Theorem deg1mulle2 26163

Description: Produce a bound on the product of two univariate polynomials given bounds on the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1addle.y	⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
deg1addle.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1addle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1mulle2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1mulle2.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
deg1mulle2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1mulle2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1mulle2.j1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.k1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.j2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
deg1mulle2.k2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
deg1mulle2	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Proof of Theorem deg1mulle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		deg1addle.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3	2	deg1fval 26134	. 2 ⊢ 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4		1on 8517	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
6		deg1addle.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		deg1addle.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Poly1‘𝑅)
8		deg1mulle2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9	7, 8	ply1bas 22212	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
10		deg1mulle2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑌)
11	7, 1, 10	ply1mulr 22243	. 2 ⊢ · = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
12		deg1mulle2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
13		deg1mulle2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
14		deg1mulle2.j1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
15		deg1mulle2.k1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		deg1mulle2.j2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐽)
17		deg1mulle2.k2	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐾)
18	1, 3, 5, 6, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	mdegmulle2 26133	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  Oncon0 6386  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1_oc1o 8498   + caddc 11156   ≤ cle 11294  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Ringcrg 20251   mPoly cmpl 21944  Poly₁cpl1 22194  deg₁cdg1 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-cnfld 21383  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-ply1 22199  df-mdeg 26109  df-deg1 26110

This theorem is referenced by:  deg1mul2  26168  ply1divex  26191  hbtlem4  43115