Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mulle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mulle2 24814
 Description: Produce a bound on the product of two univariate polynomials given bounds on the factors. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mulle2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
deg1mulle2.t · = (.r𝑌)
deg1mulle2.f (𝜑𝐹𝐵)
deg1mulle2.g (𝜑𝐺𝐵)
deg1mulle2.j1 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.k1 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
deg1mulle2.j2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
deg1mulle2.k2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
deg1mulle2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))

Proof of Theorem deg1mulle2
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . 2 (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2 deg1addle.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
32deg1fval 24785 . 2 𝐷 = (1o mDeg 𝑅)
4 1on 8124 . . 3 1o ∈ On
54a1i 11 . 2 (𝜑 → 1o ∈ On)
6 deg1addle.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 deg1addle.y . . 3 𝑌 = (Poly1𝑅)
8 eqid 2758 . . 3 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
9 deg1mulle2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
107, 8, 9ply1bas 20924 . 2 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
11 deg1mulle2.t . . 3 · = (.r𝑌)
127, 1, 11ply1mulr 20956 . 2 · = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
13 deg1mulle2.f . 2 (𝜑𝐹𝐵)
14 deg1mulle2.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
15 deg1mulle2.j1 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
16 deg1mulle2.k1 . 2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
17 deg1mulle2.j2 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐽)
18 deg1mulle2.k2 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐾)
191, 3, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mdegmulle2 24784 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐽 + 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5035  Oncon0 6173  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  1oc1o 8110   + caddc 10583   ≤ cle 10719  ℕ0cn0 11939  Basecbs 16546  .rcmulr 16629  Ringcrg 19370   mPoly cmpl 20673  PwSer1cps1 20904  Poly1cpl1 20906   deg1 cdg1 24756 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-ofr 7411  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-subrg 19606  df-cnfld 20172  df-psr 20676  df-mpl 20678  df-opsr 20680  df-psr1 20909  df-ply1 20911  df-mdeg 24757  df-deg1 24758 This theorem is referenced by:  deg1mul2  24819  ply1divex  24841  hbtlem4  40471
 Copyright terms: Public domain W3C validator