Theorem setcthin 49576

Description: A category of sets all of whose objects contain at most one element is thin. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcthin.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
setcthin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcthin.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
setcthin	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Distinct variable group:   𝑈,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑉(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem setcthin

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcthin.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (SetCat‘𝑈) = (SetCat‘𝑈)
3		setcthin.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4	2, 3	setcbas 17985	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(SetCat‘𝑈)))
5		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈)))
6		elequ2 2126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∈ 𝑥 ↔ 𝑝 ∈ 𝑧))
7	6	mobidv 2544	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧))
8		setcthin.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
10		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	7, 9, 10	rspcdva 3573	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧)
12		mofmo 48957	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧 → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
14	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈))
16		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
17	2, 14, 15, 16, 10	elsetchom 17988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ 𝑓:𝑦⟶𝑧))
18	17	mobidv 2544	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧))
19	13, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧))
20	2	setccat 17992	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
21	3, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
22	4, 5, 19, 21	isthincd 49547	. 2 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ ThinCat)
23	1, 22	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2533  ∀wral 3047  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Hom chom 17172  Catccat 17570  SetCatcsetc 17982  ThinCatcthinc 49528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-setc 17983  df-thinc 49529

This theorem is referenced by:  setc2othin  49577  setcsnterm  49601