Theorem pythagtriplem18 16531

Description: Lemma for pythagtrip 16533. Wrap the previous 𝑀 and 𝑁 up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem18	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛   𝐶,𝑚,𝑛

Proof of Theorem pythagtriplem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
2	1	pythagtriplem13 16526	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
4	3	pythagtriplem11 16524	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
5	3, 1	pythagtriplem15 16528	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
6	3, 1	pythagtriplem16 16529	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
7	3, 1	pythagtriplem17 16530	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
8		oveq1 7278	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑛↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
9	8	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
10	9	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ↔ 𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
11		oveq2 7279	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
12	11	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
13	12	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ↔ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
14	8	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
15	14	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ↔ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
16	10, 13, 15	3anbi123d 1435	. . 3 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) ↔ (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
17		oveq1 7278	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
18	17	oveq1d 7286	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
19	18	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
20		oveq1 7278	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
21	20	oveq2d 7287	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
22	21	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ↔ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
23	17	oveq1d 7286	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
24	23	eqeq2d 2751	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
25	19, 22, 24	3anbi123d 1435	. . 3 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))) ↔ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
26	16, 25	rspc2ev 3573	. 2 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
27	2, 4, 5, 6, 7, 26	syl113anc 1381	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ↑cexp 13780  √csqrt 14942   ∥ cdvds 15961   gcd cgcd 16199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-dvds 15962  df-gcd 16200  df-prm 16375

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  16532