Theorem idrespermg 19453

Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set as base set and the function composition as group operation (constructed by (structure) restricting the symmetric group to that singleton) is a permutation group (group consisting of permutations). (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idressubgsymg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
idrespermg.e	⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})

Assertion

Ref	Expression
idrespermg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idrespermg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idressubgsymg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	idressubgsymg 19452	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 3	pgrpsubgsymgbi 19450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)))
5		snex 5445	. . . . . . 7 ⊢ {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
6		idrespermg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
7	6, 3	ressbas 17289	. . . . . . 7 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
8	5, 7	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
9		inss2 4249	. . . . . 6 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
10	8, 9	eqsstrrdi 4054	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
11	6	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
12	11	eleq1i 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp ↔ 𝐸 ∈ Grp)
13	12	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp → 𝐸 ∈ Grp)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → 𝐸 ∈ Grp)
15	10, 14	anim12ci 614	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
16	15	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
17	4, 16	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
18	2, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3481   ∩ cin 3965   ⊆ wss 3966  {csn 4634   I cid 5586   ↾ cres 5695  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254   ↾_s cress 17283  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  SymGrpcsymg 19410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-7 12341  df-8 12342  df-9 12343  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-tset 17326  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-symg 19411

This theorem is referenced by: (None)