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Theorem funcringcsetcALTV2lem9 47161
Description: Lemma 9 for funcringcsetcALTV2 47162. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcringcsetcALTV2.r 𝑅 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV2.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcringcsetcALTV2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
funcringcsetcALTV2.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcringcsetcALTV2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcringcsetcALTV2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
funcringcsetcALTV2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
Assertion
Ref Expression
funcringcsetcALTV2lem9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘…)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘…)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐢   𝑦,𝐡,π‘₯   𝑦,𝑋   π‘₯,π‘Œ,𝑦   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem9
StepHypRef Expression
1 funcringcsetcALTV2.r . . . . . 6 𝑅 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
2 funcringcsetcALTV2.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 funcringcsetcALTV2.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
43adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
5 eqid 2724 . . . . . 6 (Hom β€˜π‘…) = (Hom β€˜π‘…)
6 simpr1 1191 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 simpr2 1192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
81, 2, 4, 5, 6, 7ringchom 20538 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
98eleq2d 2811 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ) ↔ 𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ)))
10 simpr3 1193 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
111, 2, 4, 5, 7, 10ringchom 20538 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ(Hom β€˜π‘…)𝑍) = (π‘Œ RingHom 𝑍))
1211eleq2d 2811 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘…)𝑍) ↔ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍)))
139, 12anbi12d 630 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘…)𝑍)) ↔ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))))
14 rhmco 20393 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍) ∧ 𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑋 RingHom 𝑍))
1514ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍)) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑋 RingHom 𝑍))
1615adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑋 RingHom 𝑍))
17 fvresi 7163 . . . . . 6 ((𝐾 ∘ 𝐻) ∈ (𝑋 RingHom 𝑍) β†’ (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑍))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑍))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
19 funcringcsetcALTV2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
20 funcringcsetcALTV2.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
21 funcringcsetcALTV2.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (Baseβ€˜π‘₯)))
22 funcringcsetcALTV2.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
231, 19, 2, 20, 3, 21, 22funcringcsetcALTV2lem5 47157 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑍)))
24233adantr2 1167 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑍)))
2524adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (𝑋𝐺𝑍) = ( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑍)))
264adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
27 eqid 2724 . . . . . . 7 (compβ€˜π‘…) = (compβ€˜π‘…)
281, 2, 3ringcbas 20536 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
29 inss1 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∩ Ring) βŠ† π‘ˆ
3028, 29eqsstrdi 4028 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† π‘ˆ)
3130sseld 3973 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3231com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
33323ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
3433impcom 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3534adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3630sseld 3973 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3736com12 32 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ 𝐡 β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
38373ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ))
3938impcom 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4039adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
4130sseld 3973 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ 𝐡 β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
4241com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝐡 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
43423ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ))
4443impcom 407 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
4544adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
47 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
4846, 47rhmf 20377 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) β†’ 𝐻:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
4948ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝐻:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
50 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
5147, 50rhmf 20377 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍) β†’ 𝐾:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘))
5251ad2antll 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝐾:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘))
531, 26, 27, 35, 40, 45, 49, 52ringcco 20542 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘…)𝑍)𝐻) = (𝐾 ∘ 𝐻))
5425, 53fveq12d 6888 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘…)𝑍)𝐻)) = (( I β†Ύ (𝑋 RingHom 𝑍))β€˜(𝐾 ∘ 𝐻)))
55 eqid 2724 . . . . . . 7 (compβ€˜π‘†) = (compβ€˜π‘†)
561, 19, 2, 20, 3, 21funcringcsetcALTV2lem2 47154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
57563ad2antr1 1185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5857adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
591, 19, 2, 20, 3, 21funcringcsetcALTV2lem2 47154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
60593ad2antr2 1186 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
6160adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
621, 19, 2, 20, 3, 21funcringcsetcALTV2lem2 47154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
63623ad2antr3 1187 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
6463adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
651, 19, 2, 20, 3, 21funcringcsetcALTV2lem1 47153 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
66653ad2antr1 1185 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹))
671, 19, 2, 20, 3, 21funcringcsetcALTV2lem1 47153 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
68673ad2antr2 1186 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ))
6966, 68feq23d 6702 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐻:(πΉβ€˜π‘‹)⟢(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ 𝐻:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)))
7069adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (𝐻:(πΉβ€˜π‘‹)⟢(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ 𝐻:(Baseβ€˜π‘‹)⟢(Baseβ€˜π‘Œ)))
7149, 70mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝐻:(πΉβ€˜π‘‹)⟢(πΉβ€˜π‘Œ))
72 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ πœ‘)
73 3simpa 1145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
7473ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
75 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ))
761, 19, 2, 20, 3, 21, 22funcringcsetcALTV2lem6 47158 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
7772, 74, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π») = 𝐻)
7877feq1d 6692 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(πΉβ€˜π‘‹)⟢(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ 𝐻:(πΉβ€˜π‘‹)⟢(πΉβ€˜π‘Œ)))
7971, 78mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»):(πΉβ€˜π‘‹)⟢(πΉβ€˜π‘Œ))
801, 19, 2, 20, 3, 21funcringcsetcALTV2lem1 47153 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘))
81803ad2antr3 1187 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘))
8268, 81feq23d 6702 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾:(πΉβ€˜π‘Œ)⟢(πΉβ€˜π‘) ↔ 𝐾:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘)))
8382adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (𝐾:(πΉβ€˜π‘Œ)⟢(πΉβ€˜π‘) ↔ 𝐾:(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘)))
8452, 83mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝐾:(πΉβ€˜π‘Œ)⟢(πΉβ€˜π‘))
85 3simpc 1147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡))
8685ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡))
87 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))
881, 19, 2, 20, 3, 21, 22funcringcsetcALTV2lem6 47158 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍)) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
8972, 86, 87, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) = 𝐾)
9089feq1d 6692 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(πΉβ€˜π‘Œ)⟢(πΉβ€˜π‘) ↔ 𝐾:(πΉβ€˜π‘Œ)⟢(πΉβ€˜π‘)))
9184, 90mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ ((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ):(πΉβ€˜π‘Œ)⟢(πΉβ€˜π‘))
9219, 26, 55, 58, 61, 64, 79, 91setcco 18035 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
9389, 77coeq12d 5854 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ) ∘ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
9492, 93eqtrd 2764 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)) = (𝐾 ∘ 𝐻))
9518, 54, 943eqtr4d 2774 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘…)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
9695ex 412 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋 RingHom π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ RingHom 𝑍)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘…)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
9713, 96sylbid 239 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘…)𝑍)) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘…)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»))))
98973impia 1114 1 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝐻 ∈ (𝑋(Hom β€˜π‘…)π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (π‘Œ(Hom β€˜π‘…)𝑍))) β†’ ((𝑋𝐺𝑍)β€˜(𝐾(βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©(compβ€˜π‘…)𝑍)𝐻)) = (((π‘ŒπΊπ‘)β€˜πΎ)(⟨(πΉβ€˜π‘‹), (πΉβ€˜π‘Œ)⟩(compβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘))((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π»)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939  βŸ¨cop 4626   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  WUnicwun 10691  Basecbs 17143  Hom chom 17207  compcco 17208  SetCatcsetc 18027  Ringcrg 20128   RingHom crh 20361  RingCatcringc 20531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-wun 10693  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-resc 17757  df-setc 18028  df-estrc 18076  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-grp 18856  df-ghm 19129  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-rhm 20364  df-ringc 20532
This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  47162
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