Theorem pythagtriplem18 16797

Description: Lemma for pythagtrip 16799. Wrap the previous 𝑀 and 𝑁 up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem18	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛   𝐶,𝑚,𝑛

Proof of Theorem pythagtriplem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
2	1	pythagtriplem13 16792	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
4	3	pythagtriplem11 16790	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
5	3, 1	pythagtriplem15 16794	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
6	3, 1	pythagtriplem16 16795	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
7	3, 1	pythagtriplem17 16796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
8		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑛↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
9	8	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
10	9	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ↔ 𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
11		oveq2 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
12	11	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
13	12	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ↔ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
14	8	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
15	14	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ↔ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
16	10, 13, 15	3anbi123d 1439	. . 3 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) ↔ (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
17		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
18	17	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
19	18	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
20		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
21	20	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
22	21	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ↔ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
23	17	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
24	23	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
25	19, 22, 24	3anbi123d 1439	. . 3 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))) ↔ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
26	16, 25	rspc2ev 3578	. 2 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
27	2, 4, 5, 6, 7, 26	syl113anc 1385	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  2c2 12230  ↑cexp 14017  √csqrt 15189   ∥ cdvds 16215   gcd cgcd 16457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-prm 16635

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  16798