Theorem sqrtcld 15491

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  √csqrt 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15494  pythagtriplem12  16886  pythagtriplem14  16888  pythagtriplem16  16890  tcphcphlem1  25363  tcphcph  25365  efif1olem3  26675  efif1olem4  26676  dvcnsqrt  26875  loglesqrt  26892  quad  26971  dcubic  26977  cubic  26980  quartlem2  26989  quartlem3  26990  quartlem4  26991  quart  26992  asinlem  26999  asinlem2  27000  asinlem3a  27001  asinlem3  27002  asinf  27003  asinneg  27017  efiasin  27019  sinasin  27020  asinbnd  27030  cosasin  27035  efiatan2  27048  cosatan  27052  cosatanne0  27053  atans2  27062  addsqnreup  27573  quad3d  33035  constrsqrtcl  34114  sqsscirc1  34243  divsqrtid  34926  logdivsqrle  34982  dvasin  38243  dvacos  38244  areacirclem1  38247  areacirclem4  38250  areacirc  38252  tan3rdpi  43003  pell1234qrne0  43472  pell1234qrreccl  43473  pell1234qrmulcl  43474  pell14qrgt0  43478  pell1234qrdich  43480  pell14qrdich  43488  pell1qr1  43490  rmspecsqrtnq  43525  rmxyneg  43539  rmxyadd  43540  rmxy1  43541  rmxy0  43542  jm2.22  43614  stirlinglem3  46682  stirlinglem4  46683  stirlinglem13  46692  stirlinglem14  46693  stirlinglem15  46694  qndenserrnbllem  46900  sqrtnegnre  47933  quad1  48274  requad01  48275  requad1  48276  requad2  48277  itsclc0yqsol  49429  itscnhlc0xyqsol  49430  itschlc0xyqsol1  49431  itschlc0xyqsol  49432  itsclc0xyqsolr  49434  inlinecirc02plem  49451