3cubeslem2 - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem 3cubeslem2 42105

Description: Lemma for 3cubes 42110. Used to show that the denominators in 3cubeslem4 42109 are nonzero. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
3cubeslem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
3cubeslem2	⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)

**Proof of Theorem 3cubeslem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
4	3	mullidd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 · 3) = 3)
5	4	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
6	3	sqcld 14141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
7		3cubeslem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
8		qre 12968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12	6, 11	mulcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	9	recnd 11273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	3, 13	mulcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
15	12, 14	addcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16		1cnd 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17	15, 16, 3	adddird 11270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)))
18	3, 13, 3	mulassd 11268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 3) = (3 · (𝐴 · 3)))
19	18	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))))
20	19	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
21	12, 14, 3	adddird 11270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)))
22	21	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3))
23	3, 3, 13	mulassd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴)))
24	23	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
25	24	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
26	11, 3	mulcomd 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 3) = (3 · (𝐴↑2)))
27	26	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
28	27	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
29	28	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
30	6, 11, 3	mulassd 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) = ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)))
31	30	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
32	31	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
33		df-3 12307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 + 1))
35	34	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑3) = (3↑(2 + 1)))
36	35	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) = ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)))
37	36	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
38	37	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
39		2nn0 12520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
41	3, 40	expp1d 14144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑(2 + 1)) = ((3↑2) · 3))
42	41	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) = (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)))
43	42	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
44	43	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
45	38, 44	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
46	3	sqvald 14140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3↑2) = (3 · 3))
47	46	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴))
48	47	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
49	48	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
50	45, 49	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
51	6, 3, 11	mulassd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
52	51	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
53	52	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
54	50, 53	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
55	29, 32, 54	3eqtr4rd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
56	13, 3	mulcomd 11266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
57	56	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · (𝐴 · 3)) = (3 · (3 · 𝐴)))
58	57	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
59	58	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
60	25, 55, 59	3eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
61	20, 22, 60	3eqtr4rd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
62	5, 17, 61	3eqtr4rd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3))
63	14	mulridd 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 1) = (3 · 𝐴))
64	63	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((3 · 𝐴) · 1)) = (2 · (3 · 𝐴)))
65	64	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) = (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))))
66	65	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)))
67	66	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
68	14, 16	binom2d 42099	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)))
69	68	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
70	14	2timesd 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴)))
71	70	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
72	71	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
73	72	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
74		sq1 14191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1↑2) = 1
75	74	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1↑2) = 1)
76	75	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1))
77	76	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
78	14, 16	addcomd 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) = (1 + (3 · 𝐴)))
79	78	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
80	79	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
81	3, 13	sqmuld 14155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) = ((3↑2) · (𝐴↑2)))
82	81, 12	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
83	82, 14	addcld 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
84	83, 14, 16	addassd 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)))
85	84	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)))
86	15, 16	addcld 11264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
87	86, 14, 14	addsubassd 11622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
88	81	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) = (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)))
89	88	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
90	89	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)))
91	90	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
92	14	subidd 11590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴)) = 0)
93	92	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0))
94	86	addridd 11445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
95	93, 94	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
96	87, 91, 95	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
97	83, 16, 14	addassd 11267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
98	97	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
99	96, 98	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
100	80, 85, 99	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)))
101	82, 14, 14	addassd 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
102	101	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
103	102	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
104	100, 103	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
105	73, 77, 104	3eqtr4rd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
106	67, 69, 105	3eqtr4rd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
107	106	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
108	62, 107	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
109	2, 9	remulcld 11275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℝ)
110		peano2re 11418	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) ∈ ℝ → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
112	111	resqcld 14122	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) ∈ ℝ)
113	112, 109	resubcld 11673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℝ)
114	113	recnd 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
115		3nn 12322	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
116		nnq 12977	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℚ
118		qmulcl 12982	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
119	117, 7, 118	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
120	119	3cubeslem1 42104	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
121	120	gt0ne0d 11809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ≠ 0)
122		3ne0 12349	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 0
123	122	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
124	114, 3, 121, 123	mulne0d 11897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3) ≠ 0)
125	108, 124	eqnetrd 3005	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
126	125	neneqd 2942	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2937 (class class class)co 7420 ℂcc 11137 ℝcr 11138 0cc0 11139 1c1 11140 + caddc 11142 · cmul 11144 − cmin 11475 ℕcn 12243 2c2 12298 3c3 12299 ℕ₀cn0 12503 ℚcq 12963 ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-er 8725 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 df-nn 12244 df-2 12306 df-3 12307 df-n0 12504 df-z 12590 df-uz 12854 df-q 12964 df-seq 14000 df-exp 14060

This theorem is referenced by: 3cubeslem4 42109 3cubes 42110

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