Theorem selvcllem2 42573

Description: 𝐷 is a ring homomorphism. (Contributed by SN, 15-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvcllem2.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcllem2.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvcllem2.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
selvcllem2.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
selvcllem2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcllem2.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
selvcllem2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
selvcllem2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))

Proof of Theorem selvcllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvcllem2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈))
2		selvcllem2.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		selvcllem2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
4		selvcllem2.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		selvcllem2.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
6		selvcllem2.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7	2, 3, 4, 5, 6	selvcllem1 42572	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ AssAlg)
8		selvcllem2.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑇)
9		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
10	8, 9	asclrhm 21806	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ AssAlg → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
12	2	mplassa 21938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑈 ∈ AssAlg)
13	4, 6, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)
14	3, 5, 13	mplsca 21929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Scalar‘𝑇))
15	14	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 RingHom 𝑇) = ((Scalar‘𝑇) RingHom 𝑇))
16	11, 15	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇))
17		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
18		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
19	17, 18	asclrhm 21806	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ AssAlg → (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈))
20	13, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈))
21		rhmco 20417	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑈 RingHom 𝑇) ∧ (algSc‘𝑈) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑈)) → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
22	16, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
23	2, 4, 6	mplsca 21929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑈))
24	23	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 RingHom 𝑇) = ((Scalar‘𝑈) RingHom 𝑇))
25	22, 24	eleqtrrd 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
26	1, 25	eqeltrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Scalarcsca 17230  CRingccrg 20150   RingHom crh 20385  AssAlgcasa 21766  algSccascl 21768   mPoly cmpl 21822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-assa 21769  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mpl 21827

This theorem is referenced by:  selvcllem3  42574  selvcllem4  42576  selvadd  42583  selvmul  42584