MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsval2 21641
Description: Characterizing properties of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsval.w π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsval.v 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
evlsval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsval.t 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
evlsval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsval.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evlsval.x 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
evlsval.y π‘Œ = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
evlsval2 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑅   𝑆,𝑔,π‘₯   𝐡,𝑔,π‘₯   𝑅,𝑔   π‘₯,𝑇   𝑔,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑔)   𝑄(π‘₯,𝑔)   𝑇(𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑔)   π‘Š(π‘₯,𝑔)   𝑋(π‘₯,𝑔)   π‘Œ(π‘₯,𝑔)
Proof of Theorem evlsval2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 evlsval.w . . . 4 π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
3 evlsval.v . . . 4 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
4 evlsval.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
5 evlsval.t . . . 4 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
6 evlsval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
7 evlsval.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
8 evlsval.x . . . 4 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
9 evlsval.y . . . 4 π‘Œ = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlsval 21640 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
11 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
12 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
134subrgcrng 20359 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
14133adant1 1130 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
15 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
16 ovex 7438 . . . . . 6 (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V
175pwscrng 20132 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
196subrgss 20356 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
20193ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
2120resmptd 6038 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})))
2221, 8eqtr4di 2790 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) = 𝑋)
23 crngring 20061 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑆 ∈ Ring)
24233ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
25 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
265, 6, 25pwsdiagrhm 20391 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
2724, 16, 26sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
28 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
294resrhm 20385 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3122, 30eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
326fvexi 6902 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
33 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
34 elmapg 8829 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↔ 𝑔:𝐼⟢𝐡))
3532, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↔ 𝑔:𝐼⟢𝐡))
3635biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:𝐼⟢𝐡)
37 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
3836, 37ffvelcdmd 7084 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
3938fmpttd 7111 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡)
40 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
415, 6, 11pwselbasb 17430 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡))
4240, 16, 41sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡))
4339, 42mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
4443, 9fmptd 7110 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘‡))
452, 11, 7, 3, 12, 14, 18, 31, 44evlseu 21637 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ))
46 riotacl2 7378 . . . 4 (βˆƒ!π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ) β†’ (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)) ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)) ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
4810, 47eqeltrd 2833 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
49 coeq1 5855 . . . . 5 (π‘š = 𝑄 β†’ (π‘š ∘ 𝐴) = (𝑄 ∘ 𝐴))
5049eqeq1d 2734 . . . 4 (π‘š = 𝑄 β†’ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ↔ (𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋))
51 coeq1 5855 . . . . 5 (π‘š = 𝑄 β†’ (π‘š ∘ 𝑉) = (𝑄 ∘ 𝑉))
5251eqeq1d 2734 . . . 4 (π‘š = 𝑄 β†’ ((π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ ↔ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ))
5350, 52anbi12d 631 . . 3 (π‘š = 𝑄 β†’ (((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ) ↔ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
5453elrab 3682 . 2 (𝑄 ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)} ↔ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
5548, 54sylib 217 1 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒ!wreu 3374  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169   ↑s cpws 17388  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  SubRingcsubrg 20351  algSccascl 21398   mVar cmvr 21449   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626
This theorem is referenced by:  evlsrhm  21642  evlssca  21643  evlsvar  21644
  Copyright terms: Public domain W3C validator