Theorem rmspecnonsq 43264

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecnonsq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12773	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zsqcl 14064	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4		1zzd 12534	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 12613	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6		sq1 14130	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
7		eluz2b2 12846	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
8	7	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
9		1red 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
10		eluzelre 12774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		0le1 11672	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
13		eluzge2nn0 12817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14	13	nn0ge0d 12477	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
15	9, 10, 12, 14	lt2sqd 14191	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
17	6, 16	eqbrtrrid 5136	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
18	10	resqcld 14060	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19	9, 18	posdifd 11736	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
20	17, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21		elnnz 12510	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
22	5, 20, 21	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23		rmspecsqrtnq 43263	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
24	23	eldifbd 3916	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
25	24	intnand 488	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26		df-squarenn 43198	. . . . 5 ⊢ ◻NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
27	26	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
29	28	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
30	29	elrab 3648	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
31	27, 30	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
32	25, 31	sylnib 328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
33	22, 32	eldifd 3914	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ∖ cdif 3900   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ℚcq 12873  ↑cexp 13996  √csqrt 15168  ◻_NNcsquarenn 43193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-numer 16674  df-denom 16675  df-squarenn 43198

This theorem is referenced by:  rmspecfund  43266  rmxyelqirr  43267  rmxycomplete  43274  rmbaserp  43276  rmxyneg  43277  rmxm1  43291  rmxluc  43293  rmxdbl  43296  ltrmxnn0  43306  jm2.19lem1  43346  jm2.23  43353  rmxdiophlem  43372