Theorem psrvsca 22164

Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psrvsca

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		sneq 4594	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
4	3	xpeq2d 5685	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 × {𝑥}) = (𝐷 × {𝑋}))
5	4	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓))
6		oveq2 7421	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
7		psrvsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		psrvsca.n	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
9		psrvsca.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		psrvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11		psrvsca.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		psrvsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	psrvscafval 22163	. . 3 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14		ovex 7446	. . 3 ⊢ ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹) ∈ V
15	5, 6, 13, 14	ovmpo 7573	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
16	1, 2, 15	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  {csn 4584   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∘_f cof 7676   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343   ·_𝑠 cvsca 17346   mPwSer cmps 22119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-tset 17361  df-psr 22124

This theorem is used by:  psrvscaval  22165  psrvscacl  22166  psrlmod  22174  psrass23l  22181  psrass23  22183  resspsrvsca  22191  psrascl  22193  mplvsca  22229