Theorem rpexp1i 16691

Description: Relative primality passes to asymmetric powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpexp1i	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))

Proof of Theorem rpexp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12437	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2		rpexp 16690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
3	2	biimprd 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
4	3	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
5		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
6	5	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴↑𝑀) = (𝐴↑0))
7		zcn 12527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	exp0d 14100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴↑0) = 1)
10	6, 9	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴↑𝑀) = 1)
11	10	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = (1 gcd 𝐵))
12		1gcd 16500	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (1 gcd 𝐵) = 1)
13	12	ad2antlr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (1 gcd 𝐵) = 1)
14	11, 13	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1)
15	14	a1d 25	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
16	4, 15	jaodan 965	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
17	1, 16	sylan2b 600	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))
18	17	3impa 1115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐴↑𝑀) gcd 𝐵) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ↑cexp 14021   gcd cgcd 16461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639

This theorem is referenced by:  rpexp12i  16692  gexexlem  19825  ablfac1lem  20043  ablfac1eu  20048  pgpfac1lem2  20050  2logb9irr  26784  perfectlem1  27217  perfectlem2  27218  rpvmasumlem  27475  dchrisum0flblem2  27497  aks6d1c1  42608  perfectALTVlem1  48219  perfectALTVlem2  48220