stirlinglem4  46520  stirlinglem13  46529  stirlinglem14  46530  stirlinglem15  46531  qndenserrnbllem  46737  sqrtnegnre  47770  quad1  48111  requad01  48112  requad1  48113  requad2  48114  itsclc0yqsol  49255  itscnhlc0xyqsol  49256  itschlc0xyqsol1  49257  itschlc0xyqsol  49258  itsclc0xyqsolr  49260  inlinecirc02plem  49277