Theorem psrvsca 21896

Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvsca.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrvsca.n	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrvsca.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
psrvsca.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
psrvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
psrvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(ℎ)   ∙ (ℎ)   · (ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑋(ℎ)

Proof of Theorem psrvsca

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		psrvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
3		sneq 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
4	3	xpeq2d 5651	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 × {𝑥}) = (𝐷 × {𝑋}))
5	4	oveq1d 7370	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓))
6		oveq2 7363	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝑓) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
7		psrvsca.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		psrvsca.n	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
9		psrvsca.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		psrvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
11		psrvsca.m	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		psrvsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	psrvscafval 21895	. . 3 ⊢ ∙ = (𝑥 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐷 × {𝑥}) ∘f · 𝑓))
14		ovex 7388	. . 3 ⊢ ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹) ∈ V
15	5, 6, 13, 14	ovmpo 7515	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))
16	1, 2, 15	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐹) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f · 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  {csn 4577   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8879  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169   ·_𝑠 cvsca 17172   mPwSer cmps 21851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-tset 17187  df-psr 21856

This theorem is referenced by:  psrvscaval  21897  psrvscacl  21898  psrlmod  21906  psrass23l  21913  psrass23  21915  resspsrvsca  21923  psrascl  21925  mplvsca  21961