3cubeslem2 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem2 43789

Description: Lemma for 3cubes 43794. Used to show that the denominators in 3cubeslem4 43793 are nonzero. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem2	⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)

**Proof of Theorem 3cubeslem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
4	3	mullidd 11331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 3) = 3)
5	4	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
6	3	sqcld 14291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
7		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
8		qre 13084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12	6, 11	mulcld 11333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	9	recnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
15	12, 14	addcld 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16		1cnd 11306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	15, 16, 3	adddird 11338	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)))
18	3, 13, 3	mulassd 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 3) = (3 · (𝐴 · 3)))
19	18	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))))
20	19	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
21	12, 14, 3	adddird 11338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)))
22	21	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3))
23	3, 3, 13	mulassd 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴)))
24	23	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
25	24	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
26	11, 3	mulcomd 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 3) = (3 · (𝐴↑2)))
27	26	oveq2d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
28	27	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
29	28	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
30	6, 11, 3	mulassd 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) = ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)))
31	30	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
32	31	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
33		df-3 12410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 + 1))
35	34	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑3) = (3↑(2 + 1)))
36	35	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) = ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)))
37	36	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
38	37	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
39		2nn0 12627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
41	3, 40	expp1d 14294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑(2 + 1)) = ((3↑2) · 3))
42	41	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) = (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)))
43	42	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
44	43	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
45	38, 44	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
46	3	sqvald 14290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3↑2) = (3 · 3))
47	46	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴))
48	47	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
49	48	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
50	45, 49	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
51	6, 3, 11	mulassd 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
52	51	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
53	52	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
54	50, 53	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
55	29, 32, 54	3eqtr4rd 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
56	13, 3	mulcomd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
57	56	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐴 · 3)) = (3 · (3 · 𝐴)))
58	57	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
59	58	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
60	25, 55, 59	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
61	20, 22, 60	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
62	5, 17, 61	3eqtr4rd 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3))
63	14	mulridd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 1) = (3 · 𝐴))
64	63	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((3 · 𝐴) · 1)) = (2 · (3 · 𝐴)))
65	64	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) = (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))))
66	65	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)))
67	66	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
68	14, 16	binom2d 14366	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)))
69	68	oveq1d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
70	14	2timesd 12593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴)))
71	70	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
72	71	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
73	72	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
74		sq1 14342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
75	74	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = 1)
76	75	oveq2d 7437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1))
77	76	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
78	14, 16	addcomd 11516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) = (1 + (3 · 𝐴)))
79	78	oveq2d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
80	79	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
81	3, 13	sqmuld 14305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) = ((3↑2) · (𝐴↑2)))
82	81, 12	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
83	82, 14	addcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
84	83, 14, 16	addassd 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)))
85	84	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)))
86	15, 16	addcld 11332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
87	86, 14, 14	addsubassd 11693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
88	81	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) = (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)))
89	88	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
90	89	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)))
91	90	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
92	14	subidd 11661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴)) = 0)
93	92	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0))
94	86	addridd 11514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
95	93, 94	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
96	87, 91, 95	3eqtr4rd 2806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
97	83, 16, 14	addassd 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
98	97	oveq1d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
99	96, 98	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
100	80, 85, 99	3eqtr4rd 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)))
101	82, 14, 14	addassd 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
102	101	oveq1d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
103	102	oveq1d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
104	100, 103	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
105	73, 77, 104	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
106	67, 69, 105	3eqtr4rd 2806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
107	106	oveq1d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
108	62, 107	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
109	2, 9	remulcld 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℝ)
110		peano2re 11487	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) ∈ ℝ → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
111	109, 110	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
112	111	resqcld 14272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) ∈ ℝ)
113	112, 109	resubcld 11748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℝ)
114	113	recnd 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
115		3nn 12426	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
116		nnq 13093	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℚ
118		qmulcl 13099	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
119	117, 7, 118	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
120	119	3cubeslem1 43788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
121	120	gt0ne0d 11884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ≠ 0)
122		3ne0 12456	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
123	122	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
124	114, 3, 121, 123	mulne0d 11972	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3) ≠ 0)
125	108, 124	eqnetrd 3022	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
126	125	neneqd 2960	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 (class class class)co 7421 ℂcc 11202 ℝcr 11203 0cc0 11204 1c1 11205 + caddc 11207 · cmul 11209 − cmin 11545 ℕcn 12339 2c2 12401 3c3 12402 ℕ₀cn0 12610 ℚcq 13079 ↑cexp 14208

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7752 ax-cnex 11260 ax-resscn 11261 ax-1cn 11262 ax-icn 11263 ax-addcl 11264 ax-addrcl 11265 ax-mulcl 11266 ax-mulrcl 11267 ax-mulcom 11268 ax-addass 11269 ax-mulass 11270 ax-distr 11271 ax-i2m1 11272 ax-1ne0 11273 ax-1rid 11274 ax-rnegex 11275 ax-rrecex 11276 ax-cnre 11277 ax-pre-lttri 11278 ax-pre-lttrn 11279 ax-pre-ltadd 11280 ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6541 df-fn 6542 df-f 6543 df-f1 6544 df-fo 6545 df-f1o 6546 df-fv 6547 df-riota 7378 df-ov 7424 df-oprab 7425 df-mpo 7426 df-om 7879 df-1st 8002 df-2nd 8003 df-frecs 8303 df-wrecs 8334 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-er 8721 df-en 8978 df-dom 8979 df-sdom 8980 df-pnf 11349 df-mnf 11350 df-xr 11351 df-ltxr 11352 df-le 11353 df-sub 11547 df-neg 11548 df-div 11978 df-nn 12340 df-2 12409 df-3 12410 df-n0 12611 df-z 12698 df-uz 12970 df-q 13080 df-seq 14149 df-exp 14209

This theorem is used by: 3cubeslem4 43793 3cubes 43794

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