Theorem prcoffunca 49774

Description: The pre-composition functor is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
prcoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
prcoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
prcoffunc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
prcoffunca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
prcoffunca	⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) ∈ (𝑅 Func 𝑆))

Proof of Theorem prcoffunca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐷) = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		prcoffunc.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))) = (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))
4		prcoffunca.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
5		prcoffunc.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
6		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘𝐹) = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘𝐹))
7	2, 5, 1, 3, 6, 4	prcoftposcurfucoa 49772	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘𝐹))
8		prcoffunc.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
9	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8	precofcl 49758	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, 𝐸⟩ −∘F 𝐹) ∈ (𝑅 Func 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1^st c1st 7943  Catccat 17601   Func cfunc 17792   ∘_func ccofu 17794   FuncCat cfuc 17883   curry_F ccurf 18147   swap_F cswapf 49647   ∘_F cfuco 49704   −∘_F cprcof 49761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-hom 17215  df-cco 17216  df-cat 17605  df-cid 17606  df-func 17796  df-cofu 17798  df-nat 17884  df-fuc 17885  df-xpc 18109  df-curf 18151  df-swapf 49648  df-fuco 49705  df-prcof 49762

This theorem is referenced by:  prcoffunca2  49775  prcofdiag  49782  ranval3  50019  lanup  50029  lmdran  50059  cmdlan  50060