Theorem quad1 47607

Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad1	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		quad1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5		quad1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		quad1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		quad1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	quad 26883	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
13	12	reubidva 3396	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
14	5	negcld 11607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
15	5	sqcld 14184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16		4cn 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18	1, 7	mulcld 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 11620	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
21	10, 20	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	sqrtcld 15476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
23	14, 22	addcld 11280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24		2cnd 12344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
25	24, 1	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26		2ne0 12370	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
28	24, 1, 27, 3	mulne0d 11915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
29	23, 25, 28	divcld 12043	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
30	14, 22	subcld 11620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
31	30, 25, 28	divcld 12043	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32		euoreqb 47121	. . 3 ⊢ ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
33	29, 31, 32	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
34	14, 22, 25, 28	divdird 12081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
35	14, 22, 25, 28	divsubdird 12082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
36	14, 25, 28	divcld 12043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	22, 25, 28	divcld 12043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
38	36, 37	negsubd 11626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
39	22, 25, 28	divnegd 12056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr2d 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
42	34, 41	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
43	22	negcld 11607	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
44	43, 25, 28	divcld 12043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
45	36, 37, 44	addcand 11464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46		div11 11950	. . . . 5 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
47	22, 43, 25, 28, 46	syl112anc 1376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
48	22	eqnegd 11988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49		cnsqrt00 15431	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
50	21, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
51	48, 50	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
52	45, 47, 51	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
53	42, 52	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
54	13, 33, 53	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃!wreu 3378  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  ↑cexp 14102  √csqrt 15272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by: (None)