Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndstprj1 37211
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
98, 3eleqtrdi 2837 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7080 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 11646 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1413resqcld 14095 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
1513sqge0d 14107 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
16 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π΄))
17 fveq2 6885 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π΄))
1816, 17oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
1918oveq1d 7420 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
20 simplr 766 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 15749 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
226, 20ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2311, 20ffvelcdmd 7081 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11646 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
25 absresq 15255 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
2624, 25syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
271, 14fsumrecl 15686 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
281, 14, 15fsumge0 15747 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
29 resqrtth 15208 . . . . 5 ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3027, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3121, 26, 303brtr4d 5173 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2))
3224recnd 11246 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
3332abscld 15389 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
3427, 28resqrtcld 15370 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
3532absge0d 15397 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
3627, 28sqrtge0d 15373 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
3733, 34, 35, 36le2sqd 14225 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2)))
3831, 37mpbird 257 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
39 rrndstprj1.1 . . . 4 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4039remetdval 24660 . . 3 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
4122, 23, 40syl2anc 583 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
423rrnmval 37209 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
43423expb 1117 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
4443adantlr 712 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
4538, 41, 443brtr4d 5173 1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15186  abscabs 15187  Ξ£csu 15638  β„ncrrn 37206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rrn 37207
This theorem is referenced by:  rrncmslem  37213  rrnequiv  37216
  Copyright terms: Public domain W3C validator