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Theorem 3cubeslem2 40994
Description: Lemma for 3cubes 40999. Used to show that the denominators in 3cubeslem4 40998 are nonzero. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
3cubeslem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
Assertion
Ref Expression
3cubeslem2 (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)

Proof of Theorem 3cubeslem2
StepHypRef Expression
1 3re 12233 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
32recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
43mulid2d 11173 . . . . . 6 (𝜑 → (1 · 3) = 3)
54oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
63sqcld 14049 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3↑2) ∈ ℂ)
7 3cubeslem1.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℚ)
8 qre 12878 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
109resqcld 14030 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
1110recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
126, 11mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
139recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
143, 13mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℂ)
1512, 14addcld 11174 . . . . . 6 (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16 1cnd 11150 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1715, 16, 3adddird 11180 . . . . 5 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + (1 · 3)))
183, 13, 3mulassd 11178 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 3) = (3 · (𝐴 · 3)))
1918oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))))
2019oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
2112, 14, 3adddird 11180 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)))
2221oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 𝐴) · 3)) + 3))
233, 3, 13mulassd 11178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴)))
2423oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
2524oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
2611, 3mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 3) = (3 · (𝐴↑2)))
2726oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
2827oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
2928oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
306, 11, 3mulassd 11178 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) = ((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)))
3130oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
3231oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · ((𝐴↑2) · 3)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
33 df-3 12217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 = (2 + 1))
3534oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3↑3) = (3↑(2 + 1)))
3635oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3↑3) · (𝐴↑2)) = ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)))
3736oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
3837oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
39 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
413, 40expp1d 14052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3↑(2 + 1)) = ((3↑2) · 3))
4241oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) = (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)))
4342oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)))
4443oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((3↑(2 + 1)) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
4538, 44eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3))
463sqvald 14048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (3↑2) = (3 · 3))
4746oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((3↑2) · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴))
4847oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) = ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)))
4948oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
5045, 49eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
516, 3, 11mulassd 11178 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) = ((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))))
5251oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) = (((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)))
5352oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((3↑2) · 3) · (𝐴↑2)) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
5450, 53eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = ((((3↑2) · (3 · (𝐴↑2))) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
5529, 32, 543eqtr4rd 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + ((3 · 3) · 𝐴)) + 3))
5613, 3mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 3) = (3 · 𝐴))
5756oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 · (𝐴 · 3)) = (3 · (3 · 𝐴)))
5857oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))))
5958oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (3 · 𝐴))) + 3))
6025, 55, 593eqtr4d 2786 . . . . . 6 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) · 3) + (3 · (𝐴 · 3))) + 3))
6120, 22, 603eqtr4rd 2787 . . . . 5 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) · 3) + 3))
625, 17, 613eqtr4rd 2787 . . . 4 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3))
6314mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((3 · 𝐴) · 1) = (3 · 𝐴))
6463oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((3 · 𝐴) · 1)) = (2 · (3 · 𝐴)))
6564oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) = (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))))
6665oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)))
6766oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
6814, 16binom2d 40988 . . . . . . 7 (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)))
6968oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · ((3 · 𝐴) · 1))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
70142timesd 12396 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (3 · 𝐴)) = ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴)))
7170oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
7271oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
7372oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
74 sq1 14099 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1↑2) = 1)
7675oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1))
7776oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
7814, 16addcomd 11357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) = (1 + (3 · 𝐴)))
7978oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
8079oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
813, 13sqmuld 14063 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) = ((3↑2) · (𝐴↑2)))
8281, 12eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((3 · 𝐴)↑2) ∈ ℂ)
8382, 14addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
8483, 14, 16addassd 11177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)))
8584oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + ((3 · 𝐴) + 1)) − (3 · 𝐴)))
8615, 16addcld 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) ∈ ℂ)
8786, 14, 14addsubassd 11532 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
8881oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) = (((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)))
8988oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
9089oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)))
9190oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = ((((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
9214subidd 11500 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴)) = 0)
9392oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0))
9486addid1d 11355 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + 0) = ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1))
9593, 94eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) + ((3 · 𝐴) − (3 · 𝐴))))
9687, 91, 953eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)))
9783, 16, 14addassd 11177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) = ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))))
9897oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + 1) + (3 · 𝐴)) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
9996, 98eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (1 + (3 · 𝐴))) − (3 · 𝐴)))
10080, 85, 993eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)))
10182, 14, 14addassd 11177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) = (((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))))
102101oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1))
103102oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((((3 · 𝐴)↑2) + (3 · 𝐴)) + (3 · 𝐴)) + 1) − (3 · 𝐴)) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
104100, 103eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + ((3 · 𝐴) + (3 · 𝐴))) + 1) − (3 · 𝐴)))
10573, 77, 1043eqtr4rd 2787 . . . . . 6 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = (((((3 · 𝐴)↑2) + (2 · (3 · 𝐴))) + (1↑2)) − (3 · 𝐴)))
10667, 69, 1053eqtr4rd 2787 . . . . 5 (𝜑 → ((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) = ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
107106oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → (((((3↑2) · (𝐴↑2)) + (3 · 𝐴)) + 1) · 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
10862, 107eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3))
1092, 9remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℝ)
110 peano2re 11328 . . . . . . . 8 ((3 · 𝐴) ∈ ℝ → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
111109, 110syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3 · 𝐴) + 1) ∈ ℝ)
112111resqcld 14030 . . . . . 6 (𝜑 → (((3 · 𝐴) + 1)↑2) ∈ ℝ)
113112, 109resubcld 11583 . . . . 5 (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℝ)
114113recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ∈ ℂ)
115 3nn 12232 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
116 nnq 12887 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℚ)
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . 7 3 ∈ ℚ
118 qmulcl 12892 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
119117, 7, 118sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (3 · 𝐴) ∈ ℚ)
1201193cubeslem1 40993 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)))
121120gt0ne0d 11719 . . . 4 (𝜑 → ((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) ≠ 0)
122 3ne0 12259 . . . . 5 3 ≠ 0
123122a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 ≠ 0)
124114, 3, 121, 123mulne0d 11807 . . 3 (𝜑 → (((((3 · 𝐴) + 1)↑2) − (3 · 𝐴)) · 3) ≠ 0)
125108, 124eqnetrd 3011 . 2 (𝜑 → ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) ≠ 0)
126125neneqd 2948 1 (𝜑 → ¬ ((((3↑3) · (𝐴↑2)) + ((3↑2) · 𝐴)) + 3) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  0cn0 12413  cq 12873  cexp 13967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-seq 13907  df-exp 13968
This theorem is referenced by:  3cubeslem4  40998  3cubes  40999
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