Theorem ressply1mul 20082

Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1mul	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1mul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2795	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 20046	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8		1on 7960	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
10		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2795	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
12	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11	ressmplmul 19926	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
14	4, 3, 13	ply1mulr 20078	. . 3 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘(1o mPoly 𝐻))
15	14	oveqi 7029	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
16		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
18	16, 1, 17	ply1mulr 20078	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
19	6	fvexi 6552	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
21	20, 17	ressmulr 16454	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑃)
23		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(1o mPoly 𝑅)) = (.r‘(1o mPoly 𝑅))
24	11, 23	ressmulr 16454	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (.r‘(1o mPoly 𝑅)) = (.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘(1o mPoly 𝑅)) = (.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	18, 22, 25	3eqtr3i 2827	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
27	26	oveqi 7029	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘𝑃)𝑌) = (𝑋(.r‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
28	12, 15, 27	3eqtr4g 2856	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑈)𝑌) = (𝑋(.r‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437  Oncon0 6066  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  1_oc1o 7946  Basecbs 16312   ↾_s cress 16313  ._rcmulr 16395  SubRingcsubrg 19221   mPoly cmpl 19821  PwSer₁cps1 20026  Poly₁cpl1 20028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-ple 16414  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-subg 18030  df-mgp 18930  df-ring 18989  df-subrg 19223  df-psr 19824  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-psr1 20031  df-ply1 20033

This theorem is referenced by: (None)