Theorem quad1 42572

Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad1	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		quad1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	3	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5		quad1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		quad1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		quad1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
11	10	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	quad 25029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
13	12	reubidva 3312	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
14	5	negcld 10723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
15	5	sqcld 13330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16		4cn 11466	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18	1, 7	mulcld 10399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 10399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 10736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
21	10, 20	eqeltrd 2859	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	sqrtcld 14591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
23	14, 22	addcld 10398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24		2cnd 11458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
25	24, 1	mulcld 10399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26		2ne0 11491	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
28	24, 1, 27, 3	mulne0d 11030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
29	23, 25, 28	divcld 11154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
30	14, 22	subcld 10736	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
31	30, 25, 28	divcld 11154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32		euoreqb 42155	. . 3 ⊢ ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
33	29, 31, 32	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
34	14, 22, 25, 28	divdird 11192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
35	14, 22, 25, 28	divsubdird 11193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
36	14, 25, 28	divcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	22, 25, 28	divcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
38	36, 37	negsubd 10742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
39	22, 25, 28	divnegd 11167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 6940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
42	34, 41	eqeq12d 2793	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
43	22	negcld 10723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
44	43, 25, 28	divcld 11154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
45	36, 37, 44	addcand 10581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46		div11 11064	. . . . 5 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
47	22, 43, 25, 28, 46	syl112anc 1442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
48	22	eqnegd 11099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49		cnsqrt00 14546	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
50	21, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
51	48, 50	bitrd 271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
52	45, 47, 51	3bitrd 297	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
53	42, 52	bitrd 271	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
54	13, 33, 53	3bitrd 297	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∃!wreu 3092  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  0cc0 10274   + caddc 10277   · cmul 10279   − cmin 10608  -cneg 10609   / cdiv 11035  2c2 11435  4c4 11437  ↑cexp 13183  √csqrt 14386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-sup 8638  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389

This theorem is referenced by: (None)