Theorem rrnmval 36999

Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
rrnmval	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹

Proof of Theorem rrnmval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnval.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	rrnval 36998	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (ℝn‘𝐼) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2))))
4		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑥‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
5		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐺 → (𝑦‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
6	4, 5	oveqan12d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) → ((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
7	6	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) → (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
8	7	sumeq2sdv 15654	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
9	8	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 = 𝐹 ∧ 𝑦 = 𝐺)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑥‘𝑘) − (𝑦‘𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
11		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑋)
12		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ 𝑋)
13		fvexd 6906	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) ∈ V)
14	3, 10, 11, 12, 13	ovmpod 7562	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℝcr 11111   − cmin 11448  2c2 12271  ↑cexp 14031  √csqrt 15184  Σcsu 15636  ℝⁿcrrn 36996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-sum 15637  df-rrn 36997

This theorem is referenced by:  rrnmet  37000  rrndstprj1  37001  rrndstprj2  37002  rrncmslem  37003  ismrer1  37009