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Theorem rrndstprj1 37359
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5 elmapi 8864 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
98, 3eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10 elmapi 8864 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 11670 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
1413resqcld 14119 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
1513sqge0d 14131 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
16 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π΄))
17 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π΄))
1816, 17oveq12d 7433 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))
1918oveq1d 7430 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
20 simplr 767 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 15773 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
226, 20ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2311, 20ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11670 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
25 absresq 15279 . . . . 5 (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
2624, 25syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) = (((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))↑2))
271, 14fsumrecl 15710 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ)
281, 14, 15fsumge0 15771 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
29 resqrtth 15232 . . . . 5 ((Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))
3121, 26, 303brtr4d 5175 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2))
3224recnd 11270 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
3332abscld 15413 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
3427, 28resqrtcld 15394 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ∈ ℝ)
3532absge0d 15421 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
3627, 28sqrtge0d 15397 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
3733, 34, 35, 36le2sqd 14249 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)))↑2) ≀ ((βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2))↑2)))
3831, 37mpbird 256 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ≀ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
39 rrndstprj1.1 . . . 4 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4039remetdval 24721 . . 3 (((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
4122, 23, 40syl2anc 582 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
423rrnmval 37357 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
43423expb 1117 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
4443adantlr 713 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΊβ€˜π‘˜))↑2)))
4538, 41, 443brtr4d 5175 1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)𝑀(πΊβ€˜π΄)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960  β„cr 11135  0cc0 11136   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  2c2 12295  β†‘cexp 14056  βˆšcsqrt 15210  abscabs 15211  Ξ£csu 15662  β„ncrrn 37354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-rrn 37355
This theorem is referenced by:  rrncmslem  37361  rrnequiv  37364
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