Theorem sqrtcld 15389

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  ℂcc 11111  √csqrt 15185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15392  pythagtriplem12  16764  pythagtriplem14  16766  pythagtriplem16  16768  tcphcphlem1  24984  tcphcph  24986  efif1olem3  26290  efif1olem4  26291  dvcnsqrt  26489  loglesqrt  26503  quad  26582  dcubic  26588  cubic  26591  quartlem2  26600  quartlem3  26601  quartlem4  26602  quart  26603  asinlem  26610  asinlem2  26611  asinlem3a  26612  asinlem3  26613  asinf  26614  asinneg  26628  efiasin  26630  sinasin  26631  asinbnd  26641  cosasin  26646  efiatan2  26659  cosatan  26663  cosatanne0  26664  atans2  26673  addsqnreup  27183  sqsscirc1  33187  divsqrtid  33905  logdivsqrle  33961  dvasin  36876  dvacos  36877  areacirclem1  36880  areacirclem4  36883  areacirc  36885  pell1234qrne0  41894  pell1234qrreccl  41895  pell1234qrmulcl  41896  pell14qrgt0  41900  pell1234qrdich  41902  pell14qrdich  41910  pell1qr1  41912  rmspecsqrtnq  41947  rmxyneg  41962  rmxyadd  41963  rmxy1  41964  rmxy0  41965  jm2.22  42037  stirlinglem3  45091  stirlinglem4  45092  stirlinglem13  45101  stirlinglem14  45102  stirlinglem15  45103  qndenserrnbllem  45309  sqrtnegnre  46314  quad1  46587  requad01  46588  requad1  46589  requad2  46590  itsclc0yqsol  47538  itscnhlc0xyqsol  47539  itschlc0xyqsol1  47540  itschlc0xyqsol  47541  itsclc0xyqsolr  47543  inlinecirc02plem  47560