Users' Mathboxes Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3cubeslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cubeslem2 41055
Description: Lemma for 3cubes 41060. Used to show that the denominators in 3cubeslem4 41059 are nonzero. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
3cubeslem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
Assertion
Ref Expression
3cubeslem2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = 0)

Proof of Theorem 3cubeslem2
StepHypRef Expression
1 3re 12241 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
21a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
32recnd 11191 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
43mulid2d 11181 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท 3) = 3)
54oveq2d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) ยท 3) + (1 ยท 3)) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) ยท 3) + 3))
63sqcld 14058 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7 3cubeslem1.a . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
8 qre 12886 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109resqcld 14039 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„)
1110recnd 11191 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
126, 11mulcld 11183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
139recnd 11191 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
143, 13mulcld 11183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1512, 14addcld 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
16 1cnd 11158 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1715, 16, 3adddird 11188 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) ยท 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) ยท 3) + (1 ยท 3)))
183, 13, 3mulassd 11186 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ๐ด) ยท 3) = (3 ยท (๐ด ยท 3)))
1918oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท ๐ด) ยท 3)) = ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (๐ด ยท 3))))
2019oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท ๐ด) ยท 3)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (๐ด ยท 3))) + 3))
2112, 14, 3adddird 11188 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) ยท 3) = ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท ๐ด) ยท 3)))
2221oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) ยท 3) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท ๐ด) ยท 3)) + 3))
233, 3, 13mulassd 11186 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท 3) ยท ๐ด) = (3 ยท (3 ยท ๐ด)))
2423oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) = ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (3 ยท ๐ด))))
2524oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (3 ยท ๐ด))) + 3))
2611, 3mulcomd 11184 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท 3) = (3 ยท (๐ดโ†‘2)))
2726oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท 3)) = ((3โ†‘2) ยท (3 ยท (๐ดโ†‘2))))
2827oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท 3)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) = (((3โ†‘2) ยท (3 ยท (๐ดโ†‘2))) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)))
2928oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท 3)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3) = ((((3โ†‘2) ยท (3 ยท (๐ดโ†‘2))) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3))
306, 11, 3mulassd 11186 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) = ((3โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท 3)))
3130oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) = (((3โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท 3)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)))
3231oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3) = ((((3โ†‘2) ยท ((๐ดโ†‘2) ยท 3)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3))
33 df-3 12225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 3 = (2 + 1))
3534oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (3โ†‘3) = (3โ†‘(2 + 1)))
3635oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) = ((3โ†‘(2 + 1)) ยท (๐ดโ†‘2)))
3736oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) = (((3โ†‘(2 + 1)) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)))
3837oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = ((((3โ†‘(2 + 1)) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))
39 2nn0 12438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„•0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
413, 40expp1d 14061 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (3โ†‘(2 + 1)) = ((3โ†‘2) ยท 3))
4241oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘(2 + 1)) ยท (๐ดโ†‘2)) = (((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)))
4342oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘(2 + 1)) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) = ((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)))
4443oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘(2 + 1)) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))
4538, 44eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))
463sqvald 14057 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (3โ†‘2) = (3 ยท 3))
4746oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((3โ†‘2) ยท ๐ด) = ((3 ยท 3) ยท ๐ด))
4847oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) = ((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)))
4948oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3))
5045, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3))
516, 3, 11mulassd 11186 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) = ((3โ†‘2) ยท (3 ยท (๐ดโ†‘2))))
5251oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) = (((3โ†‘2) ยท (3 ยท (๐ดโ†‘2))) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)))
5352oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท 3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3) = ((((3โ†‘2) ยท (3 ยท (๐ดโ†‘2))) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3))
5450, 53eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = ((((3โ†‘2) ยท (3 ยท (๐ดโ†‘2))) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3))
5529, 32, 543eqtr4rd 2784 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + ((3 ยท 3) ยท ๐ด)) + 3))
5613, 3mulcomd 11184 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท 3) = (3 ยท ๐ด))
5756oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (๐ด ยท 3)) = (3 ยท (3 ยท ๐ด)))
5857oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (๐ด ยท 3))) = ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (3 ยท ๐ด))))
5958oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (๐ด ยท 3))) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (3 ยท ๐ด))) + 3))
6025, 55, 593eqtr4d 2783 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) ยท 3) + (3 ยท (๐ด ยท 3))) + 3))
6120, 22, 603eqtr4rd 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) ยท 3) + 3))
625, 17, 613eqtr4rd 2784 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) ยท 3))
6314mulid1d 11180 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ๐ด) ยท 1) = (3 ยท ๐ด))
6463oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((3 ยท ๐ด) ยท 1)) = (2 ยท (3 ยท ๐ด)))
6564oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((3 ยท ๐ด) ยท 1))) = (((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))))
6665oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((3 ยท ๐ด) ยท 1))) + (1โ†‘2)) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + (1โ†‘2)))
6766oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((3 ยท ๐ด) ยท 1))) + (1โ†‘2)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + (1โ†‘2)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
6814, 16binom2d 41049 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((3 ยท ๐ด) ยท 1))) + (1โ†‘2)))
6968oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท ((3 ยท ๐ด) ยท 1))) + (1โ†‘2)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
70142timesd 12404 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (3 ยท ๐ด)) = ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด)))
7170oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) = (((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด))))
7271oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + 1) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด))) + 1))
7372oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด))) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
74 sq1 14108 . . . . . . . . . 10 (1โ†‘2) = 1
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘2) = 1)
7675oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + (1โ†‘2)) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + 1))
7776oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + (1โ†‘2)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
7814, 16addcomd 11365 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ๐ด) + 1) = (1 + (3 ยท ๐ด)))
7978oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + ((3 ยท ๐ด) + 1)) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (1 + (3 ยท ๐ด))))
8079oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + ((3 ยท ๐ด) + 1)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (1 + (3 ยท ๐ด))) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
813, 13sqmuld 14072 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ๐ด)โ†‘2) = ((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
8281, 12eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8382, 14addcld 11182 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
8483, 14, 16addassd 11185 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + ((3 ยท ๐ด) + 1)))
8584oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + ((3 ยท ๐ด) + 1)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
8615, 16addcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„‚)
8786, 14, 14addsubassd 11540 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + ((3 ยท ๐ด) โˆ’ (3 ยท ๐ด))))
8881oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) = (((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)))
8988oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1))
9089oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)))
9190oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = ((((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
9214subidd 11508 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ๐ด) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = 0)
9392oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + ((3 ยท ๐ด) โˆ’ (3 ยท ๐ด))) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + 0))
9486addid1d 11363 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + 0) = ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1))
9593, 94eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + ((3 ยท ๐ด) โˆ’ (3 ยท ๐ด))))
9687, 91, 953eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = ((((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
9783, 16, 14addassd 11185 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (1 + (3 ยท ๐ด))))
9897oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + 1) + (3 ยท ๐ด)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (1 + (3 ยท ๐ด))) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
9996, 98eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (1 + (3 ยท ๐ด))) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
10080, 85, 993eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = ((((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
10182, 14, 14addassd 11185 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (3 ยท ๐ด)) = (((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด))))
102101oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = ((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด))) + 1))
103102oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (3 ยท ๐ด)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด))) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
104100, 103eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + ((3 ยท ๐ด) + (3 ยท ๐ด))) + 1) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
10573, 77, 1043eqtr4rd 2784 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = (((((3 ยท ๐ด)โ†‘2) + (2 ยท (3 ยท ๐ด))) + (1โ†‘2)) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
10667, 69, 1053eqtr4rd 2784 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) = ((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
107106oveq1d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((3โ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)) + (3 ยท ๐ด)) + 1) ยท 3) = (((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) ยท 3))
10862, 107eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = (((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) ยท 3))
1092, 9remulcld 11193 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
110 peano2re 11336 . . . . . . . 8 ((3 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((3 ยท ๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
111109, 110syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
112111resqcld 14039 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆˆ โ„)
113112, 109resubcld 11591 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
114113recnd 11191 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
115 3nn 12240 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•
116 nnq 12895 . . . . . . . 8 (3 โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆˆ โ„š)
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . 7 3 โˆˆ โ„š
118 qmulcl 12900 . . . . . . 7 ((3 โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โˆˆ โ„š) โ†’ (3 ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
119117, 7, 118sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ๐ด) โˆˆ โ„š)
1201193cubeslem1 41054 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)))
121120gt0ne0d 11727 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) โ‰  0)
122 3ne0 12267 . . . . 5 3 โ‰  0
123122a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰  0)
124114, 3, 121, 123mulne0d 11815 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((3 ยท ๐ด) + 1)โ†‘2) โˆ’ (3 ยท ๐ด)) ยท 3) โ‰  0)
125108, 124eqnetrd 3008 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) โ‰  0)
126125neneqd 2945 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  3c3 12217  โ„•0cn0 12421  โ„šcq 12881  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  3cubeslem4  41059  3cubes  41060
  Copyright terms: Public domain W3C validator