MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrvsca 21847
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
psrvsca.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrvsca.n โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrvsca.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrvsca.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrvsca.m ยท = (.rโ€˜๐‘…)
psrvsca.d ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
psrvsca.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
psrvsca.y (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
psrvsca (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ™ ๐น) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น))
Distinct variable group:   โ„Ž,๐ผ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(โ„Ž)   ๐ต(โ„Ž)   ๐ท(โ„Ž)   ๐‘…(โ„Ž)   ๐‘†(โ„Ž)   โˆ™ (โ„Ž)   ยท (โ„Ž)   ๐น(โ„Ž)   ๐พ(โ„Ž)   ๐‘‹(โ„Ž)

Proof of Theorem psrvsca
Dummy variables ๐‘“ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrvsca.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
2 psrvsca.y . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
3 sneq 4633 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘‹})
43xpeq2d 5699 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ท ร— {๐‘ฅ}) = (๐ท ร— {๐‘‹}))
54oveq1d 7419 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ท ร— {๐‘ฅ}) โˆ˜f ยท ๐‘“) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐‘“))
6 oveq2 7412 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐‘“) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น))
7 psrvsca.s . . . 4 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
8 psrvsca.n . . . 4 โˆ™ = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
9 psrvsca.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
10 psrvsca.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
11 psrvsca.m . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
12 psrvsca.d . . . 4 ๐ท = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
137, 8, 9, 10, 11, 12psrvscafval 21846 . . 3 โˆ™ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ, ๐‘“ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ((๐ท ร— {๐‘ฅ}) โˆ˜f ยท ๐‘“))
14 ovex 7437 . . 3 ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น) โˆˆ V
155, 6, 13, 14ovmpo 7563 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง ๐น โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆ™ ๐น) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น))
161, 2, 15syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ™ ๐น) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f ยท ๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  {csn 4623   ร— cxp 5667  โ—กccnv 5668   โ€œ cima 5672  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆ˜f cof 7664   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  Basecbs 17150  .rcmulr 17204   ยท๐‘  cvsca 17207   mPwSer cmps 21793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-tset 17222  df-psr 21798
This theorem is referenced by:  psrvscaval  21848  psrvscacl  21849  psrlmod  21858  psrass23l  21865  psrass23  21867  resspsrvsca  21875  mplvsca  21911
  Copyright terms: Public domain W3C validator