Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  selvcllem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem selvcllem2 41712
Description: 𝐷 is a ring homomorphism. (Contributed by SN, 15-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
selvcllem2.u π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvcllem2.t 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
selvcllem2.c 𝐢 = (algScβ€˜π‘‡)
selvcllem2.d 𝐷 = (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))
selvcllem2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
selvcllem2.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
selvcllem2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
selvcllem2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
Proof of Theorem selvcllem2
StepHypRef Expression
1 selvcllem2.d . 2 𝐷 = (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ))
2 selvcllem2.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 selvcllem2.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐽 mPoly π‘ˆ)
4 selvcllem2.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5 selvcllem2.j . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
6 selvcllem2.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
72, 3, 4, 5, 6selvcllem1 41711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ AssAlg)
8 selvcllem2.c . . . . . . 7 𝐢 = (algScβ€˜π‘‡)
9 eqid 2726 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
108, 9asclrhm 21784 . . . . . 6 (𝑇 ∈ AssAlg β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘‡) RingHom 𝑇))
117, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((Scalarβ€˜π‘‡) RingHom 𝑇))
122mplassa 21923 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
134, 6, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ AssAlg)
143, 5, 13mplsca 21914 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Scalarβ€˜π‘‡))
1514oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ RingHom 𝑇) = ((Scalarβ€˜π‘‡) RingHom 𝑇))
1611, 15eleqtrrd 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇))
17 eqid 2726 . . . . . 6 (algScβ€˜π‘ˆ) = (algScβ€˜π‘ˆ)
18 eqid 2726 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
1917, 18asclrhm 21784 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ AssAlg β†’ (algScβ€˜π‘ˆ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
2013, 19syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘ˆ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ))
21 rhmco 20403 . . . 4 ((𝐢 ∈ (π‘ˆ RingHom 𝑇) ∧ (algScβ€˜π‘ˆ) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom π‘ˆ)) β†’ (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom 𝑇))
2216, 20, 21syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∈ ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom 𝑇))
232, 4, 6mplsca 21914 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
2423oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 RingHom 𝑇) = ((Scalarβ€˜π‘ˆ) RingHom 𝑇))
2522, 24eleqtrrd 2830 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∘ (algScβ€˜π‘ˆ)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
261, 25eqeltrid 2831 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Scalarcsca 17209  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  AssAlgcasa 21745  algSccascl 21747   mPoly cmpl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-assa 21748  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mpl 21805
This theorem is referenced by:  selvcllem3  41713  selvcllem4  41715  selvadd  41722  selvmul  41723
  Copyright terms: Public domain W3C validator