Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setc2othin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setc2othin 48113
Description: The category (SetCat‘2o) is thin. A special case of setcthin 48112. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
setc2othin (SetCat‘2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2728 . . 3 (⊤ → (SetCat‘2o) = (SetCat‘2o))
2 2oex 8502 . . . 4 2o ∈ V
32a1i 11 . . 3 (⊤ → 2o ∈ V)
4 elpri 4653 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}))
5 0ex 5309 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
6 sneq 4640 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → {𝑦} = {∅})
76eqeq2d 2738 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → (𝑥 = {𝑦} ↔ 𝑥 = {∅}))
85, 7spcev 3593 . . . . . . . 8 (𝑥 = {∅} → ∃𝑦 𝑥 = {𝑦})
98orim2i 908 . . . . . . 7 ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {∅}) → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
10 mo0sn 47937 . . . . . . . 8 (∃*𝑧 𝑧𝑥 ↔ (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}))
1110biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑥 = {𝑦}) → ∃*𝑧 𝑧𝑥)
124, 9, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {∅, {∅}} → ∃*𝑧 𝑧𝑥)
13 df2o2 8500 . . . . . 6 2o = {∅, {∅}}
1412, 13eleq2s 2846 . . . . 5 (𝑥 ∈ 2o → ∃*𝑧 𝑧𝑥)
1514rgen 3059 . . . 4 𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧𝑥
1615a1i 11 . . 3 (⊤ → ∀𝑥 ∈ 2o ∃*𝑧 𝑧𝑥)
171, 3, 16setcthin 48112 . 2 (⊤ → (SetCat‘2o) ∈ ThinCat)
1817mptru 1540 1 (SetCat‘2o) ∈ ThinCat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 845   = wceq 1533  wtru 1534  wex 1773  wcel 2098  ∃*wmo 2527  wral 3057  Vcvv 3471  c0 4324  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6551  2oc2o 8485  SetCatcsetc 18069  ThinCatcthinc 48076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-struct 17121  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-hom 17262  df-cco 17263  df-cat 17653  df-cid 17654  df-setc 18070  df-thinc 48077
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator