Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad1 45802
Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quad1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1
StepHypRef Expression
1 quad1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 quad1.z . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5 quad1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 quad1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10 quad1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
122, 4, 6, 8, 9, 11quad 26190 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
1312reubidva 3369 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
145negcld 11499 . . . . 5 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
155sqcld 14049 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16 4cn 12238 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
181, 7mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
1917, 18mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
2015, 19subcld 11512 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
2110, 20eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2221sqrtcld 15322 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
2314, 22addcld 11174 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24 2cnd 12231 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2524, 1mulcld 11175 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26 2ne0 12257 . . . . . 6 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2824, 1, 27, 3mulne0d 11807 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
2923, 25, 28divcld 11931 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3014, 22subcld 11512 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
3130, 25, 28divcld 11931 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32 euoreqb 45331 . . 3 ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3329, 31, 32syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3414, 22, 25, 28divdird 11969 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3514, 22, 25, 28divsubdird 11970 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3614, 25, 28divcld 11931 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3722, 25, 28divcld 11931 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3836, 37negsubd 11518 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3922, 25, 28divnegd 11944 . . . . . 6 (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
4039oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4135, 38, 403eqtr2d 2782 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4234, 41eqeq12d 2752 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
4322negcld 11499 . . . . . 6 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
4443, 25, 28divcld 11931 . . . . 5 (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4536, 37, 44addcand 11358 . . . 4 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46 div11 11841 . . . . 5 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4722, 43, 25, 28, 46syl112anc 1374 . . . 4 (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4822eqnegd 11876 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49 cnsqrt00 15277 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5021, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5148, 50bitrd 278 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
5245, 47, 513bitrd 304 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
5342, 52bitrd 278 . 2 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
5413, 33, 533bitrd 304 1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ∃!wreu 3351  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  4c4 12210  cexp 13967  csqrt 15118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator