Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecnonsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecnonsq 40285
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecnonsq (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12327 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 zsqcl 13579 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4 1zzd 12087 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℤ)
53, 4zsubcld 12166 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6 sq1 13643 . . . . 5 (1↑2) = 1
7 eluz2b2 12396 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
87simprbi 500 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
9 1red 10713 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
10 eluzelre 12328 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 0le1 11234 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 1)
13 eluzge2nn0 12362 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1413nn0ge0d 12032 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
159, 10, 12, 14lt2sqd 13704 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
168, 15mpbid 235 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
176, 16eqbrtrrid 5063 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
1810resqcld 13696 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
199, 18posdifd 11298 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
2017, 19mpbid 235 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21 elnnz 12065 . . 3 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
225, 20, 21sylanbrc 586 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23 rmspecsqrtnq 40284 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
2423eldifbd 3854 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
2524intnand 492 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26 df-squarenn 40219 . . . . 5 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
2726eleq2i 2824 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28 fveq2 6668 . . . . . 6 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
2928eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3029elrab 3585 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
3127, 30bitr2i 279 . . 3 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3225, 31sylnib 331 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
3322, 32eldifd 3852 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  {crab 3057  cdif 3838   class class class wbr 5027  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941  cn 11709  2c2 11764  cz 12055  cuz 12317  cq 12423  cexp 13514  csqrt 14675  NNcsquarenn 40214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-numer 16168  df-denom 16169  df-squarenn 40219
This theorem is referenced by:  rmspecfund  40287  rmxyelqirr  40288  rmxycomplete  40295  rmbaserp  40297  rmxyneg  40298  rmxm1  40312  rmxluc  40314  rmxdbl  40317  ltrmxnn0  40327  jm2.19lem1  40367  jm2.23  40374  rmxdiophlem  40393
  Copyright terms: Public domain W3C validator