Theorem quad 25412

Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quad.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

Proof of Theorem quad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		quad.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		quad.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		quad.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		quad.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6		quad.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7	3	sqcld 13502	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
8		4cn 11716	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
9	1, 4	mulcld 10655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulcl 10615	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
12	7, 11	subcld 10991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
13	6, 12	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
14	13	sqrtcld 14791	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
15	13	sqsqrtd 14793	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
16	15, 6	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
17	1, 2, 3, 4, 5, 14, 16	quad2 25411	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  2c2 11686  4c4 11688  ↑cexp 13423  √csqrt 14586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589

This theorem is referenced by:  dcubic  25418  quad1  43778  requad01  43779  requad1  43780  requad2  43781  itsclc0yqsol  44744