Theorem quad 26970

Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quad.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

Proof of Theorem quad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		quad.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		quad.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		quad.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5		quad.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
6		quad.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
7	3	sqcld 14179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
8		4cn 12325	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
9	1, 4	mulcld 11228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulcl 11183	. . . . . 6 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
12	7, 11	subcld 11568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
13	6, 12	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
14	13	sqrtcld 15490	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
15	13	sqsqrtd 15492	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
16	15, 6	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
17	1, 2, 3, 4, 5, 14, 16	quad2 26969	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11870  2c2 12294  4c4 12296  ↑cexp 14096  √csqrt 15283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286

This theorem is referenced by:  dcubic  26976  quad1  48273  requad01  48274  requad1  48275  requad2  48276  itsclc0yqsol  49428