Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad1 46275
Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quad1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1
StepHypRef Expression
1 quad1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 quad1.z . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
43adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5 quad1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 quad1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10 quad1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1110adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
122, 4, 6, 8, 9, 11quad 26335 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
1312reubidva 3393 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
145negcld 11555 . . . . 5 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
155sqcld 14106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16 4cn 12294 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
181, 7mulcld 11231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
1917, 18mulcld 11231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
2015, 19subcld 11568 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
2110, 20eqeltrd 2834 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2221sqrtcld 15381 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
2314, 22addcld 11230 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24 2cnd 12287 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2524, 1mulcld 11231 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26 2ne0 12313 . . . . . 6 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2824, 1, 27, 3mulne0d 11863 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
2923, 25, 28divcld 11987 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3014, 22subcld 11568 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
3130, 25, 28divcld 11987 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32 euoreqb 45804 . . 3 ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3329, 31, 32syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3414, 22, 25, 28divdird 12025 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3514, 22, 25, 28divsubdird 12026 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3614, 25, 28divcld 11987 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3722, 25, 28divcld 11987 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3836, 37negsubd 11574 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3922, 25, 28divnegd 12000 . . . . . 6 (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
4039oveq2d 7422 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4135, 38, 403eqtr2d 2779 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4234, 41eqeq12d 2749 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
4322negcld 11555 . . . . . 6 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
4443, 25, 28divcld 11987 . . . . 5 (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4536, 37, 44addcand 11414 . . . 4 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46 div11 11897 . . . . 5 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4722, 43, 25, 28, 46syl112anc 1375 . . . 4 (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4822eqnegd 11932 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49 cnsqrt00 15336 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5021, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5148, 50bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
5245, 47, 513bitrd 305 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
5342, 52bitrd 279 . 2 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
5413, 33, 533bitrd 305 1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  ∃!wreu 3375  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110   · cmul 11112  cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  4c4 12266  cexp 14024  csqrt 15177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator