Theorem sqrtcld 15353

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6487  ℂcc 11010  √csqrt 15146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149

This theorem is referenced by:  msqsqrtd  15356  pythagtriplem12  16744  pythagtriplem14  16746  pythagtriplem16  16748  tcphcphlem1  25168  tcphcph  25170  efif1olem3  26486  efif1olem4  26487  dvcnsqrt  26686  loglesqrt  26704  quad  26783  dcubic  26789  cubic  26792  quartlem2  26801  quartlem3  26802  quartlem4  26803  quart  26804  asinlem  26811  asinlem2  26812  asinlem3a  26813  asinlem3  26814  asinf  26815  asinneg  26829  efiasin  26831  sinasin  26832  asinbnd  26842  cosasin  26847  efiatan2  26860  cosatan  26864  cosatanne0  26865  atans2  26874  addsqnreup  27387  quad3d  32740  constrsqrtcl  33799  sqsscirc1  33928  divsqrtid  34614  logdivsqrle  34670  dvasin  37750  dvacos  37751  areacirclem1  37754  areacirclem4  37757  areacirc  37759  tan3rdpi  42451  pell1234qrne0  42951  pell1234qrreccl  42952  pell1234qrmulcl  42953  pell14qrgt0  42957  pell1234qrdich  42959  pell14qrdich  42967  pell1qr1  42969  rmspecsqrtnq  43004  rmxyneg  43018  rmxyadd  43019  rmxy1  43020  rmxy0  43021  jm2.22  43093  stirlinglem3  46179  stirlinglem4  46180  stirlinglem13  46189  stirlinglem14  46190  stirlinglem15  46191  qndenserrnbllem  46397  sqrtnegnre  47412  quad1  47725  requad01  47726  requad1  47727  requad2  47728  itsclc0yqsol  48870  itscnhlc0xyqsol  48871  itschlc0xyqsol1  48872  itschlc0xyqsol  48873  itsclc0xyqsolr  48875  inlinecirc02plem  48892