Theorem hmopidmpj 32354

Description: An idempotent Hermitian operator is a projection operator. Theorem 26.4 of [Halmos] p. 44. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopidmpj	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇))

Proof of Theorem hmopidmpj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → 𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
2		rneq 5912	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ran 𝑇 = ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
3	2	fveq2d 6871	. . 3 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (projℎ‘ran 𝑇) = (projℎ‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
4	1, 3	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇) ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) = (projℎ‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
5		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
6	1, 1	coeq12d 5836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∘ 𝑇) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
7	6, 1	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇 ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
8	5, 7	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
9		eleq1 2850	. . . . . 6 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
10		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
11	10, 10	coeq12d 5836	. . . . . . 7 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∘ Iop ) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
12	11, 10	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∘ Iop ) = Iop ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
13	9, 12	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop ) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
14		idhmop 32182	. . . . . 6 ⊢ Iop ∈ HrmOp
15		hoif 31954	. . . . . . . 8 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
16		f1of 6806	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Iop : ℋ⟶ ℋ
18	17	hoid1i 31989	. . . . . 6 ⊢ ( Iop ∘ Iop ) = Iop
19	14, 18	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ ( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
20	8, 13, 19	elimhyp 4546	. . . 4 ⊢ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
21	20	simpli 487	. . 3 ⊢ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp
22	20	simpri 489	. . 3 ⊢ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )
23	21, 22	hmopidmpji 32352	. 2 ⊢ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) = (projℎ‘ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
24	4, 23	dedth 4539	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → 𝑇 = (projℎ‘ran 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ifcif 4480  ran crn 5648   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6517  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521   ℋchba 31119  proj_ℎcpjh 31137   I_op chio 31144  HrmOpcho 31150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-dc 10403  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153  ax-hilex 31199  ax-hfvadd 31200  ax-hvcom 31201  ax-hvass 31202  ax-hv0cl 31203  ax-hvaddid 31204  ax-hfvmul 31205  ax-hvmulid 31206  ax-hvmulass 31207  ax-hvdistr1 31208  ax-hvdistr2 31209  ax-hvmul0 31210  ax-hfi 31279  ax-his1 31282  ax-his2 31283  ax-his3 31284  ax-his4 31285  ax-hcompl 31402

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-lm 23286  df-t1 23371  df-haus 23372  df-cmp 23444  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-fcls 23998  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-cfil 25314  df-cau 25315  df-cmet 25316  df-grpo 30693  df-gid 30694  df-ginv 30695  df-gdiv 30696  df-ablo 30745  df-vc 30759  df-nv 30792  df-va 30795  df-ba 30796  df-sm 30797  df-0v 30798  df-vs 30799  df-nmcv 30800  df-ims 30801  df-dip 30901  df-ssp 30922  df-lno 30944  df-nmoo 30945  df-blo 30946  df-0o 30947  df-ph 31013  df-cbn 31063  df-hlo 31086  df-hnorm 31168  df-hba 31169  df-hvsub 31171  df-hlim 31172  df-hcau 31173  df-sh 31407  df-ch 31421  df-oc 31452  df-ch0 31453  df-shs 31508  df-pjh 31595  df-h0op 31948  df-iop 31949  df-nmop 32039  df-cnop 32040  df-lnop 32041  df-bdop 32042  df-unop 32043  df-hmop 32044

This theorem is referenced by:  dfpjop  32382  elpjch  32389