Theorem rmspecnonsq 38245

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecnonsq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11936	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zsqcl 13184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4		1zzd 11694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 11773	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6		sq1 13208	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
7		eluz2b2 12002	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
8	7	simprbi 491	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
9		1red 10327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
10		eluzelre 11937	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		0le1 10841	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
13		eluzge2nn0 11967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14	13	nn0ge0d 11639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
15	9, 10, 12, 14	lt2sqd 13295	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
16	8, 15	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
17	6, 16	syl5eqbrr 4877	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
18	10	resqcld 13287	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19	9, 18	posdifd 10904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
20	17, 19	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21		elnnz 11672	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
22	5, 20, 21	sylanbrc 579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23		rmspecsqrtnq 38244	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
24	23	eldifbd 3780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
25	24	intnand 483	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26		df-squarenn 38179	. . . . 5 ⊢ ◻NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
27	26	eleq2i 2868	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28		fveq2 6409	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
29	28	eleq1d 2861	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
30	29	elrab 3554	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
31	27, 30	bitr2i 268	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
32	25, 31	sylnib 320	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
33	22, 32	eldifd 3778	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3091   ∖ cdif 3764   class class class wbr 4841  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ℂcc 10220  0cc0 10222  1c1 10223   < clt 10361   ≤ cle 10362   − cmin 10554  ℕcn 11310  2c2 11364  ℤcz 11662  ℤ_≥cuz 11926  ℚcq 12029  ↑cexp 13110  √csqrt 14311  ◻_NNcsquarenn 38174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-inf 8589  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-dvds 15317  df-gcd 15549  df-numer 15773  df-denom 15774  df-squarenn 38179

This theorem is referenced by:  rmspecfund  38247  rmxyelqirr  38248  rmxycomplete  38255  rmbaserp  38257  rmxyneg  38258  rmxm1  38272  rmxluc  38274  rmxdbl  38277  ltrmxnn0  38289  jm2.19lem1  38329  jm2.23  38336  rmxdiophlem  38355