HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmpj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmpj 29864
Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopidmpj ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (proj‘ran 𝑇))

Proof of Theorem hmopidmpj
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → 𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
2 rneq 5805 . . . 4 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ran 𝑇 = ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
32fveq2d 6673 . . 3 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (proj‘ran 𝑇) = (proj‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
41, 3eqeq12d 2842 . 2 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 = (proj‘ran 𝑇) ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) = (proj‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
5 eleq1 2905 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
61, 1coeq12d 5734 . . . . . . 7 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇𝑇) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
76, 1eqeq12d 2842 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇𝑇) = 𝑇 ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
85, 7anbi12d 630 . . . . 5 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
9 eleq1 2905 . . . . . 6 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
10 id 22 . . . . . . . 8 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
1110, 10coeq12d 5734 . . . . . . 7 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∘ Iop ) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
1211, 10eqeq12d 2842 . . . . . 6 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∘ Iop ) = Iop ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
139, 12anbi12d 630 . . . . 5 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop ) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
14 idhmop 29692 . . . . . 6 Iop ∈ HrmOp
15 hoif 29464 . . . . . . . 8 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
16 f1of 6614 . . . . . . . 8 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 Iop : ℋ⟶ ℋ
1817hoid1i 29499 . . . . . 6 ( Iop ∘ Iop ) = Iop
1914, 18pm3.2i 471 . . . . 5 ( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
208, 13, 19elimhyp 4533 . . . 4 (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
2120simpli 484 . . 3 if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp
2220simpri 486 . . 3 (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )
2321, 22hmopidmpji 29862 . 2 if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) = (proj‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
244, 23dedth 4526 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (proj‘ran 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  ifcif 4470  ran crn 5555  ccom 5558  wf 6350  1-1-ontowf1o 6353  cfv 6354  chba 28629  projcpjh 28647   Iop chio 28654  HrmOpcho 28660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-dc 9862  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611  ax-hilex 28709  ax-hfvadd 28710  ax-hvcom 28711  ax-hvass 28712  ax-hv0cl 28713  ax-hvaddid 28714  ax-hfvmul 28715  ax-hvmulid 28716  ax-hvmulass 28717  ax-hvdistr1 28718  ax-hvdistr2 28719  ax-hvmul0 28720  ax-hfi 28789  ax-his1 28792  ax-his2 28793  ax-his3 28794  ax-his4 28795  ax-hcompl 28912
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-lm 21772  df-t1 21857  df-haus 21858  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-fcls 22484  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-cfil 23792  df-cau 23793  df-cmet 23794  df-grpo 28203  df-gid 28204  df-ginv 28205  df-gdiv 28206  df-ablo 28255  df-vc 28269  df-nv 28302  df-va 28305  df-ba 28306  df-sm 28307  df-0v 28308  df-vs 28309  df-nmcv 28310  df-ims 28311  df-dip 28411  df-ssp 28432  df-lno 28454  df-nmoo 28455  df-blo 28456  df-0o 28457  df-ph 28523  df-cbn 28573  df-hlo 28596  df-hnorm 28678  df-hba 28679  df-hvsub 28681  df-hlim 28682  df-hcau 28683  df-sh 28917  df-ch 28931  df-oc 28962  df-ch0 28963  df-shs 29018  df-pjh 29105  df-h0op 29458  df-iop 29459  df-nmop 29549  df-cnop 29550  df-lnop 29551  df-bdop 29552  df-unop 29553  df-hmop 29554
This theorem is referenced by:  dfpjop  29892  elpjch  29899
  Copyright terms: Public domain W3C validator