Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecnonsq 42918
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12888 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 zsqcl 14169 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4 1zzd 12648 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
53, 4zsubcld 12727 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6 sq1 14234 . . . . 5 (1↑2) = 1
7 eluz2b2 12963 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
87simprbi 496 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
9 1red 11262 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
10 eluzelre 12889 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 0le1 11786 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 1)
13 eluzge2nn0 12929 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1413nn0ge0d 12590 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
159, 10, 12, 14lt2sqd 14295 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
168, 15mpbid 232 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
176, 16eqbrtrrid 5179 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
1810resqcld 14165 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
199, 18posdifd 11850 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
2017, 19mpbid 232 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21 elnnz 12623 . . 3 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
225, 20, 21sylanbrc 583 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23 rmspecsqrtnq 42917 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
2423eldifbd 3964 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
2524intnand 488 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26 df-squarenn 42852 . . . . 5 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
2726eleq2i 2833 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
2928eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3029elrab 3692 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3127, 30bitr2i 276 . . 3 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3225, 31sylnib 328 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3322, 32eldifd 3962 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  cdif 3948   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  cq 12990  cexp 14102  csqrt 15272  NNcsquarenn 42847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-squarenn 42852
This theorem is referenced by:  rmspecfund  42920  rmxyelqirr  42921  rmxyelqirrOLD  42922  rmxycomplete  42929  rmbaserp  42931  rmxyneg  42932  rmxm1  42946  rmxluc  42948  rmxdbl  42951  ltrmxnn0  42961  jm2.19lem1  43001  jm2.23  43008  rmxdiophlem  43027
  Copyright terms: Public domain W3C validator