HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmch 29334
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hmopidmch ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇) → ran 𝑇C )

Proof of Theorem hmopidmch
StepHypRef Expression
1 rneq 5546 . . 3 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ran 𝑇 = ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
21eleq1d 2866 . 2 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (ran 𝑇C ↔ ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ C ))
3 eleq1 2869 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
4 id 22 . . . . . . . 8 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → 𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
54, 4coeq12d 5482 . . . . . . 7 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇𝑇) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
65, 4eqeq12d 2817 . . . . . 6 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇𝑇) = 𝑇 ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
73, 6anbi12d 618 . . . . 5 (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
8 eleq1 2869 . . . . . 6 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
9 id 22 . . . . . . . 8 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
109, 9coeq12d 5482 . . . . . . 7 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∘ Iop ) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
1110, 9eqeq12d 2817 . . . . . 6 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∘ Iop ) = Iop ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
128, 11anbi12d 618 . . . . 5 ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop ) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
13 idhmop 29163 . . . . . 6 Iop ∈ HrmOp
14 hoif 28935 . . . . . . . 8 Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
15 f1of 6347 . . . . . . . 8 ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 Iop : ℋ⟶ ℋ
1716hoid1i 28970 . . . . . 6 ( Iop ∘ Iop ) = Iop
1813, 17pm3.2i 458 . . . . 5 ( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
197, 12, 18elimhyp 4336 . . . 4 (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
2019simpli 472 . . 3 if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp
2119simpri 475 . . 3 (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )
2220, 21hmopidmchi 29332 . 2 ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ C
232, 22dedth 4329 1 ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇𝑇) = 𝑇) → ran 𝑇C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  ifcif 4273  ran crn 5306  ccom 5309  wf 6091  1-1-ontowf1o 6094  chil 28098   C cch 28108   Iop chio 28123  HrmOpcho 28129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779  ax-cc 9536  ax-dc 9547  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-pre-sup 10293  ax-addf 10294  ax-mulf 10295  ax-hilex 28178  ax-hfvadd 28179  ax-hvcom 28180  ax-hvass 28181  ax-hv0cl 28182  ax-hvaddid 28183  ax-hfvmul 28184  ax-hvmulid 28185  ax-hvmulass 28186  ax-hvdistr1 28187  ax-hvdistr2 28188  ax-hvmul0 28189  ax-hfi 28258  ax-his1 28261  ax-his2 28262  ax-his3 28263  ax-his4 28264  ax-hcompl 28381
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-se 5265  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-isom 6104  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-supp 7524  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-2o 7791  df-oadd 7794  df-omul 7795  df-er 7973  df-map 8088  df-pm 8089  df-ixp 8140  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-fsupp 8509  df-fi 8550  df-sup 8581  df-inf 8582  df-oi 8648  df-card 9042  df-acn 9045  df-cda 9269  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-div 10964  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-7 11363  df-8 11364  df-9 11365  df-n0 11554  df-z 11638  df-dec 11754  df-uz 11899  df-q 12002  df-rp 12041  df-xneg 12156  df-xadd 12157  df-xmul 12158  df-ioo 12391  df-ico 12393  df-icc 12394  df-fz 12544  df-fzo 12684  df-fl 12811  df-seq 13019  df-exp 13078  df-hash 13332  df-cj 14056  df-re 14057  df-im 14058  df-sqrt 14192  df-abs 14193  df-clim 14436  df-rlim 14437  df-sum 14634  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-starv 16162  df-sca 16163  df-vsca 16164  df-ip 16165  df-tset 16166  df-ple 16167  df-ds 16169  df-unif 16170  df-hom 16171  df-cco 16172  df-rest 16282  df-topn 16283  df-0g 16301  df-gsum 16302  df-topgen 16303  df-pt 16304  df-prds 16307  df-xrs 16361  df-qtop 16366  df-imas 16367  df-xps 16369  df-mre 16445  df-mrc 16446  df-acs 16448  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17945  df-cmn 18390  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20906  df-topon 20923  df-topsp 20945  df-bases 20958  df-cld 21031  df-ntr 21032  df-cls 21033  df-nei 21110  df-cn 21239  df-cnp 21240  df-lm 21241  df-t1 21326  df-haus 21327  df-cmp 21398  df-tx 21573  df-hmeo 21766  df-fil 21857  df-fm 21949  df-flim 21950  df-flf 21951  df-fcls 21952  df-xms 22332  df-ms 22333  df-tms 22334  df-cncf 22888  df-cfil 23259  df-cau 23260  df-cmet 23261  df-grpo 27670  df-gid 27671  df-ginv 27672  df-gdiv 27673  df-ablo 27722  df-vc 27736  df-nv 27769  df-va 27772  df-ba 27773  df-sm 27774  df-0v 27775  df-vs 27776  df-nmcv 27777  df-ims 27778  df-dip 27878  df-ssp 27899  df-lno 27921  df-nmoo 27922  df-blo 27923  df-0o 27924  df-ph 27990  df-cbn 28041  df-hlo 28064  df-hnorm 28147  df-hba 28148  df-hvsub 28150  df-hlim 28151  df-hcau 28152  df-sh 28386  df-ch 28400  df-oc 28431  df-ch0 28432  df-shs 28489  df-pjh 28576  df-h0op 28929  df-iop 28930  df-nmop 29020  df-cnop 29021  df-lnop 29022  df-bdop 29023  df-unop 29024  df-hmop 29025
This theorem is referenced by:  dfpjop  29363  elpjch  29370
  Copyright terms: Public domain W3C validator