Theorem ressply1mul 21152

Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mul	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 21116	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8		1on 8209	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
10		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
12	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11	ressmplmul 20987	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
14	4, 3, 13	ply1mulr 21148	. . 3 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘(1o mPoly 𝐻))
15	14	oveqi 7226	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
16		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18	16, 1, 17	ply1mulr 21148	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
19	6	fvexi 6731	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
21	20, 17	ressmulr 16848	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃)
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(1o mPoly 𝑅)) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
24	11, 23	ressmulr 16848	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(1o mPoly 𝑅)) = (.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(1o mPoly 𝑅)) = (.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	18, 22, 25	3eqtr3i 2773	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
27	26	oveqi 7226	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑃)𝑌) = (𝑋(.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
28	12, 15, 27	3eqtr4g 2803	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  Oncon0 6213  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  1_oc1o 8195  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  ._rcmulr 16803  SubRingcsubrg 19796   mPoly cmpl 20865  PwSer₁cps1 21096  Poly₁cpl1 21098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-ple 16822  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-mgp 19505  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-psr 20868  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-ply1 21103

This theorem is referenced by: (None)