![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > quad | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
quad.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
quad.z | โข (๐ โ ๐ด โ 0) |
quad.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
quad.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
quad.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
quad.d | โข (๐ โ ๐ท = ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))) |
Ref | Expression |
---|---|
quad | โข (๐ โ (((๐ด ยท (๐โ2)) + ((๐ต ยท ๐) + ๐ถ)) = 0 โ (๐ = ((-๐ต + (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โจ ๐ = ((-๐ต โ (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | quad.a | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | quad.z | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ 0) | |
3 | quad.b | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
4 | quad.c | . 2 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | quad.x | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | quad.d | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท = ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))) | |
7 | 3 | sqcld 14107 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ตโ2) โ โ) |
8 | 4cn 12295 | . . . . . 6 โข 4 โ โ | |
9 | 1, 4 | mulcld 11232 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
10 | mulcl 11191 | . . . . . 6 โข ((4 โ โ โง (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ โ) | |
11 | 8, 9, 10 | sylancr 586 | . . . . 5 โข (๐ โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โ โ) |
12 | 7, 11 | subcld 11569 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โ โ) |
13 | 6, 12 | eqeltrd 2825 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
14 | 13 | sqrtcld 15382 | . 2 โข (๐ โ (โโ๐ท) โ โ) |
15 | 13 | sqsqrtd 15384 | . . 3 โข (๐ โ ((โโ๐ท)โ2) = ๐ท) |
16 | 15, 6 | eqtrd 2764 | . 2 โข (๐ โ ((โโ๐ท)โ2) = ((๐ตโ2) โ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)))) |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 14, 16 | quad2 26690 | 1 โข (๐ โ (((๐ด ยท (๐โ2)) + ((๐ต ยท ๐) + ๐ถ)) = 0 โ (๐ = ((-๐ต + (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โจ ๐ = ((-๐ต โ (โโ๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โจ wo 844 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โcc 11105 0cc0 11107 + caddc 11110 ยท cmul 11112 โ cmin 11442 -cneg 11443 / cdiv 11869 2c2 12265 4c4 12267 โcexp 14025 โcsqrt 15178 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-sup 9434 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11870 df-nn 12211 df-2 12273 df-3 12274 df-4 12275 df-n0 12471 df-z 12557 df-uz 12821 df-rp 12973 df-seq 13965 df-exp 14026 df-cj 15044 df-re 15045 df-im 15046 df-sqrt 15180 df-abs 15181 |
This theorem is referenced by: dcubic 26697 quad1 46798 requad01 46799 requad1 46800 requad2 46801 itsclc0yqsol 47663 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |