Theorem pythagtriplem18 16461

Description: Lemma for pythagtrip 16463. Wrap the previous 𝑀 and 𝑁 up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem18	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛   𝐶,𝑚,𝑛

Proof of Theorem pythagtriplem18

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
2	1	pythagtriplem13 16456	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)
4	3	pythagtriplem11 16454	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ)
5	3, 1	pythagtriplem15 16458	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
6	3, 1	pythagtriplem16 16459	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
7	3, 1	pythagtriplem17 16460	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
8		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑛↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
9	8	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
10	9	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ↔ 𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
11		oveq2 7263	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
12	11	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · 𝑛)) = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
13	12	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ↔ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
14	8	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
15	14	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2)) ↔ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
16	10, 13, 15	3anbi123d 1434	. . 3 ⊢ (𝑛 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))) ↔ (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
17		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚↑2) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))
18	17	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
19	18	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
20		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)) = ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))
21	20	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))))
22	21	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ↔ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)))))
23	17	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))
24	23	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ↔ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))))
25	19, 22, 24	3anbi123d 1434	. . 3 ⊢ (𝑚 = (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) → ((𝐴 = ((𝑚↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2))) ↔ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))))
26	16, 25	rspc2ev 3564	. 2 ⊢ (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝐴 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) − ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2) · (((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2))) ∧ 𝐶 = (((((√‘(𝐶 + 𝐵)) + (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2) + ((((√‘(𝐶 + 𝐵)) − (√‘(𝐶 − 𝐵))) / 2)↑2)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))
27	2, 4, 5, 6, 7, 26	syl113anc 1380	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = (𝐶↑2) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝐴 = ((𝑚↑2) − (𝑛↑2)) ∧ 𝐵 = (2 · (𝑚 · 𝑛)) ∧ 𝐶 = ((𝑚↑2) + (𝑛↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ↑cexp 13710  √csqrt 14872   ∥ cdvds 15891   gcd cgcd 16129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  16462