Theorem ressply1add 22400

Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1add	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
6	4, 5	ply1bas 22366	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
7		1on 8464	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
9		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
11	1, 2, 3, 6, 8, 9, 10	ressmpladd 22190	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
13	4, 3, 12	ply1plusg 22394	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘(1o mPoly 𝐻))
14	13	oveqi 7425	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
15		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
17	15, 1, 16	ply1plusg 22394	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
18	5	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
20	19, 16	ressplusg 17350	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
21	18, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃)
22		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
23	10, 22	ressplusg 17350	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
24	18, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
25	17, 21, 24	3eqtr3i 2793	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	25	oveqi 7425	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
27	11, 14, 26	3eqtr4g 2822	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1_oc1o 8444  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  +_gcplusg 17316  SubRingcsubrg 20679   mPoly cmpl 22067  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-tset 17335  df-ple 17336  df-subg 19195  df-ring 20323  df-subrg 20680  df-psr 22070  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  gsumply1subr  22404  evls1addd  22542  ressply1invg  33868  ressply1sub  33869