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Theorem pythagtriplem18 16874
Description: Lemma for pythagtrip 16876. Wrap the previous 𝑀 and 𝑁 up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem18 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛   𝐶,𝑚,𝑛

Proof of Theorem pythagtriplem18
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
21pythagtriplem13 16869 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
3 eqid 2734 . . 3 (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)
43pythagtriplem11 16867 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
53, 1pythagtriplem15 16871 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
63, 1pythagtriplem16 16872 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))))
73, 1pythagtriplem17 16873 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
8 oveq1 7452 . . . . . 6 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑛↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))
98oveq2d 7461 . . . . 5 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
109eqeq2d 2745 . . . 4 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ↔ 𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
11 oveq2 7453 . . . . . 6 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))
1211oveq2d 7461 . . . . 5 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))))
1312eqeq2d 2745 . . . 4 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ↔ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))))
148oveq2d 7461 . . . . 5 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
1514eqeq2d 2745 . . . 4 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ↔ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
1610, 13, 153anbi123d 1436 . . 3 (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) ↔ (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))))
17 oveq1 7452 . . . . . 6 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑚↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))
1817oveq1d 7460 . . . . 5 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
1918eqeq2d 2745 . . . 4 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
20 oveq1 7452 . . . . . 6 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))
2120oveq2d 7461 . . . . 5 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))))
2221eqeq2d 2745 . . . 4 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ↔ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)))))
2317oveq1d 7460 . . . . 5 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))
2423eqeq2d 2745 . . . 4 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))))
2519, 22, 243anbi123d 1436 . . 3 (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2))) ↔ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))))
2616, 25rspc2ev 3644 . 2 (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶𝐵))) / 2)↑2)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
272, 4, 5, 6, 7, 26syl113anc 1382 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wrex 3072   class class class wbr 5169  cfv 6572  (class class class)co 7445  1c1 11181   + caddc 11183   · cmul 11185  cmin 11516   / cdiv 11943  cn 12289  2c2 12344  cexp 14108  csqrt 15278  cdvds 16296   gcd cgcd 16534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-rp 13054  df-fz 13564  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-dvds 16297  df-gcd 16535  df-prm 16713
This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  16875
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