MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad 26691
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quad.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
quad.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quad.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quad.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
quad.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
Assertion
Ref Expression
quad (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘‹) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 quad.z . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 quad.b . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 quad.c . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 quad.x . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
6 quad.d . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
73sqcld 14107 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
8 4cn 12295 . . . . . 6 4 โˆˆ โ„‚
91, 4mulcld 11232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
10 mulcl 11191 . . . . . 6 ((4 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
127, 11subcld 11569 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
136, 12eqeltrd 2825 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1413sqrtcld 15382 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
1513sqsqrtd 15384 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
1615, 6eqtrd 2764 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 26690 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท (๐‘‹โ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘‹) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘‹ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘‹ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11869  2c2 12265  4c4 12267  โ†‘cexp 14025  โˆšcsqrt 15178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181
This theorem is referenced by:  dcubic  26697  quad1  46798  requad01  46799  requad1  46800  requad2  46801  itsclc0yqsol  47663
  Copyright terms: Public domain W3C validator