Theorem rmspecnonsq 42894

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a nonsquare positive integer and thus a valid Pell equation discriminant. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecnonsq	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Proof of Theorem rmspecnonsq

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12885	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zsqcl 14165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
4		1zzd 12645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 12724	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
6		sq1 14230	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
7		eluz2b2 12960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
8	7	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
9		1red 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
10		eluzelre 12886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		0le1 11783	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
13		eluzge2nn0 12926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14	13	nn0ge0d 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
15	9, 10, 12, 14	lt2sqd 14291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
16	8, 15	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
17	6, 16	eqbrtrrid 5183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
18	10	resqcld 14161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19	9, 18	posdifd 11847	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
20	17, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
21		elnnz 12620	. . 3 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
22	5, 20, 21	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
23		rmspecsqrtnq 42893	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
24	23	eldifbd 3975	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
25	24	intnand 488	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
26		df-squarenn 42828	. . . . 5 ⊢ ◻NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
27	26	eleq2i 2830	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ})
28		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → (√‘𝑎) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
29	28	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((𝐴↑2) − 1) → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
30	29	elrab 3694	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ} ↔ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ))
31	27, 30	bitr2i 276	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ ∧ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ) ↔ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
32	25, 31	sylnib 328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ ((𝐴↑2) − 1) ∈ ◻NN)
33	22, 32	eldifd 3973	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432   ∖ cdif 3959   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕcn 12263  2c2 12318  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ℚcq 12987  ↑cexp 14098  √csqrt 15268  ◻_NNcsquarenn 42823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-numer 16768  df-denom 16769  df-squarenn 42828

This theorem is referenced by:  rmspecfund  42896  rmxyelqirr  42897  rmxyelqirrOLD  42898  rmxycomplete  42905  rmbaserp  42907  rmxyneg  42908  rmxm1  42922  rmxluc  42924  rmxdbl  42927  ltrmxnn0  42937  jm2.19lem1  42977  jm2.23  42984  rmxdiophlem  43003