Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idrespermg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idrespermg 18518
 Description: The structure with the singleton containing only the identity function restricted to a set as base set and the function composition as group operation (constructed by (structure) restricting the symmetric group to that singleton) is a permutation group (group consisting of permutations). (Contributed by AV, 17-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
idressubgsymg.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
idrespermg.e 𝐸 = (𝐺s {( I ↾ 𝐴)})
Assertion
Ref Expression
idrespermg (𝐴𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))

Proof of Theorem idrespermg
StepHypRef Expression
1 idressubgsymg.g . . 3 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
21idressubgsymg 18517 . 2 (𝐴𝑉 → {( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
41, 3pgrpsubgsymgbi 18515 . . 3 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)))
5 snex 5305 . . . . . . 7 {( I ↾ 𝐴)} ∈ V
6 idrespermg.e . . . . . . . 8 𝐸 = (𝐺s {( I ↾ 𝐴)})
76, 3ressbas 16533 . . . . . . 7 ({( I ↾ 𝐴)} ∈ V → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
85, 7mp1i 13 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐸))
9 inss2 4181 . . . . . 6 ({( I ↾ 𝐴)} ∩ (Base‘𝐺)) ⊆ (Base‘𝐺)
108, 9eqsstrrdi 3998 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))
116eqcomi 2830 . . . . . . . 8 (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) = 𝐸
1211eleq1i 2902 . . . . . . 7 ((𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp ↔ 𝐸 ∈ Grp)
1312biimpi 219 . . . . . 6 ((𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp → 𝐸 ∈ Grp)
1413adantl 485 . . . . 5 (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → 𝐸 ∈ Grp)
1510, 14anim12ci 616 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp)) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
1615ex 416 . . 3 (𝐴𝑉 → (({( I ↾ 𝐴)} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s {( I ↾ 𝐴)}) ∈ Grp) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
174, 16sylbid 243 . 2 (𝐴𝑉 → ({( I ↾ 𝐴)} ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺))))
182, 17mpd 15 1 (𝐴𝑉 → (𝐸 ∈ Grp ∧ (Base‘𝐸) ⊆ (Base‘𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  {csn 4540   I cid 5432   ↾ cres 5530  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  Grpcgrp 18082  SubGrpcsubg 18252  SymGrpcsymg 18474 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-tset 16563  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-efmnd 18013  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-subg 18255  df-symg 18475 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator