Theorem pgrpsubgsymgbi 19113

Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgrpsubgsymgbi.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgrpsubgsymgbi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)))

Proof of Theorem pgrpsubgsymgbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrpsubgsymgbi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 18852	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp))
3		3anass 1095	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)))
4	2, 3	bitri 275	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)))
5		pgrpsubgsymgbi.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
6	5	symggrp 19105	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
7		ibar 530	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp))))
8	7	bicomd 222	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)) ↔ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)) ↔ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)))
10	4, 9	bitrid 283	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑃 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝑃) ∈ Grp)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  Basecbs 17010   ↾_s cress 17039  Grpcgrp 18674  SubGrpcsubg 18846  SymGrpcsymg 19071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-tset 17079  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-efmnd 18605  df-grp 18677  df-subg 18849  df-symg 19072

This theorem is referenced by:  idrespermg  19116