MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvsca 20945
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n = ( ·𝑠𝑆)
psrvsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m · = (.r𝑅)
psrvsca.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
psrvsca.x (𝜑𝑋𝐾)
psrvsca.y (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
psrvsca (𝜑 → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
Distinct variable group:   ,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵()   𝐷()   𝑅()   𝑆()   ()   · ()   𝐹()   𝐾()   𝑋()

Proof of Theorem psrvsca
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.x . 2 (𝜑𝑋𝐾)
2 psrvsca.y . 2 (𝜑𝐹𝐵)
3 sneq 4567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
43xpeq2d 5598 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 × {𝑥}) = (𝐷 × {𝑋}))
54oveq1d 7249 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓))
6 oveq2 7242 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
7 psrvsca.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 psrvsca.n . . . 4 = ( ·𝑠𝑆)
9 psrvsca.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 psrvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
11 psrvsca.m . . . 4 · = (.r𝑅)
12 psrvsca.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
137, 8, 9, 10, 11, 12psrvscafval 20944 . . 3 = (𝑥𝐾, 𝑓𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14 ovex 7267 . . 3 ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹) ∈ V
155, 6, 13, 14ovmpo 7390 . 2 ((𝑋𝐾𝐹𝐵) → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
161, 2, 15syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝑋 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2112  {crab 3067  {csn 4557   × cxp 5566  ccnv 5567  cima 5571  cfv 6400  (class class class)co 7234  f cof 7488  m cmap 8531  Fincfn 8649  cn 11857  0cn0 12117  Basecbs 16790  .rcmulr 16833   ·𝑠 cvsca 16836   mPwSer cmps 20892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10812  ax-resscn 10813  ax-1cn 10814  ax-icn 10815  ax-addcl 10816  ax-addrcl 10817  ax-mulcl 10818  ax-mulrcl 10819  ax-mulcom 10820  ax-addass 10821  ax-mulass 10822  ax-distr 10823  ax-i2m1 10824  ax-1ne0 10825  ax-1rid 10826  ax-rnegex 10827  ax-rrecex 10828  ax-cnre 10829  ax-pre-lttri 10830  ax-pre-lttrn 10831  ax-pre-ltadd 10832  ax-pre-mulgt0 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-of 7490  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-supp 7927  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-er 8414  df-map 8533  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-fsupp 9013  df-pnf 10896  df-mnf 10897  df-xr 10898  df-ltxr 10899  df-le 10900  df-sub 11091  df-neg 11092  df-nn 11858  df-2 11920  df-3 11921  df-4 11922  df-5 11923  df-6 11924  df-7 11925  df-8 11926  df-9 11927  df-n0 12118  df-z 12204  df-uz 12466  df-fz 13123  df-struct 16730  df-slot 16765  df-ndx 16775  df-base 16791  df-plusg 16845  df-mulr 16846  df-sca 16848  df-vsca 16849  df-tset 16851  df-psr 20897
This theorem is referenced by:  psrvscaval  20946  psrvscacl  20947  psrlmod  20955  psrass23l  20962  psrass23  20964  resspsrvsca  20972  mplvsca  21004
  Copyright terms: Public domain W3C validator