Theorem sqrtcld 15149

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  √csqrt 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15152  pythagtriplem12  16527  pythagtriplem14  16529  pythagtriplem16  16531  tcphcphlem1  24399  tcphcph  24401  efif1olem3  25700  efif1olem4  25701  dvcnsqrt  25897  loglesqrt  25911  quad  25990  dcubic  25996  cubic  25999  quartlem2  26008  quartlem3  26009  quartlem4  26010  quart  26011  asinlem  26018  asinlem2  26019  asinlem3a  26020  asinlem3  26021  asinf  26022  asinneg  26036  efiasin  26038  sinasin  26039  asinbnd  26049  cosasin  26054  efiatan2  26067  cosatan  26071  cosatanne0  26072  atans2  26081  addsqnreup  26591  sqsscirc1  31858  divsqrtid  32574  logdivsqrle  32630  dvasin  35861  dvacos  35862  areacirclem1  35865  areacirclem4  35868  areacirc  35870  pell1234qrne0  40675  pell1234qrreccl  40676  pell1234qrmulcl  40677  pell14qrgt0  40681  pell1234qrdich  40683  pell14qrdich  40691  pell1qr1  40693  rmspecsqrtnq  40728  rmxyneg  40742  rmxyadd  40743  rmxy1  40744  rmxy0  40745  jm2.22  40817  stirlinglem3  43617  stirlinglem4  43618  stirlinglem13  43627  stirlinglem14  43628  stirlinglem15  43629  qndenserrnbllem  43835  sqrtnegnre  44799  quad1  45072  requad01  45073  requad1  45074  requad2  45075  itsclc0yqsol  46110  itscnhlc0xyqsol  46111  itschlc0xyqsol1  46112  itschlc0xyqsol  46113  itsclc0xyqsolr  46115  inlinecirc02plem  46132