Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecnonsq 40729
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12592 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 zsqcl 13848 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4 1zzd 12351 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
53, 4zsubcld 12431 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6 sq1 13912 . . . . 5 (1↑2) = 1
7 eluz2b2 12661 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
87simprbi 497 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
9 1red 10976 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
10 eluzelre 12593 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 0le1 11498 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 1)
13 eluzge2nn0 12627 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1413nn0ge0d 12296 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
159, 10, 12, 14lt2sqd 13973 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
168, 15mpbid 231 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
176, 16eqbrtrrid 5110 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
1810resqcld 13965 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
199, 18posdifd 11562 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
2017, 19mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21 elnnz 12329 . . 3 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
225, 20, 21sylanbrc 583 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23 rmspecsqrtnq 40728 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
2423eldifbd 3900 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
2524intnand 489 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26 df-squarenn 40663 . . . . 5 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
2726eleq2i 2830 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28 fveq2 6774 . . . . . 6 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
2928eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3029elrab 3624 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3127, 30bitr2i 275 . . 3 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3225, 31sylnib 328 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3322, 32eldifd 3898 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {crab 3068  cdif 3884   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  2c2 12028  cz 12319  cuz 12582  cq 12688  cexp 13782  csqrt 14944  NNcsquarenn 40658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440  df-squarenn 40663
This theorem is referenced by:  rmspecfund  40731  rmxyelqirr  40732  rmxycomplete  40739  rmbaserp  40741  rmxyneg  40742  rmxm1  40756  rmxluc  40758  rmxdbl  40761  ltrmxnn0  40771  jm2.19lem1  40811  jm2.23  40818  rmxdiophlem  40837
  Copyright terms: Public domain W3C validator