Theorem hmopidmch 32760

Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 24-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopidmch	⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → ran 𝑇 ∈ Cℋ )

Proof of Theorem hmopidmch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5917	. . 3 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ran 𝑇 = ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
2	1	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (ran 𝑇 ∈ Cℋ ↔ ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ Cℋ ))
3		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
4		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → 𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
5	4, 4	coeq12d 5841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (𝑇 ∘ 𝑇) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
6	5, 4	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇 ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
7	3, 6	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
8		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∈ HrmOp ↔ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp))
9		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
10	9, 9	coeq12d 5841	. . . . . . 7 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → ( Iop ∘ Iop ) = (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
11	10, 9	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∘ Iop ) = Iop ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )))
12	8, 11	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ( Iop = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) → (( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop ) ↔ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))))
13		idhmop 32589	. . . . . 6 ⊢ Iop ∈ HrmOp
14		hoif 32361	. . . . . . . 8 ⊢ Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ
15		f1of 6824	. . . . . . . 8 ⊢ ( Iop : ℋ–1-1-onto→ ℋ → Iop : ℋ⟶ ℋ)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Iop : ℋ⟶ ℋ
17	16	hoid1i 32396	. . . . . 6 ⊢ ( Iop ∘ Iop ) = Iop
18	13, 17	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ( Iop ∈ HrmOp ∧ ( Iop ∘ Iop ) = Iop )
19	7, 12, 18	elimhyp 4547	. . . 4 ⊢ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp ∧ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ))
20	19	simpli 489	. . 3 ⊢ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ HrmOp
21	19	simpri 491	. . 3 ⊢ (if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∘ if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )) = if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop )
22	20, 21	hmopidmchi 32758	. 2 ⊢ ran if((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇), 𝑇, Iop ) ∈ Cℋ
23	2, 22	dedth 4540	1 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇) → ran 𝑇 ∈ Cℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ran crn 5651   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537   ℋchba 31526   C_ℋ cch 31536   I_op chio 31551  HrmOpcho 31557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cc 10516  ax-dc 10527  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hvcom 31608  ax-hvass 31609  ax-hv0cl 31610  ax-hvaddid 31611  ax-hfvmul 31612  ax-hvmulid 31613  ax-hvmulass 31614  ax-hvdistr1 31615  ax-hvdistr2 31616  ax-hvmul0 31617  ax-hfi 31686  ax-his1 31689  ax-his2 31690  ax-his3 31691  ax-his4 31692  ax-hcompl 31809

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-lm 23552  df-t1 23637  df-haus 23638  df-cmp 23710  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-fcls 24265  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-cfil 25581  df-cau 25582  df-cmet 25583  df-grpo 31100  df-gid 31101  df-ginv 31102  df-gdiv 31103  df-ablo 31152  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-vs 31206  df-nmcv 31207  df-ims 31208  df-dip 31308  df-ssp 31329  df-lno 31351  df-nmoo 31352  df-blo 31353  df-0o 31354  df-ph 31420  df-cbn 31470  df-hlo 31493  df-hnorm 31575  df-hba 31576  df-hvsub 31578  df-hlim 31579  df-hcau 31580  df-sh 31814  df-ch 31828  df-oc 31859  df-ch0 31860  df-shs 31915  df-pjh 32002  df-h0op 32355  df-iop 32356  df-nmop 32446  df-cnop 32447  df-lnop 32448  df-bdop 32449  df-unop 32450  df-hmop 32451

This theorem is used by:  dfpjop  32789  elpjch  32796