Theorem idrespermg 19396

Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set as base set and the function composition as group operation (constructed by (structure) restricting the symmetric group to that singleton) is a permutation group (group consisting of permutations). (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idressubgsymg.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
idrespermg.e	⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})

Assertion

Ref	Expression
idrespermg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idrespermg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idressubgsymg.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	idressubgsymg 19395	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	1, 3	pgrpsubgsymgbi 19393	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)))
5		snex 5416	. . . . . . 7 ⊢ {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
6		idrespermg.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)})
7	6, 3	ressbas 17257	. . . . . . 7 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
8	5, 7	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
9		inss2 4218	. . . . . 6 ⊢ ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
10	8, 9	eqsstrrdi 4009	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
11	6	eqcomi 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
12	11	eleq1i 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp ↔ 𝐸 ∈ Grp)
13	12	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp → 𝐸 ∈ Grp)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → 𝐸 ∈ Grp)
15	10, 14	anim12ci 614	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
16	15	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
17	4, 16	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
18	2, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {csn 4606   I cid 5557   ↾ cres 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  Grpcgrp 18919  SubGrpcsubg 19106  SymGrpcsymg 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-tset 17291  df-0g 17456  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-submnd 18765  df-efmnd 18850  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-subg 19109  df-symg 19354

This theorem is referenced by: (None)