Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad1 46288
Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quad1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
quad1.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
quad1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
quad1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
quad1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
Assertion
Ref Expression
quad1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem quad1
StepHypRef Expression
1 quad1.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 quad1.z . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
43adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โ‰  0)
5 quad1.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
65adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 quad1.c . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
87adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9 simpr 486 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
10 quad1.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
1110adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
122, 4, 6, 8, 9, 11quad 26345 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
1312reubidva 3393 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
145negcld 11558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
155sqcld 14109 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
16 4cn 12297 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„‚
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
181, 7mulcld 11234 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1917, 18mulcld 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
2015, 19subcld 11571 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„‚)
2110, 20eqeltrd 2834 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2221sqrtcld 15384 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
2314, 22addcld 11233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
24 2cnd 12290 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2524, 1mulcld 11234 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
26 2ne0 12316 . . . . . 6 2 โ‰  0
2726a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
2824, 1, 27, 3mulne0d 11866 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
2923, 25, 28divcld 11990 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3014, 22subcld 11571 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
3130, 25, 28divcld 11990 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
32 euoreqb 45817 . . 3 ((((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
3329, 31, 32syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
3414, 22, 25, 28divdird 12028 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
3514, 22, 25, 28divsubdird 12029 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
3614, 25, 28divcld 11990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3722, 25, 28divcld 11990 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
3836, 37negsubd 11577 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
3922, 25, 28divnegd 12003 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)))
4039oveq2d 7425 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
4135, 38, 403eqtr2d 2779 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
4234, 41eqeq12d 2749 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†” ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)))))
4322negcld 11558 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -(โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
4443, 25, 28divcld 11990 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4536, 37, 44addcand 11417 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
46 div11 11900 . . . . 5 (((โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง -(โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โ‰  0)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
4722, 43, 25, 28, 46syl112anc 1375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
4822eqnegd 11935 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = 0))
49 cnsqrt00 15339 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = 0 โ†” ๐ท = 0))
5021, 49syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = 0 โ†” ๐ท = 0))
5148, 50bitrd 279 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท) โ†” ๐ท = 0))
5245, 47, 513bitrd 305 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ๐ท = 0))
5342, 52bitrd 279 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†” ๐ท = 0))
5413, 33, 533bitrd 305 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒ!wreu 3375  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  4c4 12269  โ†‘cexp 14027  โˆšcsqrt 15180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator