Theorem setc2othin 50095

Description: The category (SetCat‘2_o) is thin. A special case of setcthin 50094. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
setc2othin	⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o))
2		2oex 8453	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
4		elpri 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}))
5		0ex 5262	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
6		sneq 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → {𝑦} = {∅})
7	6	eqeq2d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = {𝑦} ↔ 𝑥 = {∅}))
8	5, 7	spcev 3568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ∃𝑦 𝑥 = {𝑦})
9	8	orim2i 923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}) → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
10		mo0sn 49445	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
11	10	biimpri 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}) → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
12	4, 9, 11	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
13		df2o2 8450	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	12, 13	eleq2s 2883	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 2o → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
15	14	rgen 3081	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
17	1, 3, 16	setcthin 50094	. 2 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) ∈ ThinCat)
18	17	mptru 1570	1 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Syntax hints:   ∨ wo 860   = wceq 1563  ⊤wtru 1564  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2567  ∀wral 3079  Vcvv 3457  ∅c0 4288  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6525  2_oc2o 8435  SetCatcsetc 18122  ThinCatcthinc 50046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-hom 17324  df-cco 17325  df-cat 17714  df-cid 17715  df-setc 18123  df-thinc 50047

This theorem is referenced by: (None)