Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvsca 20163
 Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n = ( ·𝑠𝑆)
psrvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m · = (.r𝑅)
psrvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrvsca.x (𝜑𝑋𝐾)
psrvsca.y (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrvsca (𝜑 → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
Distinct variable group:   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵()   𝐷()   𝑅()   𝑆()   ()   · ()   𝐹()   𝐾()   𝑋()

Proof of Theorem psrvsca
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.x . 2 (𝜑𝑋𝐾)
2 psrvsca.y . 2 (𝜑𝐹𝐵)
3 sneq 4569 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
43xpeq2d 5578 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 × {𝑥}) = (𝐷 × {𝑋}))
54oveq1d 7163 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓))
6 oveq2 7156 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
7 psrvsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 psrvsca.n . . . 4 = ( ·𝑠𝑆)
9 psrvsca.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 psrvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
11 psrvsca.m . . . 4 · = (.r𝑅)
12 psrvsca.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
137, 8, 9, 10, 11, 12psrvscafval 20162 . . 3 = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14 ovex 7181 . . 3 ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹) ∈ V
155, 6, 13, 14ovmpo 7302 . 2 ((𝑋𝐾𝐹𝐵) → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
161, 2, 15syl2anc 586 1 (𝜑 → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {crab 3140  {csn 4559   × cxp 5546  ◡ccnv 5547   “ cima 5551  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∘f cof 7399   ↑m cmap 8398  Fincfn 8501  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16475  .rcmulr 16558   ·𝑠 cvsca 16561   mPwSer cmps 20123 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-psr 20128 This theorem is referenced by:  psrvscaval  20164  psrvscacl  20165  psrlmod  20173  psrass23l  20180  psrass23  20182  resspsrvsca  20190  mplvsca  20219
 Copyright terms: Public domain W3C validator