Theorem rrndstprj1 38581

Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnval.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrndstprj1.1	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
rrndstprj1	⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))

Proof of Theorem rrndstprj1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
3		rrnval.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
4	2, 3	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5		elmapi 8849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7078	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
9	8, 3	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
10		elmapi 8849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7078	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
13	7, 12	resubcld 11667	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	13	resqcld 14190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
15	13	sqge0d 14202	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
16		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝐴))
17		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝐴))
18	16, 17	oveq12d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))
19	18	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) = (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2))
20		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝐼)
21	1, 14, 15, 19, 20	fsumge1 15885	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
22	6, 20	ffvelcdmd 7079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
23	11, 20	ffvelcdmd 7079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
24	22, 23	resubcld 11667	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
25		absresq 15390	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) = (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2))
26	24, 25	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) = (((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))↑2))
27	1, 14	fsumrecl 15821	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℝ)
28	1, 14, 15	fsumge0 15883	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
29		resqrtth 15343	. . . . 5 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
30	27, 28, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))
31	21, 26, 30	3brtr4d 5137	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2))
32	24	recnd 11262	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15527	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ℝ)
34	27, 28	resqrtcld 15506	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
35	32	absge0d 15535	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
36	27, 28	sqrtge0d 15509	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
37	33, 34, 35, 36	le2sqd 14322	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2))↑2)))
38	31, 37	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
39		rrndstprj1.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
40	39	remetdval 25016	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
41	22, 23, 40	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) = (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐺‘𝐴))))
42	3	rrnmval 38579	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
43	42	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
44	43	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))↑2)))
45	38, 41, 44	3brtr4d 5137	1 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝐴)𝑀(𝐺‘𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  Fincfn 8953  ℝcr 11124  0cc0 11125   ≤ cle 11269   − cmin 11466  2c2 12320  ↑cexp 14126  √csqrt 15321  abscabs 15322  Σcsu 15774  ℝⁿcrrn 38576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-ico 13405  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-sum 15775  df-rrn 38577

This theorem is used by:  rrncmslem  38583  rrnequiv  38586