MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad 26334
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quad.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
quad.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quad.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quad.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quad.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
Assertion
Ref Expression
quad (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘‹) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 quad.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 quad.b . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 quad.c . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 quad.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
6 quad.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
73sqcld 14105 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8 4cn 12293 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
91, 4mulcld 11230 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
10 mulcl 11190 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
127, 11subcld 11567 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
136, 12eqeltrd 2833 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1413sqrtcld 15380 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
1513sqsqrtd 15382 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
1615, 6eqtrd 2772 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 26333 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘‹) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  โ†‘cexp 14023  โˆšcsqrt 15176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179
This theorem is referenced by:  dcubic  26340  quad1  46274  requad01  46275  requad1  46276  requad2  46277  itsclc0yqsol  47403
  Copyright terms: Public domain W3C validator