MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1mul 19812
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
ressply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
ressply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressply1mul ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1mul
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2 ressply1.h . . 3 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 eqid 2771 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝐻) = (1𝑜 mPoly 𝐻)
4 ressply1.u . . . 4 𝑈 = (Poly1𝐻)
5 eqid 2771 . . . 4 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
6 ressply1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
74, 5, 6ply1bas 19776 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
8 1on 7720 . . . 4 1𝑜 ∈ On
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
10 ressply1.2 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11 eqid 2771 . . 3 ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmplmul 19669 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13 eqid 2771 . . . 4 (.r𝑈) = (.r𝑈)
144, 3, 13ply1mulr 19808 . . 3 (.r𝑈) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
1514oveqi 6805 . 2 (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌)
16 ressply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
17 eqid 2771 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
1816, 1, 17ply1mulr 19808 . . . 4 (.r𝑆) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
196fvexi 6342 . . . . 5 𝐵 ∈ V
20 ressply1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
2120, 17ressmulr 16210 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (.r𝑆) = (.r𝑃))
2219, 21ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑃)
23 eqid 2771 . . . . . 6 (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
2411, 23ressmulr 16210 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
2519, 24ax-mp 5 . . . 4 (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2618, 22, 253eqtr3i 2801 . . 3 (.r𝑃) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2726oveqi 6805 . 2 (𝑋(.r𝑃)𝑌) = (𝑋(.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
2812, 15, 273eqtr4g 2830 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑈)𝑌) = (𝑋(.r𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  Oncon0 5864  cfv 6029  (class class class)co 6792  1𝑜c1o 7706  Basecbs 16060  s cress 16061  .rcmulr 16146  SubRingcsubrg 18982   mPoly cmpl 19564  PwSer1cps1 19756  Poly1cpl1 19758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-fz 12530  df-seq 13005  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-sca 16161  df-vsca 16162  df-tset 16164  df-ple 16165  df-0g 16306  df-gsum 16307  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-submnd 17540  df-grp 17629  df-minusg 17630  df-subg 17795  df-mgp 18694  df-ring 18753  df-subrg 18984  df-psr 19567  df-mpl 19569  df-opsr 19571  df-psr1 19761  df-ply1 19763
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator