3cubeslem2 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem2 42696

Description: Lemma for 3cubes 42701. Used to show that the denominators in 3cubeslem4 42700 are nonzero. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem2	⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)

**Proof of Theorem 3cubeslem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
4	3	mullidd 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 3) = 3)
5	4	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
6	3	sqcld 14184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
7		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
8		qre 12995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12	6, 11	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	9	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
15	12, 14	addcld 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16		1cnd 11256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	15, 16, 3	adddird 11286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)))
18	3, 13, 3	mulassd 11284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 3) = (3 · (𝐴 · 3)))
19	18	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))))
20	19	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
21	12, 14, 3	adddird 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)))
22	21	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3))
23	3, 3, 13	mulassd 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴)))
24	23	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
25	24	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
26	11, 3	mulcomd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 3) = (3 · (𝐴↑2)))
27	26	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
28	27	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
29	28	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
30	6, 11, 3	mulassd 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) = ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)))
31	30	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
32	31	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
33		df-3 12330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 + 1))
35	34	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑3) = (3↑(2 + 1)))
36	35	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) = ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)))
37	36	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
38	37	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
39		2nn0 12543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
41	3, 40	expp1d 14187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑(2 + 1)) = ((3↑2) · 3))
42	41	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) = (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)))
43	42	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
44	43	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
45	38, 44	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
46	3	sqvald 14183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3↑2) = (3 · 3))
47	46	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
49	48	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
50	45, 49	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
51	6, 3, 11	mulassd 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
52	51	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
54	50, 53	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
55	29, 32, 54	3eqtr4rd 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
56	13, 3	mulcomd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
57	56	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐴 · 3)) = (3 · (3 · 𝐴)))
58	57	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
59	58	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
60	25, 55, 59	3eqtr4d 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
61	20, 22, 60	3eqtr4rd 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
62	5, 17, 61	3eqtr4rd 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3))
63	14	mulridd 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 1) = (3 · 𝐴))
64	63	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((3 · 𝐴) · 1)) = (2 · (3 · 𝐴)))
65	64	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) = (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))))
66	65	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)))
67	66	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
68	14, 16	binom2d 14257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)))
69	68	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
70	14	2timesd 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴)))
71	70	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
72	71	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
73	72	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
74		sq1 14234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
75	74	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = 1)
76	75	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1))
77	76	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
78	14, 16	addcomd 11463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) = (1 + (3 · 𝐴)))
79	78	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
80	79	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
81	3, 13	sqmuld 14198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) = ((3↑2) · (𝐴↑2)))
82	81, 12	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
83	82, 14	addcld 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
84	83, 14, 16	addassd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)))
85	84	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)))
86	15, 16	addcld 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
87	86, 14, 14	addsubassd 11640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
88	81	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) = (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)))
89	88	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
90	89	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)))
91	90	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
92	14	subidd 11608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴)) = 0)
93	92	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0))
94	86	addridd 11461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
95	93, 94	eqtr2d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
96	87, 91, 95	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
97	83, 16, 14	addassd 11283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
98	97	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
99	96, 98	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
100	80, 85, 99	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)))
101	82, 14, 14	addassd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
102	101	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
103	102	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
104	100, 103	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
105	73, 77, 104	3eqtr4rd 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
106	67, 69, 105	3eqtr4rd 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
107	106	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
108	62, 107	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
109	2, 9	remulcld 11291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℝ)
110		peano2re 11434	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) ∈ ℝ → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
112	111	resqcld 14165	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) ∈ ℝ)
113	112, 109	resubcld 11691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℝ)
114	113	recnd 11289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
115		3nn 12345	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
116		nnq 13004	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℚ
118		qmulcl 13009	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
119	117, 7, 118	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
120	119	3cubeslem1 42695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
121	120	gt0ne0d 11827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ≠ 0)
122		3ne0 12372	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
123	122	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
124	114, 3, 121, 123	mulne0d 11915	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3) ≠ 0)
125	108, 124	eqnetrd 3008	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
126	125	neneqd 2945	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2940 (class class class)co 7431 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 − cmin 11492 ℕcn 12266 2c2 12321 3c3 12322 ℕ₀cn0 12526 ℚcq 12990 ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-q 12991 df-seq 14043 df-exp 14103

This theorem is referenced by: 3cubeslem4 42700 3cubes 42701

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