Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rspsnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspsnid 32916
Description: A principal ideal contains the element that generates it. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rspsnid.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rspsnid.k 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rspsnid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}))

Proof of Theorem rspsnid
StepHypRef Expression
1 snssi 4803 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ {𝐺} βŠ† 𝐡)
2 rspsnid.k . . . 4 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
3 rspsnid.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
42, 3rspssid 21080 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} βŠ† 𝐡) β†’ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺}))
51, 4sylan2 592 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺}))
6 snssg 4779 . . 3 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺})))
76adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}) ↔ {𝐺} βŠ† (πΎβ€˜{𝐺})))
85, 7mpbird 257 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ (πΎβ€˜{𝐺}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  {csn 4620  β€˜cfv 6533  Basecbs 17140  Ringcrg 20123  RSpancrsp 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-subg 19035  df-mgp 20025  df-ur 20072  df-ring 20125  df-subrg 20456  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-rsp 21053
This theorem is referenced by:  pidlnz  32919  isprmidlc  32997
  Copyright terms: Public domain W3C validator