Theorem setc2othin 49452

Description: The category (SetCat‘2_o) is thin. A special case of setcthin 49451. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
setc2othin	⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o))
2		2oex 8406	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
4		elpri 4603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}))
5		0ex 5249	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
6		sneq 4589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → {𝑦} = {∅})
7	6	eqeq2d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = {𝑦} ↔ 𝑥 = {∅}))
8	5, 7	spcev 3563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ∃𝑦 𝑥 = {𝑦})
9	8	orim2i 910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}) → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
10		mo0sn 48801	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
11	10	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}) → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
13		df2o2 8404	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	12, 13	eleq2s 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 2o → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
15	14	rgen 3046	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
17	1, 3, 16	setcthin 49451	. 2 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) ∈ ThinCat)
18	17	mptru 1547	1 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1540  ⊤wtru 1541  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531  ∀wral 3044  Vcvv 3438  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6486  2_oc2o 8389  SetCatcsetc 18000  ThinCatcthinc 49403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-hom 17203  df-cco 17204  df-cat 17592  df-cid 17593  df-setc 18001  df-thinc 49404

This theorem is referenced by: (None)