Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setcthin Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem setcthin 47762
Description: A category of sets all of whose objects contain at most one element is thin. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
setcthin.c (πœ‘ β†’ 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ))
setcthin.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
setcthin.x (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒ*𝑝 𝑝 ∈ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
setcthin (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ThinCat)
Distinct variable group:   π‘ˆ,𝑝,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑝)   𝐢(π‘₯,𝑝)   𝑉(π‘₯,𝑝)
Proof of Theorem setcthin
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcthin.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ))
2 eqid 2730 . . . 4 (SetCatβ€˜π‘ˆ) = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
3 setcthin.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
42, 3setcbas 18032 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ)))
5 eqidd 2731 . . 3 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ)))
6 elequ2 2119 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑝 ∈ π‘₯ ↔ 𝑝 ∈ 𝑧))
76mobidv 2541 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒ*𝑝 𝑝 ∈ π‘₯ ↔ βˆƒ*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧))
8 setcthin.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒ*𝑝 𝑝 ∈ π‘₯)
98adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆƒ*𝑝 𝑝 ∈ π‘₯)
10 simprr 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
117, 9, 10rspcdva 3612 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒ*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧)
12 mofmo 47600 . . . . 5 (βˆƒ*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧 β†’ βˆƒ*𝑓 𝑓:π‘¦βŸΆπ‘§)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒ*𝑓 𝑓:π‘¦βŸΆπ‘§)
143adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
15 eqid 2730 . . . . . 6 (Hom β€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ))
16 simprl 767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
172, 14, 15, 16, 10elsetchom 18035 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑦(Hom β€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ))𝑧) ↔ 𝑓:π‘¦βŸΆπ‘§))
1817mobidv 2541 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒ*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom β€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ))𝑧) ↔ βˆƒ*𝑓 𝑓:π‘¦βŸΆπ‘§))
1913, 18mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆƒ*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom β€˜(SetCatβ€˜π‘ˆ))𝑧))
202setccat 18039 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (SetCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
213, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (SetCatβ€˜π‘ˆ) ∈ Cat)
224, 5, 19, 21isthincd 47744 . 2 (πœ‘ β†’ (SetCatβ€˜π‘ˆ) ∈ ThinCat)
231, 22eqeltrd 2831 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ThinCat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒ*wmo 2530  βˆ€wral 3059  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Hom chom 17212  Catccat 17612  SetCatcsetc 18029  ThinCatcthinc 47726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-hom 17225  df-cco 17226  df-cat 17616  df-cid 17617  df-setc 18030  df-thinc 47727
This theorem is referenced by:  setc2othin  47763
  Copyright terms: Public domain W3C validator