Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnmval 36685
Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmval ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
21rrnval 36684 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
323ad2ant1 1134 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
4 fveq1 6888 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑘) = (𝐹𝑘))
5 fveq1 6888 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐺 → (𝑦𝑘) = (𝐺𝑘))
64, 5oveqan12d 7425 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
76oveq1d 7421 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
87sumeq2sdv 15647 . . . 4 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
98fveq2d 6893 . . 3 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
109adantl 483 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
11 simp2 1138 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
12 simp3 1139 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
13 fvexd 6904 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
143, 10, 11, 12, 13ovmpod 7557 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cfv 6541  (class class class)co 7406  cmpo 7408  m cmap 8817  Fincfn 8936  cr 11106  cmin 11441  2c2 12264  cexp 14024  csqrt 15177  Σcsu 15629  ncrrn 36682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-sum 15630  df-rrn 36683
This theorem is referenced by:  rrnmet  36686  rrndstprj1  36687  rrndstprj2  36688  rrncmslem  36689  ismrer1  36695
  Copyright terms: Public domain W3C validator