Theorem rmspecnonsq 40285

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecnonsq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zsqcl 13579	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4		1zzd 12087	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 12166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6		sq1 13643	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
7		eluz2b2 12396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
8	7	simprbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
9		1red 10713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
10		eluzelre 12328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		0le1 11234	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
13		eluzge2nn0 12362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14	13	nn0ge0d 12032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
15	9, 10, 12, 14	lt2sqd 13704	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
16	8, 15	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
17	6, 16	eqbrtrrid 5063	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
18	10	resqcld 13696	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19	9, 18	posdifd 11298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
20	17, 19	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21		elnnz 12065	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
22	5, 20, 21	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23		rmspecsqrtnq 40284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
24	23	eldifbd 3854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
25	24	intnand 492	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26		df-squarenn 40219	. . . . 5 ⊢ ◻NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
27	26	eleq2i 2824	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28		fveq2 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
29	28	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
30	29	elrab 3585	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
31	27, 30	bitr2i 279	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
32	25, 31	sylnib 331	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
33	22, 32	eldifd 3852	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  {crab 3057   ∖ cdif 3838   class class class wbr 5027  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   < clt 10746   ≤ cle 10747   − cmin 10941  ℕcn 11709  2c2 11764  ℤcz 12055  ℤ_≥cuz 12317  ℚcq 12423  ↑cexp 13514  √csqrt 14675  ◻_NNcsquarenn 40214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-numer 16168  df-denom 16169  df-squarenn 40219

This theorem is referenced by:  rmspecfund  40287  rmxyelqirr  40288  rmxycomplete  40295  rmbaserp  40297  rmxyneg  40298  rmxm1  40312  rmxluc  40314  rmxdbl  40317  ltrmxnn0  40327  jm2.19lem1  40367  jm2.23  40374  rmxdiophlem  40393