![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > quad | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
quad.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
quad.z | โข (๐ โ ๐ด โ 0) |
quad.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
quad.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
quad.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
quad.d | โข (๐ โ ๐ท = ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))) |
Ref | Expression |
---|---|
quad | โข (๐ โ (((๐ด ยท (๐โ2)) + ((๐ต ยท ๐) + ๐ถ)) = 0 โ (๐ = ((-๐ต + (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โจ ๐ = ((-๐ต โ (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | quad.a | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | quad.z | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ 0) | |
3 | quad.b | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | quad.c | . 2 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | quad.x | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | quad.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท = ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))) | |
7 | 3 | sqcld 14105 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โ) |
8 | 4cn 12293 | . . . . . 6 โข 4 โ โ | |
9 | 1, 4 | mulcld 11230 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
10 | mulcl 11190 | . . . . . 6 โข ((4 โ โ โง (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ โ) | |
11 | 8, 9, 10 | sylancr 587 | . . . . 5 โข (๐ โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ โ) |
12 | 7, 11 | subcld 11567 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ โ) |
13 | 6, 12 | eqeltrd 2833 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
14 | 13 | sqrtcld 15380 | . 2 โข (๐ โ (โโ๐ท) โ โ) |
15 | 13 | sqsqrtd 15382 | . . 3 โข (๐ โ ((โโ๐ท)โ2) = ๐ท) |
16 | 15, 6 | eqtrd 2772 | . 2 โข (๐ โ ((โโ๐ท)โ2) = ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))) |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 14, 16 | quad2 26333 | 1 โข (๐ โ (((๐ด ยท (๐โ2)) + ((๐ต ยท ๐) + ๐ถ)) = 0 โ (๐ = ((-๐ต + (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โจ ๐ = ((-๐ต โ (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โจ wo 845 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 โcfv 6540 (class class class)co 7405 โcc 11104 0cc0 11106 + caddc 11109 ยท cmul 11111 โ cmin 11440 -cneg 11441 / cdiv 11867 2c2 12263 4c4 12265 โcexp 14023 โcsqrt 15176 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-sup 9433 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-n0 12469 df-z 12555 df-uz 12819 df-rp 12971 df-seq 13963 df-exp 14024 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 |
This theorem is referenced by: dcubic 26340 quad1 46274 requad01 46275 requad1 46276 requad2 46277 itsclc0yqsol 47403 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |