Theorem sqrtcld 15342

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  ℂcc 10999  √csqrt 15135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15345  pythagtriplem12  16733  pythagtriplem14  16735  pythagtriplem16  16737  tcphcphlem1  25157  tcphcph  25159  efif1olem3  26475  efif1olem4  26476  dvcnsqrt  26675  loglesqrt  26693  quad  26772  dcubic  26778  cubic  26781  quartlem2  26790  quartlem3  26791  quartlem4  26792  quart  26793  asinlem  26800  asinlem2  26801  asinlem3a  26802  asinlem3  26803  asinf  26804  asinneg  26818  efiasin  26820  sinasin  26821  asinbnd  26831  cosasin  26836  efiatan2  26849  cosatan  26853  cosatanne0  26854  atans2  26863  addsqnreup  27376  quad3d  32725  constrsqrtcl  33784  sqsscirc1  33913  divsqrtid  34599  logdivsqrle  34655  dvasin  37744  dvacos  37745  areacirclem1  37748  areacirclem4  37751  areacirc  37753  tan3rdpi  42385  pell1234qrne0  42886  pell1234qrreccl  42887  pell1234qrmulcl  42888  pell14qrgt0  42892  pell1234qrdich  42894  pell14qrdich  42902  pell1qr1  42904  rmspecsqrtnq  42939  rmxyneg  42953  rmxyadd  42954  rmxy1  42955  rmxy0  42956  jm2.22  43028  stirlinglem3  46114  stirlinglem4  46115  stirlinglem13  46124  stirlinglem14  46125  stirlinglem15  46126  qndenserrnbllem  46332  sqrtnegnre  47338  quad1  47651  requad01  47652  requad1  47653  requad2  47654  itsclc0yqsol  48796  itscnhlc0xyqsol  48797  itschlc0xyqsol1  48798  itschlc0xyqsol  48799  itsclc0xyqsolr  48801  inlinecirc02plem  48818