Theorem psrvsca 21881

Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psrvsca

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		sneq 4581	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
4	3	xpeq2d 5641	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 × {𝑥}) = (𝐷 × {𝑋}))
5	4	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓))
6		oveq2 7349	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
7		psrvsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		psrvsca.n	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
9		psrvsca.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		psrvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11		psrvsca.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		psrvsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	psrvscafval 21880	. . 3 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14		ovex 7374	. . 3 ⊢ ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹) ∈ V
15	5, 6, 13, 14	ovmpo 7501	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
16	1, 2, 15	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  {csn 4571   × cxp 5609  ^◡ccnv 5610   “ cima 5614  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603   ↑_m cmap 8745  Fincfn 8864  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157   ·_𝑠 cvsca 17160   mPwSer cmps 21836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-tset 17175  df-psr 21841

This theorem is referenced by:  psrvscaval  21882  psrvscacl  21883  psrlmod  21892  psrass23l  21899  psrass23  21901  resspsrvsca  21909  psrascl  21911  mplvsca  21947