Theorem quad1 48991

Description: A condition for a quadratic equation with complex coefficients to have (exactly) one complex solution. (Contributed by AV, 23-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quad1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quad1.z	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
quad1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quad1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quad1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))

Assertion

Ref	Expression
quad1	⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem quad1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quad1.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		quad1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
5		quad1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		quad1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
10		quad1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
12	2, 4, 6, 8, 9, 11	quad 27225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
13	12	reubidva 3383	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
14	5	negcld 11695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
15	5	sqcld 14327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
16		4cn 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
18	1, 7	mulcld 11368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ)
20	15, 19	subcld 11708	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ)
21	10, 20	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
22	21	sqrtcld 15651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
23	14, 22	addcld 11367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
24		2cnd 12461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
25	24, 1	mulcld 11368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26		2ne0 12489	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
28	24, 1, 27, 3	mulne0d 12008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
29	23, 25, 28	divcld 12133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
30	14, 22	subcld 11708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℂ)
31	30, 25, 28	divcld 12133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
32		euoreqb 48453	. . 3 ⊢ (((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ) → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
33	29, 31, 32	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ (𝑥 = (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
34	14, 22, 25, 28	divdird 12171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
35	14, 22, 25, 28	divsubdird 12172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
36	14, 25, 28	divcld 12133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
37	22, 25, 28	divcld 12133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
38	36, 37	negsubd 11714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
39	22, 25, 28	divnegd 12146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
40	39	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
41	35, 38, 40	3eqtr2d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
42	34, 41	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
43	22	negcld 11695	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
44	43, 25, 28	divcld 12133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
45	36, 37, 44	addcand 11552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
46		div11 12042	. . . . 5 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
47	22, 43, 25, 28, 46	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
48	22	eqnegd 12078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
49		cnsqrt00 15604	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
50	21, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
51	48, 50	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
52	45, 47, 51	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = (( -𝐵 / (2 · 𝐴)) + ( -(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
53	42, 52	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( -𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = (( -𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
54	13, 33, 53	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃!wreu 3367  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  4c4 12439  ↑cexp 14244  √csqrt 15443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446

This theorem is used by: (None)