Theorem setcthin 49571

Description: A category of sets all of whose objects contain at most one element is thin. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
setcthin.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
setcthin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
setcthin.x	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
setcthin	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Distinct variable group:   𝑈,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑝)   𝐶(𝑥,𝑝)   𝑉(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem setcthin

Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setcthin.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (SetCat‘𝑈))
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (SetCat‘𝑈) = (SetCat‘𝑈)
3		setcthin.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4	2, 3	setcbas 17991	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘(SetCat‘𝑈)))
5		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈)))
6		elequ2 2126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∈ 𝑥 ↔ 𝑝 ∈ 𝑧))
7	6	mobidv 2544	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧))
8		setcthin.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑥)
10		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
11	7, 9, 10	rspcdva 3573	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧)
12		mofmo 48952	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑝 𝑝 ∈ 𝑧 → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧)
14	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑉)
15		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Hom ‘(SetCat‘𝑈)) = (Hom ‘(SetCat‘𝑈))
16		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
17	2, 14, 15, 16, 10	elsetchom 17994	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ 𝑓:𝑦⟶𝑧))
18	17	mobidv 2544	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → (∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧) ↔ ∃*𝑓 𝑓:𝑦⟶𝑧))
19	13, 18	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ 𝑈)) → ∃*𝑓 𝑓 ∈ (𝑦(Hom ‘(SetCat‘𝑈))𝑧))
20	2	setccat 17998	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
21	3, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ Cat)
22	4, 5, 19, 21	isthincd 49542	. 2 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘𝑈) ∈ ThinCat)
23	1, 22	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃*wmo 2533  ∀wral 3047  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Hom chom 17178  Catccat 17576  SetCatcsetc 17988  ThinCatcthinc 49523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-hom 17191  df-cco 17192  df-cat 17580  df-cid 17581  df-setc 17989  df-thinc 49524

This theorem is referenced by:  setc2othin  49572  setcsnterm  49596