Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxypairf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxypairf1o 41738
Description: The function used to extract rational and irrational parts in df-rmx 41728 and df-rmy 41729 in fact achieves a one-to-one mapping from the quadratic irrationals to pairs of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypairf1o (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))):(โ„•0 ร— โ„ค)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))})
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘Ž,๐ด

Proof of Theorem rmxypairf1o
StepHypRef Expression
1 ovex 7444 . . . 4 ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โˆˆ V
2 eqid 2732 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
31, 2fnmpti 6693 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) Fn (โ„•0 ร— โ„ค)
43a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) Fn (โ„•0 ร— โ„ค))
52rnmpt 5954 . . 3 ran (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))}
6 vex 3478 . . . . . . . . . 10 ๐‘ โˆˆ V
7 vex 3478 . . . . . . . . . 10 ๐‘‘ โˆˆ V
86, 7op1std 7987 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘) = ๐‘)
96, 7op2ndd 7988 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘) = ๐‘‘)
109oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))
118, 10oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)))
1211eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ (๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โ†” ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))))
1312rexxp 5842 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)))
1413bicomi 223 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
1514a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
1615abbidv 2801 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))} = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))})
175, 16eqtr4id 2791 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ran (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))})
18 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘))
19 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘))
2019oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))
2118, 20oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
22 ovex 7444 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โˆˆ V
2321, 2, 22fvmpt 6998 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
2423ad2antrl 726 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
25 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ (1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘))
26 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))
2726oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘)))
2825, 27oveq12d 7429 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))))
29 ovex 7444 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โˆˆ V
3028, 2, 29fvmpt 6998 . . . . . 6 (๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))))
3130ad2antll 727 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))))
3224, 31eqeq12d 2748 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†” ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘)))))
33 rmspecsqrtnq 41732 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
3433adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
35 nn0ssq 12943 . . . . . . . 8 โ„•0 โŠ† โ„š
36 xp1st 8009 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
3736ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
3835, 37sselid 3980 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š)
39 xp2nd 8010 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
4039ad2antrl 726 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
41 zq 12940 . . . . . . . 8 ((2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š)
43 xp1st 8009 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„•0)
4443ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„•0)
4535, 44sselid 3980 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)
46 xp2nd 8010 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค)
4746ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค)
48 zq 12940 . . . . . . . 8 ((2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)
50 qirropth 41734 . . . . . . 7 (((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง ((1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š โˆง (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š) โˆง ((1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š โˆง (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†” ((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))))
5134, 38, 42, 45, 49, 50syl122anc 1379 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†” ((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))))
5251biimpd 228 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))))
53 xpopth 8018 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘)) โ†” ๐‘ = ๐‘‘))
5453adantl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘)) โ†” ๐‘ = ๐‘‘))
5552, 54sylibd 238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
5632, 55sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
5756ralrimivva 3200 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)โˆ€๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)(((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
58 dff1o6 7275 . 2 ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))):(โ„•0 ร— โ„ค)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))} โ†” ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) Fn (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ran (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))} โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)โˆ€๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)(((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘)))
594, 17, 57, 58syl3anbrc 1343 1 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))):(โ„•0 ร— โ„ค)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2709  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3945  โŸจcop 4634   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  ran crn 5677   Fn wfn 6538  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  2c2 12269  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„šcq 12934  โ†‘cexp 14029  โˆšcsqrt 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-numer 16673  df-denom 16674
This theorem is referenced by:  rmxyelxp  41739  rmxyval  41742
  Copyright terms: Public domain W3C validator