Theorem setcthin 50572

Description: A category of sets all of whose objects contain at most one element is thin. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcthin.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
setcthin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcthin.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
setcthin	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Distinct variable group:   𝑈,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑝)   𝐶(𝑥, 𝑝)   𝑉(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem setcthin

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcthin.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (SetCat‘𝑈) = (SetCat‘𝑈)
3		setcthin.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4	2, 3	setcbas 18253	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(SetCat‘𝑈)))
5		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈)))
6		elequ2 2160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∈ 𝑥 ↔ 𝑝 ∈ 𝑧))
7	6	mobidv 2575	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧))
8		setcthin.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
10		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	7, 9, 10	rspcdva 3578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧)
12		mofmo 49956	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧 → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
14	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈))
16		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
17	2, 14, 15, 16, 10	elsetchom 18256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ 𝑓:𝑦⟶𝑧))
18	17	mobidv 2575	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧))
19	13, 18	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧))
20	2	setccat 18260	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
21	3, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
22	4, 5, 19, 21	isthincd 50543	. 2 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ ThinCat)
23	1, 22	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2563  ∀wral 3077  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Hom chom 17439  Catccat 17838  SetCatcsetc 18250  ThinCatcthinc 50524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-setc 18251  df-thinc 50525

This theorem is used by:  setc2othin  50573  setcsnterm  50597