Theorem setc2othin 49591

Description: The category (SetCat‘2_o) is thin. A special case of setcthin 49590. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
setc2othin	⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o))
2		2oex 8402	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 2o ∈ V)
4		elpri 4599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}))
5		0ex 5247	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
6		sneq 4585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → {𝑦} = {∅})
7	6	eqeq2d 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = {𝑦} ↔ 𝑥 = {∅}))
8	5, 7	spcev 3557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {∅} → ∃𝑦 𝑥 = {𝑦})
9	8	orim2i 910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}) → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
10		mo0sn 48940	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
11	10	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}) → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
13		df2o2 8400	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
14	12, 13	eleq2s 2851	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 2o → ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
15	14	rgen 3050	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
17	1, 3, 16	setcthin 49590	. 2 ⊢ (⊤ → (SetCat‘2o) ∈ ThinCat)
18	17	mptru 1548	1 ⊢ (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Syntax hints:   ∨ wo 847   = wceq 1541  ⊤wtru 1542  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃*wmo 2535  ∀wral 3048  Vcvv 3437  ∅c0 4282  {csn 4575  {cpr 4577  ‘cfv 6486  2_oc2o 8385  SetCatcsetc 17984  ThinCatcthinc 49542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-hom 17187  df-cco 17188  df-cat 17576  df-cid 17577  df-setc 17985  df-thinc 49543

This theorem is referenced by: (None)