MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evlsval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsval2 21992
Description: Characterizing properties of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsval.w π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
evlsval.v 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
evlsval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsval.t 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
evlsval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsval.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
evlsval.x 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
evlsval.y π‘Œ = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
evlsval2 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝑅   𝑆,𝑔,π‘₯   𝐡,𝑔,π‘₯   𝑅,𝑔   π‘₯,𝑇   𝑔,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑔)   𝑄(π‘₯,𝑔)   𝑇(𝑔)   π‘ˆ(π‘₯,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑔)   π‘Š(π‘₯,𝑔)   𝑋(π‘₯,𝑔)   π‘Œ(π‘₯,𝑔)
Proof of Theorem evlsval2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evlsval.q . . . 4 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 evlsval.w . . . 4 π‘Š = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
3 evlsval.v . . . 4 𝑉 = (𝐼 mVar π‘ˆ)
4 evlsval.u . . . 4 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
5 evlsval.t . . . 4 𝑇 = (𝑆 ↑s (𝐡 ↑m 𝐼))
6 evlsval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
7 evlsval.a . . . 4 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
8 evlsval.x . . . 4 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
9 evlsval.y . . . 4 π‘Œ = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlsval 21991 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 = (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
11 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
12 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
134subrgcrng 20477 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
14133adant1 1127 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘ˆ ∈ CRing)
15 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
16 ovex 7438 . . . . . 6 (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V
175pwscrng 20225 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑇 ∈ CRing)
196subrgss 20474 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
20193ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐡)
2120resmptd 6034 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝑅 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})))
2221, 8eqtr4di 2784 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) = 𝑋)
23 crngring 20150 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑆 ∈ Ring)
24233ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
25 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯}))
265, 6, 25pwsdiagrhm 20509 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
2724, 16, 26sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇))
28 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
294resrhm 20503 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) ∈ (𝑆 RingHom 𝑇) ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((𝐡 ↑m 𝐼) Γ— {π‘₯})) β†Ύ 𝑅) ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
3122, 30eqeltrrd 2828 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
326fvexi 6899 . . . . . . . . . . 11 𝐡 ∈ V
33 simpl1 1188 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑍)
34 elmapg 8835 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↔ 𝑔:𝐼⟢𝐡))
3532, 33, 34sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↔ 𝑔:𝐼⟢𝐡))
3635biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ 𝑔:𝐼⟢𝐡)
37 simplr 766 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
3836, 37ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘”β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
3938fmpttd 7110 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡)
40 simpl2 1189 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
415, 6, 11pwselbasb 17443 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CRing ∧ (𝐡 ↑m 𝐼) ∈ V) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡))
4240, 16, 41sylancl 585 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡) ↔ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)):(𝐡 ↑m 𝐼)⟢𝐡))
4339, 42mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (π‘”β€˜π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘‡))
4443, 9fmptd 7109 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ π‘Œ:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘‡))
452, 11, 7, 3, 12, 14, 18, 31, 44evlseu 21988 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ βˆƒ!π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ))
46 riotacl2 7378 . . . 4 (βˆƒ!π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ) β†’ (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)) ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (β„©π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇)((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)) ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
4810, 47eqeltrd 2827 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ 𝑄 ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)})
49 coeq1 5851 . . . . 5 (π‘š = 𝑄 β†’ (π‘š ∘ 𝐴) = (𝑄 ∘ 𝐴))
5049eqeq1d 2728 . . . 4 (π‘š = 𝑄 β†’ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ↔ (𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋))
51 coeq1 5851 . . . . 5 (π‘š = 𝑄 β†’ (π‘š ∘ 𝑉) = (𝑄 ∘ 𝑉))
5251eqeq1d 2728 . . . 4 (π‘š = 𝑄 β†’ ((π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ ↔ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ))
5350, 52anbi12d 630 . . 3 (π‘š = 𝑄 β†’ (((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ) ↔ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
5453elrab 3678 . 2 (𝑄 ∈ {π‘š ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∣ ((π‘š ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (π‘š ∘ 𝑉) = π‘Œ)} ↔ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
5548, 54sylib 217 1 ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†)) β†’ (𝑄 ∈ (π‘Š RingHom 𝑇) ∧ ((𝑄 ∘ 𝐴) = 𝑋 ∧ (𝑄 ∘ 𝑉) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ!wreu 3368  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182   ↑s cpws 17401  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  SubRingcsubrg 20469  algSccascl 21747   mVar cmvr 21799   mPoly cmpl 21800   evalSub ces 21975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-evls 21977
This theorem is referenced by:  evlsrhm  21993  evlssca  21994  evlsvar  21995
  Copyright terms: Public domain W3C validator