![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > psrvsca | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The scalar multiplication operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
psrvsca.s | โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) |
psrvsca.n | โข โ = ( ยท๐ โ๐) |
psrvsca.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
psrvsca.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
psrvsca.m | โข ยท = (.rโ๐ ) |
psrvsca.d | โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} |
psrvsca.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐พ) |
psrvsca.y | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
psrvsca | โข (๐ โ (๐ โ ๐น) = ((๐ท ร {๐}) โf ยท ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | psrvsca.x | . 2 โข (๐ โ ๐ โ ๐พ) | |
2 | psrvsca.y | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
3 | sneq 4642 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ โ {๐ฅ} = {๐}) | |
4 | 3 | xpeq2d 5712 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ท ร {๐ฅ}) = (๐ท ร {๐})) |
5 | 4 | oveq1d 7441 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ท ร {๐ฅ}) โf ยท ๐) = ((๐ท ร {๐}) โf ยท ๐)) |
6 | oveq2 7434 | . . 3 โข (๐ = ๐น โ ((๐ท ร {๐}) โf ยท ๐) = ((๐ท ร {๐}) โf ยท ๐น)) | |
7 | psrvsca.s | . . . 4 โข ๐ = (๐ผ mPwSer ๐ ) | |
8 | psrvsca.n | . . . 4 โข โ = ( ยท๐ โ๐) | |
9 | psrvsca.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
10 | psrvsca.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
11 | psrvsca.m | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
12 | psrvsca.d | . . . 4 โข ๐ท = {โ โ (โ0 โm ๐ผ) โฃ (โกโ โ โ) โ Fin} | |
13 | 7, 8, 9, 10, 11, 12 | psrvscafval 21898 | . . 3 โข โ = (๐ฅ โ ๐พ, ๐ โ ๐ต โฆ ((๐ท ร {๐ฅ}) โf ยท ๐)) |
14 | ovex 7459 | . . 3 โข ((๐ท ร {๐}) โf ยท ๐น) โ V | |
15 | 5, 6, 13, 14 | ovmpo 7587 | . 2 โข ((๐ โ ๐พ โง ๐น โ ๐ต) โ (๐ โ ๐น) = ((๐ท ร {๐}) โf ยท ๐น)) |
16 | 1, 2, 15 | syl2anc 582 | 1 โข (๐ โ (๐ โ ๐น) = ((๐ท ร {๐}) โf ยท ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 {crab 3430 {csn 4632 ร cxp 5680 โกccnv 5681 โ cima 5685 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โf cof 7689 โm cmap 8851 Fincfn 8970 โcn 12250 โ0cn0 12510 Basecbs 17187 .rcmulr 17241 ยท๐ cvsca 17244 mPwSer cmps 21844 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7691 df-om 7877 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-supp 8172 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-1o 8493 df-er 8731 df-map 8853 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-fin 8974 df-fsupp 9394 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-4 12315 df-5 12316 df-6 12317 df-7 12318 df-8 12319 df-9 12320 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-fz 13525 df-struct 17123 df-slot 17158 df-ndx 17170 df-base 17188 df-plusg 17253 df-mulr 17254 df-sca 17256 df-vsca 17257 df-tset 17259 df-psr 21849 |
This theorem is referenced by: psrvscaval 21900 psrvscacl 21901 psrlmod 21910 psrass23l 21917 psrass23 21919 resspsrvsca 21927 mplvsca 21964 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |