Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad1 47544
Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quad1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1
StepHypRef Expression
1 quad1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 quad1.z . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5 quad1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 quad1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10 quad1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
122, 4, 6, 8, 9, 11quad 26897 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
1312reubidva 3393 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
145negcld 11604 . . . . 5 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
155sqcld 14180 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16 4cn 12348 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
181, 7mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
1917, 18mulcld 11278 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
2015, 19subcld 11617 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
2110, 20eqeltrd 2838 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2221sqrtcld 15472 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
2314, 22addcld 11277 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24 2cnd 12341 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2524, 1mulcld 11278 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26 2ne0 12367 . . . . . 6 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2824, 1, 27, 3mulne0d 11912 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
2923, 25, 28divcld 12040 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3014, 22subcld 11617 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
3130, 25, 28divcld 12040 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32 euoreqb 47058 . . 3 ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3329, 31, 32syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3414, 22, 25, 28divdird 12078 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3514, 22, 25, 28divsubdird 12079 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3614, 25, 28divcld 12040 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3722, 25, 28divcld 12040 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3836, 37negsubd 11623 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3922, 25, 28divnegd 12053 . . . . . 6 (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
4039oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4135, 38, 403eqtr2d 2780 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4234, 41eqeq12d 2750 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
4322negcld 11604 . . . . . 6 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
4443, 25, 28divcld 12040 . . . . 5 (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4536, 37, 44addcand 11461 . . . 4 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46 div11 11947 . . . . 5 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4722, 43, 25, 28, 46syl112anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4822eqnegd 11985 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49 cnsqrt00 15427 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5021, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5148, 50bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
5245, 47, 513bitrd 305 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
5342, 52bitrd 279 . 2 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
5413, 33, 533bitrd 305 1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  ∃!wreu 3375  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  4c4 12320  cexp 14098  csqrt 15268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator