Theorem ressply1mul 19812

Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mul	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2771	. . 3 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝐻) = (1𝑜 mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 19776	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
8		1on 7720	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
10		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2771	. . 3 ⊢ ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
12	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11	ressmplmul 19669	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
14	4, 3, 13	ply1mulr 19808	. . 3 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
15	14	oveqi 6805	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌)
16		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18	16, 1, 17	ply1mulr 19808	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
19	6	fvexi 6342	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
21	20, 17	ressmulr 16210	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃)
23		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
24	11, 23	ressmulr 16210	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	18, 22, 25	3eqtr3i 2801	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
27	26	oveqi 6805	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑃)𝑌) = (𝑋(.r‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
28	12, 15, 27	3eqtr4g 2830	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  Oncon0 5864  ‘cfv 6029  (class class class)co 6792  1_𝑜c1o 7706  Basecbs 16060   ↾_s cress 16061  ._rcmulr 16146  SubRingcsubrg 18982   mPoly cmpl 19564  PwSer₁cps1 19756  Poly₁cpl1 19758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-fz 12530  df-seq 13005  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-sca 16161  df-vsca 16162  df-tset 16164  df-ple 16165  df-0g 16306  df-gsum 16307  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-submnd 17540  df-grp 17629  df-minusg 17630  df-subg 17795  df-mgp 18694  df-ring 18753  df-subrg 18984  df-psr 19567  df-mpl 19569  df-opsr 19571  df-psr1 19761  df-ply1 19763

This theorem is referenced by: (None)