Theorem sqrtcld 15600

Description: Closure of the square root function over the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqrtcl 15522	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℂcc 11191  √csqrt 15393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396

This theorem is used by:  msqsqrtd  15603  pythagtriplem12  16997  pythagtriplem14  16999  pythagtriplem16  17001  tcphcphlem1  25549  tcphcph  25551  efif1olem3  26865  efif1olem4  26866  dvcnsqrt  27065  loglesqrt  27082  quad  27161  dcubic  27167  cubic  27170  quartlem2  27179  quartlem3  27180  quartlem4  27181  quart  27182  asinlem  27189  asinlem2  27190  asinlem3a  27191  asinlem3  27192  asinf  27193  asinneg  27207  efiasin  27209  sinasin  27210  asinbnd  27220  cosasin  27225  efiatan2  27238  cosatan  27242  cosatanne0  27243  atans2  27252  addsqnreup  27763  quad3d  33334  constrsqrtcl  34404  sqsscirc1  34533  divsqrtid  35216  logdivsqrle  35272  dvasin  38602  dvacos  38603  areacirclem1  38606  areacirclem4  38609  areacirc  38611  tan3rdpi  43383  pell1234qrne0  43839  pell1234qrreccl  43840  pell1234qrmulcl  43841  pell14qrgt0  43845  pell1234qrdich  43847  pell14qrdich  43855  pell1qr1  43857  rmspecsqrtnq  43892  rmxyneg  43906  rmxyadd  43907  rmxy1  43908  rmxy0  43909  jm2.22  43981  stirlinglem3  47055  stirlinglem4  47056  stirlinglem13  47065  stirlinglem14  47066  stirlinglem15  47067  qndenserrnbllem  47273  sqrtnnaa  47882  sqrtnegnre  48346  quad1  48687  requad01  48688  requad1  48689  requad2  48690  itsclc0yqsol  49845  itscnhlc0xyqsol  49846  itschlc0xyqsol1  49847  itschlc0xyqsol  49848  itsclc0xyqsolr  49850  inlinecirc02plem  49867