Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setc2othin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setc2othin 47162
Description: The category (SetCatβ€˜2o) is thin. A special case of setcthin 47161. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
setc2othin (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . . 3 (⊀ β†’ (SetCatβ€˜2o) = (SetCatβ€˜2o))
2 2oex 8424 . . . 4 2o ∈ V
32a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 2o ∈ V)
4 elpri 4609 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}} β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = {βˆ…}))
5 0ex 5265 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
6 sneq 4597 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ {𝑦} = {βˆ…})
76eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑦 = βˆ… β†’ (π‘₯ = {𝑦} ↔ π‘₯ = {βˆ…}))
85, 7spcev 3564 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {βˆ…} β†’ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦})
98orim2i 910 . . . . . . 7 ((π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = {βˆ…}) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}))
10 mo0sn 46986 . . . . . . . 8 (βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯ ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}))
1110biimpri 227 . . . . . . 7 ((π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}) β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
124, 9, 113syl 18 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}} β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
13 df2o2 8422 . . . . . 6 2o = {βˆ…, {βˆ…}}
1412, 13eleq2s 2852 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 2o β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
1514rgen 3063 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ 2o βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯
1615a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 2o βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
171, 3, 16setcthin 47161 . 2 (⊀ β†’ (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat)
1817mptru 1549 1 (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∨ wo 846   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2533  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  2oc2o 8407  SetCatcsetc 17966  ThinCatcthinc 47125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-setc 17967  df-thinc 47126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator