Theorem pythagtriplem18 16779

Description: Lemma for pythagtrip 16781. Wrap the previous 𝑀 and 𝑁 up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem18	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛   𝐶,𝑚,𝑛

Proof of Theorem pythagtriplem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
2	1	pythagtriplem13 16774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
4	3	pythagtriplem11 16772	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
5	3, 1	pythagtriplem15 16776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
6	3, 1	pythagtriplem16 16777	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
7	3, 1	pythagtriplem17 16778	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
8		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑛↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
9	8	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
10	9	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ↔ 𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
11		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
12	11	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
13	12	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ↔ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
14	8	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
15	14	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ↔ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
16	10, 13, 15	3anbi123d 1438	. . 3 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) ↔ (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
17		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
18	17	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
19	18	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
20		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
21	20	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
22	21	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ↔ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
23	17	oveq1d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
24	23	eqeq2d 2740	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
25	19, 22, 24	3anbi123d 1438	. . 3 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))) ↔ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
26	16, 25	rspc2ev 3598	. 2 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
27	2, 4, 5, 6, 7, 26	syl113anc 1384	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ↑cexp 14002  √csqrt 15175   ∥ cdvds 16198   gcd cgcd 16440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  16780