Theorem ressply1add 20101

Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1add	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2779	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2779	. . 3 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		eqid 2779	. . . 4 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 20066	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8		1on 7912	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
10		ressply1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2779	. . 3 ⊢ ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
12	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11	ressmpladd 19951	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(1o mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13		eqid 2779	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
14	4, 3, 13	ply1plusg 20096	. . 3 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘(1o mPoly 𝐻))
15	14	oveqi 6989	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘(1o mPoly 𝐻))𝑌)
16		ressply1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2779	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
18	16, 1, 17	ply1plusg 20096	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
19	6	fvexi 6513	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20		ressply1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
21	20, 17	ressplusg 16468	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃)
23		eqid 2779	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘(1o mPoly 𝑅))
24	11, 23	ressplusg 16468	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
25	19, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(1o mPoly 𝑅)) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
26	18, 22, 25	3eqtr3i 2811	. . 3 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
27	26	oveqi 6989	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘((1o mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
28	12, 15, 27	3eqtr4g 2840	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3416  Oncon0 6029  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  1_oc1o 7898  Basecbs 16339   ↾_s cress 16340  +_gcplusg 16421  SubRingcsubrg 19254   mPoly cmpl 19847  PwSer₁cps1 20046  Poly₁cpl1 20048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-tset 16440  df-ple 16441  df-subg 18060  df-ring 19022  df-subrg 19256  df-psr 19850  df-mpl 19852  df-opsr 19854  df-psr1 20051  df-ply1 20053

This theorem is referenced by:  gsumply1subr  20105