Theorem sqrtcld 15476

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15400	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  √csqrt 15272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15479  pythagtriplem12  16864  pythagtriplem14  16866  pythagtriplem16  16868  tcphcphlem1  25269  tcphcph  25271  efif1olem3  26586  efif1olem4  26587  dvcnsqrt  26786  loglesqrt  26804  quad  26883  dcubic  26889  cubic  26892  quartlem2  26901  quartlem3  26902  quartlem4  26903  quart  26904  asinlem  26911  asinlem2  26912  asinlem3a  26913  asinlem3  26914  asinf  26915  asinneg  26929  efiasin  26931  sinasin  26932  asinbnd  26942  cosasin  26947  efiatan2  26960  cosatan  26964  cosatanne0  26965  atans2  26974  addsqnreup  27487  quad3d  32754  sqsscirc1  33907  divsqrtid  34609  logdivsqrle  34665  dvasin  37711  dvacos  37712  areacirclem1  37715  areacirclem4  37718  areacirc  37720  tan3rdpi  42386  pell1234qrne0  42864  pell1234qrreccl  42865  pell1234qrmulcl  42866  pell14qrgt0  42870  pell1234qrdich  42872  pell14qrdich  42880  pell1qr1  42882  rmspecsqrtnq  42917  rmxyneg  42932  rmxyadd  42933  rmxy1  42934  rmxy0  42935  jm2.22  43007  stirlinglem3  46091  stirlinglem4  46092  stirlinglem13  46101  stirlinglem14  46102  stirlinglem15  46103  qndenserrnbllem  46309  sqrtnegnre  47319  quad1  47607  requad01  47608  requad1  47609  requad2  47610  itsclc0yqsol  48685  itscnhlc0xyqsol  48686  itschlc0xyqsol1  48687  itschlc0xyqsol  48688  itsclc0xyqsolr  48690  inlinecirc02plem  48707