Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setcthin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setcthin 47576
Description: A category of sets all of whose objects contain at most one element is thin. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
setcthin.c (𝜑𝐶 = (SetCat‘𝑈))
setcthin.u (𝜑𝑈𝑉)
setcthin.x (𝜑 → ∀𝑥𝑈 ∃*𝑝 𝑝𝑥)
Assertion
Ref Expression
setcthin (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
Distinct variable group:   𝑈,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑉(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem setcthin
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setcthin.c . 2 (𝜑𝐶 = (SetCat‘𝑈))
2 eqid 2733 . . . 4 (SetCat‘𝑈) = (SetCat‘𝑈)
3 setcthin.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
42, 3setcbas 18023 . . 3 (𝜑𝑈 = (Base‘(SetCat‘𝑈)))
5 eqidd 2734 . . 3 (𝜑 → (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈)))
6 elequ2 2122 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
76mobidv 2544 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃*𝑝 𝑝𝑥 ↔ ∃*𝑝 𝑝𝑧))
8 setcthin.x . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑈 ∃*𝑝 𝑝𝑥)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → ∀𝑥𝑈 ∃*𝑝 𝑝𝑥)
10 simprr 772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → 𝑧𝑈)
117, 9, 10rspcdva 3612 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → ∃*𝑝 𝑝𝑧)
12 mofmo 47414 . . . . 5 (∃*𝑝 𝑝𝑧 → ∃*𝑓 𝑓:𝑦𝑧)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓:𝑦𝑧)
143adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → 𝑈𝑉)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈))
16 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → 𝑦𝑈)
172, 14, 15, 16, 10elsetchom 18026 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → (𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ 𝑓:𝑦𝑧))
1817mobidv 2544 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝑦𝑧))
1913, 18mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈𝑧𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧))
202setccat 18030 . . . 4 (𝑈𝑉 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
213, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
224, 5, 19, 21isthincd 47558 . 2 (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ ThinCat)
231, 22eqeltrd 2834 1 (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ∃*wmo 2533  wral 3062  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  Hom chom 17203  Catccat 17603  SetCatcsetc 18020  ThinCatcthinc 47540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-fz 13480  df-struct 17075  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-hom 17216  df-cco 17217  df-cat 17607  df-cid 17608  df-setc 18021  df-thinc 47541
This theorem is referenced by:  setc2othin  47577
  Copyright terms: Public domain W3C validator