Theorem prcoffunc 50325

Description: The pre-composition functor is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prcoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
prcoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
prcoffunc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
prcoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)

Assertion

Ref	Expression
prcoffunc	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) ∈ (𝑅 Func 𝑆))

Proof of Theorem prcoffunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐷) = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		prcoffunc.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3		eqidd 2761	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))) = (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))
4		prcoffunc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5		df-br 5104	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7		prcoffunc.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
9	2, 7, 1, 3, 8, 4	prcoftposcurfuco 50323	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
10		prcoffunc.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
11	1, 2, 3, 6, 7, 9, 10	precofcl 50310	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F ⟨𝐹, 𝐺⟩) ∈ (𝑅 Func 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  1^st c1st 7986  Catccat 17774   Func cfunc 17965   ∘_func ccofu 17967   FuncCat cfuc 18056   curry_F ccurf 18320   swap_F cswapf 50199   ∘_F cfuco 50256   −∘_F cprcof 50313

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-fz 13584  df-struct 17261  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-hom 17388  df-cco 17389  df-cat 17778  df-cid 17779  df-func 17969  df-cofu 17971  df-nat 18057  df-fuc 18058  df-xpc 18282  df-curf 18324  df-swapf 50200  df-fuco 50257  df-prcof 50314

This theorem is used by: (None)