Theorem quad 27077

Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quad.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

Proof of Theorem quad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		quad.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		quad.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		quad.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		quad.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6		quad.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7	3	sqcld 14208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
8		4cn 12350	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
9	1, 4	mulcld 11253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulcl 11208	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
12	7, 11	subcld 11593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
13	6, 12	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
14	13	sqrtcld 15527	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
15	13	sqsqrtd 15529	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
16	15, 6	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
17	1, 2, 3, 4, 5, 14, 16	quad2 27076	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  2c2 12319  4c4 12321  ↑cexp 14125  √csqrt 15320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323

This theorem is used by:  dcubic  27083  goldratval  47754  quad1  48536  requad01  48537  requad1  48538  requad2  48539  itsclc0yqsol  49694