MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsval2 22050
Description: Characterizing properties of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsval.w π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsval.v 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
evlsval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsval.t 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
evlsval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsval.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evlsval.x 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
evlsval.y π‘Œ = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
evlsval2 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑅   𝑆,𝑔,π‘₯   𝐡,𝑔,π‘₯   𝑅,𝑔   π‘₯,𝑇   𝑔,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑔)   𝑄(π‘₯,𝑔)   𝑇(𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑔)   π‘Š(π‘₯,𝑔)   𝑋(π‘₯,𝑔)   π‘Œ(π‘₯,𝑔)

Proof of Theorem evlsval2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 evlsval.w . . . 4 π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
3 evlsval.v . . . 4 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
4 evlsval.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
5 evlsval.t . . . 4 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
6 evlsval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
7 evlsval.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
8 evlsval.x . . . 4 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
9 evlsval.y . . . 4 π‘Œ = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlsval 22049 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
11 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
12 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
134subrgcrng 20528 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
14133adant1 1127 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
15 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
16 ovex 7459 . . . . . 6 (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V
175pwscrng 20276 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
1815, 16, 17sylancl 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
196subrgss 20525 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
20193ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
2120resmptd 6049 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})))
2221, 8eqtr4di 2786 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) = 𝑋)
23 crngring 20199 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑆 ∈ Ring)
24233ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
25 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
265, 6, 25pwsdiagrhm 20560 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
2724, 16, 26sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
28 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
294resrhm 20554 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3122, 30eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
326fvexi 6916 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
33 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
34 elmapg 8866 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↔ 𝑔:𝐼⟢𝐡))
3532, 33, 34sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↔ 𝑔:𝐼⟢𝐡))
3635biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:𝐼⟢𝐡)
37 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
3836, 37ffvelcdmd 7100 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
3938fmpttd 7130 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡)
40 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
415, 6, 11pwselbasb 17479 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡))
4240, 16, 41sylancl 584 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡))
4339, 42mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
4443, 9fmptd 7129 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘‡))
452, 11, 7, 3, 12, 14, 18, 31, 44evlseu 22046 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ))
46 riotacl2 7399 . . . 4 (βˆƒ!π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ) β†’ (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)) ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)) ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
4810, 47eqeltrd 2829 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
49 coeq1 5864 . . . . 5 (π‘š = 𝑄 β†’ (π‘š ∘ 𝐴) = (𝑄 ∘ 𝐴))
5049eqeq1d 2730 . . . 4 (π‘š = 𝑄 β†’ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ↔ (𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋))
51 coeq1 5864 . . . . 5 (π‘š = 𝑄 β†’ (π‘š ∘ 𝑉) = (𝑄 ∘ 𝑉))
5251eqeq1d 2730 . . . 4 (π‘š = 𝑄 β†’ ((π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ ↔ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ))
5350, 52anbi12d 630 . . 3 (π‘š = 𝑄 β†’ (((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ) ↔ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
5453elrab 3684 . 2 (𝑄 ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)} ↔ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
5548, 54sylib 217 1 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ!wreu 3372  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8853  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218   ↑s cpws 17437  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188   RingHom crh 20422  SubRingcsubrg 20520  algSccascl 21800   mVar cmvr 21852   mPoly cmpl 21853   evalSub ces 22033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-srg 20141  df-ring 20189  df-cring 20190  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-assa 21801  df-asp 21802  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-evls 22035
This theorem is referenced by:  evlsrhm  22051  evlssca  22052  evlsvar  22053
  Copyright terms: Public domain W3C validator