Theorem setc2othin 49459

Description: The category (SetCat‘2_o) is thin. A special case of setcthin 49458. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
setc2othin	⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o))
2		2oex 8448	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
4		elpri 4616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}))
5		0ex 5265	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
6		sneq 4602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → {𝑦} = {∅})
7	6	eqeq2d 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = {𝑦} ↔ 𝑥 = {∅}))
8	5, 7	spcev 3575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ∃𝑦 𝑥 = {𝑦})
9	8	orim2i 910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}) → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
10		mo0sn 48808	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
11	10	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}) → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
13		df2o2 8446	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	12, 13	eleq2s 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 2o → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
15	14	rgen 3047	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
17	1, 3, 16	setcthin 49458	. 2 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) ∈ ThinCat)
18	17	mptru 1547	1 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1540  ⊤wtru 1541  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2532  ∀wral 3045  Vcvv 3450  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594  ‘cfv 6514  2_oc2o 8431  SetCatcsetc 18044  ThinCatcthinc 49410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-setc 18045  df-thinc 49411

This theorem is referenced by: (None)