Theorem quad1 47494

Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad1	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		quad1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5		quad1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		quad1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		quad1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	quad 26901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
13	12	reubidva 3404	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
14	5	negcld 11634	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
15	5	sqcld 14194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16		4cn 12378	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18	1, 7	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 11647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
21	10, 20	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	sqrtcld 15486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
23	14, 22	addcld 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24		2cnd 12371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
25	24, 1	mulcld 11310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26		2ne0 12397	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
28	24, 1, 27, 3	mulne0d 11942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
29	23, 25, 28	divcld 12070	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
30	14, 22	subcld 11647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
31	30, 25, 28	divcld 12070	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32		euoreqb 47024	. . 3 ⊢ ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
33	29, 31, 32	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
34	14, 22, 25, 28	divdird 12108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
35	14, 22, 25, 28	divsubdird 12109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
36	14, 25, 28	divcld 12070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	22, 25, 28	divcld 12070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
38	36, 37	negsubd 11653	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
39	22, 25, 28	divnegd 12083	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr2d 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
42	34, 41	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
43	22	negcld 11634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
44	43, 25, 28	divcld 12070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
45	36, 37, 44	addcand 11493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46		div11 11977	. . . . 5 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
47	22, 43, 25, 28, 46	syl112anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
48	22	eqnegd 12015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49		cnsqrt00 15441	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
50	21, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
51	48, 50	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
52	45, 47, 51	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
53	42, 52	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
54	13, 33, 53	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃!wreu 3386  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  2c2 12348  4c4 12350  ↑cexp 14112  √csqrt 15282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285

This theorem is referenced by: (None)