MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad 26142
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quad.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 quad.z . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 quad.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quad.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quad.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
6 quad.d . . . 4 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
73sqcld 14002 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
8 4cn 12197 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
91, 4mulcld 11134 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10 mulcl 11094 . . . . . 6 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
118, 9, 10sylancr 588 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
127, 11subcld 11471 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
136, 12eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1413sqrtcld 15282 . 2 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
1513sqsqrtd 15284 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
1615, 6eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 26141 1 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cfv 6494  (class class class)co 7352  cc 11008  0cc0 11010   + caddc 11013   · cmul 11015  cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11771  2c2 12167  4c4 12169  cexp 13922  csqrt 15078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-sup 9337  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-seq 13862  df-exp 13923  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081
This theorem is referenced by:  dcubic  26148  quad1  45707  requad01  45708  requad1  45709  requad2  45710  itsclc0yqsol  46745
  Copyright terms: Public domain W3C validator