Theorem hmopidmpj 32813

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpj	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇))

Proof of Theorem hmopidmpj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → 𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
2		rneq 5930	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ran 𝑇 = ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
3	2	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (projℎ‘ran 𝑇) = (projℎ‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
4	1, 3	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) = (projℎ‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
5		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
6	1, 1	coeq12d 5853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∘ 𝑇) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
7	6, 1	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇 ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
8	5, 7	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
9		eleq1 2852	. . . . . 6 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
10		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
11	10, 10	coeq12d 5853	. . . . . . 7 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∘ Iop ) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
12	11, 10	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∘ Iop ) = Iop ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
13	9, 12	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop ) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
14		idhmop 32641	. . . . . 6 ⊢ Iop ∈ HrmOp
15		hoif 32413	. . . . . . . 8 ⊢ Iop : ℋ⟶1-1onto ℋ
16		f1of 6854	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop : ℋ⟶1-1onto ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Iop : ℋ⟶ ℋ
18	17	hoid1i 32448	. . . . . 6 ⊢ ( Iop ∘ Iop ) = Iop
19	14, 18	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
20	8, 13, 19	elimhyp 4551	. . . 4 ⊢ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
21	20	simpli 489	. . 3 ⊢ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp
22	20	simpri 491	. . 3 ⊢ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )
23	21, 22	hmopidmpji 32811	. 2 ⊢ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) = (projℎ‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
24	4, 23	dedth 4544	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  ran crn 5659   ∘ ccom 5662  ⟶wf 6562  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566   ℋchba 31578  proj_ℎcpjh 31596   I_op chio 31603  HrmOpcho 31609

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-dc 10563  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318  ax-mulf 11319  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr1 31667  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744  ax-hcompl 31861

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-lm 23602  df-t1 23687  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-fcls 24315  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-cfil 25631  df-cau 25632  df-cmet 25633  df-grpo 31152  df-gid 31153  df-ginv 31154  df-gdiv 31155  df-ablo 31204  df-vc 31218  df-nv 31251  df-va 31254  df-ba 31255  df-sm 31256  df-0v 31257  df-vs 31258  df-nmcv 31259  df-ims 31260  df-dip 31360  df-ssp 31381  df-lno 31403  df-nmoo 31404  df-blo 31405  df-0o 31406  df-ph 31472  df-cbn 31522  df-hlo 31545  df-hnorm 31627  df-hba 31628  df-hvsub 31630  df-hlim 31631  df-hcau 31632  df-sh 31866  df-ch 31880  df-oc 31911  df-ch0 31912  df-shs 31967  df-pjh 32054  df-h0op 32407  df-iop 32408  df-nmop 32498  df-cnop 32499  df-lnop 32500  df-bdop 32501  df-unop 32502  df-hmop 32503

This theorem is used by:  dfpjop  32841  elpjch  32848