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Theorem pythagtriplem18 16146
 Description: Lemma for pythagtrip 16148. Wrap the previous 𝑀 and 𝑁 up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem18 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛   𝐶,𝑚,𝑛

Proof of Theorem pythagtriplem18
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . 3 (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
21pythagtriplem13 16141 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
3 eqid 2821 . . 3 (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
43pythagtriplem11 16139 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
53, 1pythagtriplem15 16143 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
63, 1pythagtriplem16 16144 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))))
73, 1pythagtriplem17 16145 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
8 oveq1 7137 . . . . . 6 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑛↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))
98oveq2d 7146 . . . . 5 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
109eqeq2d 2832 . . . 4 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ↔ 𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
11 oveq2 7138 . . . . . 6 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))
1211oveq2d 7146 . . . . 5 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))))
1312eqeq2d 2832 . . . 4 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ↔ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))))
148oveq2d 7146 . . . . 5 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
1514eqeq2d 2832 . . . 4 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ↔ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
1610, 13, 153anbi123d 1433 . . 3 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) ↔ (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))))
17 oveq1 7137 . . . . . 6 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑚↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))
1817oveq1d 7145 . . . . 5 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
1918eqeq2d 2832 . . . 4 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
20 oveq1 7137 . . . . . 6 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))
2120oveq2d 7146 . . . . 5 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))))
2221eqeq2d 2832 . . . 4 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ↔ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))))
2317oveq1d 7145 . . . . 5 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
2423eqeq2d 2832 . . . 4 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
2519, 22, 243anbi123d 1433 . . 3 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))) ↔ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))))
2616, 25rspc2ev 3612 . 2 (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
272, 4, 5, 6, 7, 26syl113anc 1379 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519   − cmin 10847   / cdiv 11274  ℕcn 11615  2c2 11670  ↑cexp 13413  √csqrt 14571   ∥ cdvds 15586   gcd cgcd 15820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-dvds 15587  df-gcd 15821  df-prm 15993 This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  16147
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