MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mulle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mulle2 25556
Description: Produce a bound on the product of two univariate polynomials given bounds on the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
deg1addle.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1addle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1mulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1mulle2.t · = (.r𝑌)
deg1mulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1mulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
deg1mulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
deg1mulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
deg1mulle2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Proof of Theorem deg1mulle2
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . 2 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 deg1addle.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
32deg1fval 25527 . 2 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4 1on 8460 . . 3 1o ∈ On
54a1i 11 . 2 (𝜑 → 1o ∈ On)
6 deg1addle.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 deg1addle.y . . 3 𝑌 = (Poly1𝑅)
8 eqid 2731 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
9 deg1mulle2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
107, 8, 9ply1bas 21648 . 2 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
11 deg1mulle2.t . . 3 · = (.r𝑌)
127, 1, 11ply1mulr 21680 . 2 · = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
13 deg1mulle2.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
14 deg1mulle2.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
15 deg1mulle2.j1 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
16 deg1mulle2.k1 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
17 deg1mulle2.j2 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
18 deg1mulle2.k2 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
191, 3, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mdegmulle2 25526 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5141  Oncon0 6353  cfv 6532  (class class class)co 7393  1oc1o 8441   + caddc 11095  cle 11231  0cn0 12454  Basecbs 17126  .rcmulr 17180  Ringcrg 20014   mPoly cmpl 21390  PwSer1cps1 21628  Poly1cpl1 21630   deg1 cdg1 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-subrg 20310  df-cnfld 20879  df-psr 21393  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-psr1 21633  df-ply1 21635  df-mdeg 25499  df-deg1 25500
This theorem is referenced by:  deg1mul2  25561  ply1divex  25583  hbtlem4  41637
  Copyright terms: Public domain W3C validator