MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad 26897
Description: The quadratic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quad.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quad.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))

Proof of Theorem quad
StepHypRef Expression
1 quad.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 quad.z . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 quad.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quad.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quad.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
6 quad.d . . . 4 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
73sqcld 14180 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
8 4cn 12348 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
91, 4mulcld 11278 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10 mulcl 11236 . . . . . 6 ((4 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
118, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
127, 11subcld 11617 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
136, 12eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1413sqrtcld 15472 . 2 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
1513sqsqrtd 15474 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
1615, 6eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → ((√‘𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
171, 2, 3, 4, 5, 14, 16quad2 26896 1 (𝜑 → (((𝐴 · (𝑋↑2)) + ((𝐵 · 𝑋) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑋 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑋 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  4c4 12320  cexp 14098  csqrt 15268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271
This theorem is referenced by:  dcubic  26903  quad1  47544  requad01  47545  requad1  47546  requad2  47547  itsclc0yqsol  48613
  Copyright terms: Public domain W3C validator