Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  quad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quad1 47607
Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
quad1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
quad1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
quad1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1
StepHypRef Expression
1 quad1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 quad1.z . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5 quad1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 quad1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10 quad1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
122, 4, 6, 8, 9, 11quad 26883 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
1312reubidva 3396 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
145negcld 11607 . . . . 5 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
155sqcld 14184 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16 4cn 12351 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
181, 7mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
1917, 18mulcld 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
2015, 19subcld 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
2110, 20eqeltrd 2841 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2221sqrtcld 15476 . . . . 5 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
2314, 22addcld 11280 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24 2cnd 12344 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2524, 1mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26 2ne0 12370 . . . . . 6 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2824, 1, 27, 3mulne0d 11915 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
2923, 25, 28divcld 12043 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3014, 22subcld 11620 . . . 4 (𝜑 → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
3130, 25, 28divcld 12043 . . 3 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32 euoreqb 47121 . . 3 ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3329, 31, 32syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
3414, 22, 25, 28divdird 12081 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3514, 22, 25, 28divsubdird 12082 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3614, 25, 28divcld 12043 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3722, 25, 28divcld 12043 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
3836, 37negsubd 11626 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
3922, 25, 28divnegd 12056 . . . . . 6 (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
4039oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4135, 38, 403eqtr2d 2783 . . . 4 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4234, 41eqeq12d 2753 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
4322negcld 11607 . . . . . 6 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
4443, 25, 28divcld 12043 . . . . 5 (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4536, 37, 44addcand 11464 . . . 4 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46 div11 11950 . . . . 5 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4722, 43, 25, 28, 46syl112anc 1376 . . . 4 (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
4822eqnegd 11988 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49 cnsqrt00 15431 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5021, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
5148, 50bitrd 279 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
5245, 47, 513bitrd 305 . . 3 (𝜑 → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
5342, 52bitrd 279 . 2 (𝜑 → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
5413, 33, 533bitrd 305 1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ∃!wreu 3378  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  cexp 14102  csqrt 15272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator