Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndstprj1 35178
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
42, 3eleqtrdi 2926 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5 elmapi 8418 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
76ffvelrnda 6839 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
98, 3eleqtrdi 2926 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10 elmapi 8418 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6839 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 11060 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
1413resqcld 13612 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1513sqge0d 13613 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
16 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
17 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
1816, 17oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
1918oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
20 simplr 768 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 15148 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
226, 20ffvelrnd 6840 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
2311, 20ffvelrnd 6840 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 11060 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
25 absresq 14658 . . . . 5 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
2624, 25syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
271, 14fsumrecl 15087 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
281, 14, 15fsumge0 15146 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
29 resqrtth 14611 . . . . 5 ((Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3027, 28, 29syl2anc 587 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3121, 26, 303brtr4d 5084 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
3224recnd 10661 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
3332abscld 14792 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
3427, 28resqrtcld 14773 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
3532absge0d 14800 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
3627, 28sqrtge0d 14776 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
3733, 34, 35, 36le2sqd 13621 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
3831, 37mpbird 260 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
39 rrndstprj1.1 . . . 4 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4039remetdval 23390 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4122, 23, 40syl2anc 587 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
423rrnmval 35176 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
43423expb 1117 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4443adantlr 714 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4538, 41, 443brtr4d 5084 1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052   × cxp 5540  cres 5544  ccom 5546  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  m cmap 8396  Fincfn 8499  cr 10528  0cc0 10529  cle 10668  cmin 10862  2c2 11685  cexp 13430  csqrt 14588  abscabs 14589  Σcsu 15038  ncrrn 35173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-rrn 35174
This theorem is referenced by:  rrncmslem  35180  rrnequiv  35183
  Copyright terms: Public domain W3C validator