MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgrpsubgsymgbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgrpsubgsymgbi 18047
Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pgrpsubgsymgbi.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pgrpsubgsymgbi (𝐴𝑉 → (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)))

Proof of Theorem pgrpsubgsymgbi
StepHypRef Expression
1 pgrpsubgsymgbi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
21issubg 17815 . . 3 (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp))
3 3anass 1109 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)))
42, 3bitri 266 . 2 (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)))
5 pgrpsubgsymgbi.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
65symggrp 18040 . . 3 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
7 ibar 520 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp))))
87bicomd 214 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)) ↔ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)))
96, 8syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)) ↔ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)))
104, 9syl5bb 274 1 (𝐴𝑉 → (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑃𝐵 ∧ (𝐺s 𝑃) ∈ Grp)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wss 3780  cfv 6110  (class class class)co 6883  Basecbs 16087  s cress 16088  Grpcgrp 17646  SubGrpcsubg 17809  SymGrpcsymg 18017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-uz 11924  df-fz 12569  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-plusg 16185  df-tset 16191  df-0g 16326  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-grp 17649  df-subg 17812  df-symg 18018
This theorem is referenced by:  idrespermg  18051
  Copyright terms: Public domain W3C validator