MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad 26206
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quad.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
quad.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quad.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quad.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quad.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
Assertion
Ref Expression
quad (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘‹) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 quad.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 quad.b . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 quad.c . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 quad.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
6 quad.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
73sqcld 14056 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8 4cn 12245 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
91, 4mulcld 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
10 mulcl 11142 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
127, 11subcld 11519 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
136, 12eqeltrd 2838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1413sqrtcld 15329 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
1513sqsqrtd 15331 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
1615, 6eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 26205 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘‹) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  4c4 12217  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  dcubic  26212  quad1  45886  requad01  45887  requad1  45888  requad2  45889  itsclc0yqsol  46924
  Copyright terms: Public domain W3C validator