Theorem ressply1add 22547

Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1add	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
6	4, 5	ply1bas 22513	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
7		1on 8489	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
9		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
11	1, 2, 3, 6, 8, 9, 10	ressmpladd 22337	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
12		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
13	4, 3, 12	ply1plusg 22541	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘(1o mPoly 𝐻))
14	13	oveqi 7433	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
15		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
17	15, 1, 16	ply1plusg 22541	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
18	5	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
20	19, 16	ressplusg 17462	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
21	18, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃)
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
23	10, 22	ressplusg 17462	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
24	18, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
25	17, 21, 24	3eqtr3i 2791	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	25	oveqi 7433	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
27	11, 14, 26	3eqtr4g 2820	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8469  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  +_gcplusg 17428  SubRingcsubrg 20821   mPoly cmpl 22214  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-tset 17447  df-ple 17448  df-subg 19333  df-ring 20461  df-subrg 20822  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500

This theorem is used by:  gsumply1subr  22551  evls1addd  22689  ressply1invg  34101  ressply1sub  34102