Theorem sqrtcld 14791

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 14715	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  ℂcc 10529  √csqrt 14586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  14794  pythagtriplem12  16157  pythagtriplem14  16159  pythagtriplem16  16161  tcphcphlem1  23832  tcphcph  23834  efif1olem3  25122  efif1olem4  25123  dvcnsqrt  25319  loglesqrt  25333  quad  25412  dcubic  25418  cubic  25421  quartlem2  25430  quartlem3  25431  quartlem4  25432  quart  25433  asinlem  25440  asinlem2  25441  asinlem3a  25442  asinlem3  25443  asinf  25444  asinneg  25458  efiasin  25460  sinasin  25461  asinbnd  25471  cosasin  25476  efiatan2  25489  cosatan  25493  cosatanne0  25494  atans2  25503  addsqnreup  26013  sqsscirc1  31146  divsqrtid  31860  logdivsqrle  31916  dvasin  34972  dvacos  34973  areacirclem1  34976  areacirclem4  34979  areacirc  34981  pell1234qrne0  39443  pell1234qrreccl  39444  pell1234qrmulcl  39445  pell14qrgt0  39449  pell1234qrdich  39451  pell14qrdich  39459  pell1qr1  39461  rmspecsqrtnq  39496  rmxyneg  39510  rmxyadd  39511  rmxy1  39512  rmxy0  39513  jm2.22  39585  stirlinglem3  42355  stirlinglem4  42356  stirlinglem13  42365  stirlinglem14  42366  stirlinglem15  42367  qndenserrnbllem  42573  sqrtnegnre  43501  quad1  43779  requad01  43780  requad1  43781  requad2  43782  itsclc0yqsol  44745  itscnhlc0xyqsol  44746  itschlc0xyqsol1  44747  itschlc0xyqsol  44748  itsclc0xyqsolr  44750  inlinecirc02plem  44767