Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnmval 35417
 Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmval ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
21rrnval 35416 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
323ad2ant1 1130 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
4 fveq1 6654 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑘) = (𝐹𝑘))
5 fveq1 6654 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐺 → (𝑦𝑘) = (𝐺𝑘))
64, 5oveqan12d 7164 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
76oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
87sumeq2sdv 15073 . . . 4 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
98fveq2d 6659 . . 3 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
109adantl 485 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
11 simp2 1134 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
12 simp3 1135 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
13 fvexd 6670 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
143, 10, 11, 12, 13ovmpod 7292 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147   ↑m cmap 8407  Fincfn 8510  ℝcr 10543   − cmin 10877  2c2 11698  ↑cexp 13445  √csqrt 14604  Σcsu 15054  ℝncrrn 35414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-seq 13385  df-exp 13446  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-sum 15055  df-rrn 35415 This theorem is referenced by:  rrnmet  35418  rrndstprj1  35419  rrndstprj2  35420  rrncmslem  35421  ismrer1  35427
 Copyright terms: Public domain W3C validator