Theorem setcthin 46224

Description: A category of sets all of whose objects contain at most one element is thin. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcthin.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
setcthin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcthin.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
setcthin	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Distinct variable group:   𝑈,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑉(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem setcthin

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcthin.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (SetCat‘𝑈) = (SetCat‘𝑈)
3		setcthin.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4	2, 3	setcbas 17709	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(SetCat‘𝑈)))
5		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈)))
6		elequ2 2123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∈ 𝑥 ↔ 𝑝 ∈ 𝑧))
7	6	mobidv 2549	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧))
8		setcthin.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
10		simprr 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	7, 9, 10	rspcdva 3554	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧)
12		mofmo 46062	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧 → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
14	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈))
16		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
17	2, 14, 15, 16, 10	elsetchom 17712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ 𝑓:𝑦⟶𝑧))
18	17	mobidv 2549	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧))
19	13, 18	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧))
20	2	setccat 17716	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
21	3, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
22	4, 5, 19, 21	isthincd 46206	. 2 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ ThinCat)
23	1, 22	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃*wmo 2538  ∀wral 3063  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Hom chom 16899  Catccat 17290  SetCatcsetc 17706  ThinCatcthinc 46188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913  df-cat 17294  df-cid 17295  df-setc 17707  df-thinc 46189

This theorem is referenced by:  setc2othin  46225