Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxypairf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxypairf1o 41264
Description: The function used to extract rational and irrational parts in df-rmx 41254 and df-rmy 41255 in fact achieves a one-to-one mapping from the quadratic irrationals to pairs of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypairf1o (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))):(โ„•0 ร— โ„ค)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))})
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘Ž,๐ด

Proof of Theorem rmxypairf1o
StepHypRef Expression
1 ovex 7395 . . . 4 ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โˆˆ V
2 eqid 2737 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
31, 2fnmpti 6649 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) Fn (โ„•0 ร— โ„ค)
43a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) Fn (โ„•0 ร— โ„ค))
52rnmpt 5915 . . 3 ran (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))}
6 vex 3452 . . . . . . . . . 10 ๐‘ โˆˆ V
7 vex 3452 . . . . . . . . . 10 ๐‘‘ โˆˆ V
86, 7op1std 7936 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘) = ๐‘)
96, 7op2ndd 7937 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘) = ๐‘‘)
109oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))
118, 10oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)))
1211eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘ = โŸจ๐‘, ๐‘‘โŸฉ โ†’ (๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โ†” ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))))
1312rexxp 5803 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)))
1413bicomi 223 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
1514a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))))
1615abbidv 2806 . . 3 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))} = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)๐‘Ž = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))})
175, 16eqtr4id 2796 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ran (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))})
18 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘))
19 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ โ†’ (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘))
2019oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))
2118, 20oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
22 ovex 7395 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) โˆˆ V
2321, 2, 22fvmpt 6953 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
2423ad2antrl 727 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))
25 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ (1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘))
26 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))
2726oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)) = ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘)))
2825, 27oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘‘ โ†’ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))))
29 ovex 7395 . . . . . . 7 ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โˆˆ V
3028, 2, 29fvmpt 6953 . . . . . 6 (๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))))
3130ad2antll 728 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))))
3224, 31eqeq12d 2753 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†” ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘)))))
33 rmspecsqrtnq 41258 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
3433adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š))
35 nn0ssq 12889 . . . . . . . 8 โ„•0 โŠ† โ„š
36 xp1st 7958 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
3736ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
3835, 37sselid 3947 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š)
39 xp2nd 7959 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
4039ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
41 zq 12886 . . . . . . . 8 ((2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š)
43 xp1st 7958 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„•0)
4443ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„•0)
4535, 44sselid 3947 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)
46 xp2nd 7959 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค)
4746ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค)
48 zq 12886 . . . . . . . 8 ((2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)
50 qirropth 41260 . . . . . . 7 (((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) โˆˆ (โ„‚ โˆ– โ„š) โˆง ((1st โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š โˆง (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ โ„š) โˆง ((1st โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š โˆง (2nd โ€˜๐‘‘) โˆˆ โ„š)) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†” ((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))))
5134, 38, 42, 45, 49, 50syl122anc 1380 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†” ((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))))
5251biimpd 228 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†’ ((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘))))
53 xpopth 7967 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘)) โ†” ๐‘ = ๐‘‘))
5453adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) = (1st โ€˜๐‘‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘‘)) โ†” ๐‘ = ๐‘‘))
5552, 54sylibd 238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))) = ((1st โ€˜๐‘‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘‘))) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
5632, 55sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค))) โ†’ (((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
5756ralrimivva 3198 . 2 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)โˆ€๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)(((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘))
58 dff1o6 7226 . 2 ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))):(โ„•0 ร— โ„ค)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))} โ†” ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) Fn (โ„•0 ร— โ„ค) โˆง ran (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))) = {๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))} โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)โˆ€๐‘‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค)(((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘) = ((๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘))))โ€˜๐‘‘) โ†’ ๐‘ = ๐‘‘)))
594, 17, 57, 58syl3anbrc 1344 1 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„ค) โ†ฆ ((1st โ€˜๐‘) + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท (2nd โ€˜๐‘)))):(โ„•0 ร— โ„ค)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘Ž โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„ค ๐‘Ž = (๐‘ + ((โˆšโ€˜((๐ดโ†‘2) โˆ’ 1)) ยท ๐‘‘))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   โˆ– cdif 3912  โŸจcop 4597   โ†ฆ cmpt 5193   ร— cxp 5636  ran crn 5639   Fn wfn 6496  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6500  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„šcq 12880  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618
This theorem is referenced by:  rmxyelxp  41265  rmxyval  41268
  Copyright terms: Public domain W3C validator