Theorem quad1 48717

Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad1	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		quad1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5		quad1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		quad1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		quad1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	quad 27168	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
13	12	reubidva 3380	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
14	5	negcld 11656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
15	5	sqcld 14287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16		4cn 12428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18	1, 7	mulcld 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 11669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
21	10, 20	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	sqrtcld 15607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
23	14, 22	addcld 11328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24		2cnd 12421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
25	24, 1	mulcld 11329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26		2ne0 12449	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
28	24, 1, 27, 3	mulne0d 11968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
29	23, 25, 28	divcld 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
30	14, 22	subcld 11669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
31	30, 25, 28	divcld 12093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32		euoreqb 48178	. . 3 ⊢ (((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
33	29, 31, 32	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
34	14, 22, 25, 28	divdird 12131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
35	14, 22, 25, 28	divsubdird 12132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
36	14, 25, 28	divcld 12093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	22, 25, 28	divcld 12093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
38	36, 37	negsubd 11675	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
39	22, 25, 28	divnegd 12106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr2d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
42	34, 41	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
43	22	negcld 11656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
44	43, 25, 28	divcld 12093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
45	36, 37, 44	addcand 11513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46		div11 12002	. . . . 5 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
47	22, 43, 25, 28, 46	syl112anc 1401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
48	22	eqnegd 12038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49		cnsqrt00 15560	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
50	21, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
51	48, 50	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
52	45, 47, 51	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
53	42, 52	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
54	13, 33, 53	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃!wreu 3364  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  4c4 12399  ↑cexp 14204  √csqrt 15400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by: (None)