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Theorem rrndstprj2 37212
Description: Bound on the distance between two points in Euclidean space given bounds on the distances in each coordinate. This theorem and rrndstprj1 37211 can be used to show that the supremum norm and Euclidean norm are equivalent. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrndstprj2 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑀   𝑅,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem rrndstprj2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
21eldifad 3955 . . 3 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
3 simpl2 1189 . . 3 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
4 simpl3 1190 . . 3 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
5 rrnval.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
65rrnmval 37209 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
72, 3, 4, 6syl3anc 1368 . 2 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
8 eldifsni 4788 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
91, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
103, 5eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
1312ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
144, 5eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
15 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1813, 17resubcld 11646 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1918resqcld 14095 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
20 simprl 768 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpred 13022 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
2221resqcld 14095 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
2322adantr 480 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅↑2) ∈ ℝ)
24 absresq 15255 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))↑2) = (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
2518, 24syl 17 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))↑2) = (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
26 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
2726remetdval 24660 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝑀(πΊβ€˜π‘˜)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))))
2813, 17, 27syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝑀(πΊβ€˜π‘˜)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))))
29 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)
30 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
31 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
3230, 31oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝑀(πΊβ€˜π‘˜)))
3332breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅 ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝑀(πΊβ€˜π‘˜)) < 𝑅))
3433rspccva 3605 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝑀(πΊβ€˜π‘˜)) < 𝑅)
3529, 34sylan 579 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝑀(πΊβ€˜π‘˜)) < 𝑅)
3628, 35eqbrtrrd 5165 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))) < 𝑅)
3718recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
3837abscld 15389 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
3921adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
4037absge0d 15397 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))))
4120rpge0d 13026 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
4241adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ 𝑅)
4338, 39, 40, 42lt2sqd 14224 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))) < 𝑅 ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))↑2) < (𝑅↑2)))
4436, 43mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)))↑2) < (𝑅↑2))
4525, 44eqbrtrrd 5165 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) < (𝑅↑2))
462, 9, 19, 23, 45fsumlt 15752 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) < Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅↑2))
472, 19fsumrecl 15686 . . . . 5 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
4818sqge0d 14107 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
492, 19, 48fsumge0 15747 . . . . 5 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
50 resqrtth 15208 . . . . 5 ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
5147, 49, 50syl2anc 583 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
52 hashnncl 14331 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
532, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
549, 53mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•)
5554nnrpd 13020 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
5655rpred 13022 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
5755rpge0d 13026 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
58 resqrtth 15208 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))↑2) = (β™―β€˜πΌ))
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))↑2) = (β™―β€˜πΌ))
6059oveq2d 7421 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((𝑅↑2) Β· ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))↑2)) = ((𝑅↑2) Β· (β™―β€˜πΌ)))
6122recnd 11246 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (𝑅↑2) ∈ β„‚)
6255rpcnd 13024 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„‚)
6361, 62mulcomd 11239 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((𝑅↑2) Β· (β™―β€˜πΌ)) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝑅↑2)))
6460, 63eqtrd 2766 . . . . 5 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((𝑅↑2) Β· ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))↑2)) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝑅↑2)))
6520rpcnd 13024 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
6655rpsqrtcld 15364 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ+)
6766rpcnd 13024 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ β„‚)
6865, 67sqmuld 14128 . . . . 5 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))↑2) = ((𝑅↑2) Β· ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))↑2)))
69 fsumconst 15742 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑅↑2) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅↑2) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝑅↑2)))
702, 61, 69syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅↑2) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝑅↑2)))
7164, 68, 703eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅↑2))
7246, 51, 713brtr4d 5173 . . 3 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) < ((𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))↑2))
7347, 49resqrtcld 15370 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
7420, 66rpmulcld 13038 . . . . 5 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ+)
7574rpred 13022 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
7647, 49sqrtge0d 15373 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
7774rpge0d 13026 . . . 4 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ 0 ≀ (𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
7873, 75, 76, 77lt2sqd 14224 . . 3 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) < (𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ↔ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) < ((𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))↑2)))
7972, 78mpbird 257 . 2 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) < (𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
807, 79eqbrtrd 5163 1 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘›)𝑀(πΊβ€˜π‘›)) < 𝑅)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (𝑅 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940  βˆ…c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„+crp 12980  β†‘cexp 14032  β™―chash 14295  βˆšcsqrt 15186  abscabs 15187  Ξ£csu 15638  β„ncrrn 37206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rrn 37207
This theorem is referenced by:  rrncmslem  37213  rrnequiv  37216
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