Theorem rrndstprj1 37810

Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
rrndstprj1	⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))

Proof of Theorem rrndstprj1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
3		rrnval.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	2, 3	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
9	8, 3	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10		elmapi 8776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 11548	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14032	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
15	13	sqge0d 14044	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
16		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝐴))
17		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝐴))
18	16, 17	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))
19	18	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2))
20		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝐼)
21	1, 14, 15, 19, 20	fsumge1 15704	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
22	6, 20	ffvelcdmd 7019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
23	11, 20	ffvelcdmd 7019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
24	22, 23	resubcld 11548	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
25		absresq 15209	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) = (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2))
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) = (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2))
27	1, 14	fsumrecl 15641	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
28	1, 14, 15	fsumge0 15702	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
29		resqrtth 15162	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
31	21, 26, 30	3brtr4d 5124	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2))
32	24	recnd 11143	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15346	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ℝ)
34	27, 28	resqrtcld 15325	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
35	32	absge0d 15354	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
36	27, 28	sqrtge0d 15328	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
37	33, 34, 35, 36	le2sqd 14164	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2)))
38	31, 37	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
39		rrndstprj1.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
40	39	remetdval 24675	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
41	22, 23, 40	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
42	3	rrnmval 37808	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
43	42	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
44	43	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
45	38, 41, 44	3brtr4d 5124	1 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092   × cxp 5617   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  ℝcr 11008  0cc0 11009   ≤ cle 11150   − cmin 11347  2c2 12183  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  abscabs 15141  Σcsu 15593  ℝⁿcrrn 37805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-rrn 37806

This theorem is referenced by:  rrncmslem  37812  rrnequiv  37815