Theorem setcthin 50392

Description: A category of sets all of whose objects contain at most one element is thin. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcthin.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
setcthin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcthin.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
setcthin	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Distinct variable group:   𝑈,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑝)   𝐶(𝑥, 𝑝)   𝑉(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem setcthin

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcthin.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (SetCat‘𝑈) = (SetCat‘𝑈)
3		setcthin.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4	2, 3	setcbas 18168	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(SetCat‘𝑈)))
5		eqidd 2761	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈)))
6		elequ2 2160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∈ 𝑥 ↔ 𝑝 ∈ 𝑧))
7	6	mobidv 2574	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧))
8		setcthin.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
10		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	7, 9, 10	rspcdva 3577	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧)
12		mofmo 49776	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧 → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
14	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈))
16		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
17	2, 14, 15, 16, 10	elsetchom 18171	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ 𝑓:𝑦⟶𝑧))
18	17	mobidv 2574	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧))
19	13, 18	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧))
20	2	setccat 18175	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
21	3, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
22	4, 5, 19, 21	isthincd 50363	. 2 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ ThinCat)
23	1, 22	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2562  ∀wral 3076  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Hom chom 17354  Catccat 17753  SetCatcsetc 18165  ThinCatcthinc 50344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-hom 17367  df-cco 17368  df-cat 17757  df-cid 17758  df-setc 18166  df-thinc 50345

This theorem is used by:  setc2othin  50393  setcsnterm  50417