Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setc2othin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setc2othin 48173
Description: The category (SetCatβ€˜2o) is thin. A special case of setcthin 48172. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
setc2othin (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2726 . . 3 (⊀ β†’ (SetCatβ€˜2o) = (SetCatβ€˜2o))
2 2oex 8494 . . . 4 2o ∈ V
32a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 2o ∈ V)
4 elpri 4647 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}} β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = {βˆ…}))
5 0ex 5302 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
6 sneq 4634 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ {𝑦} = {βˆ…})
76eqeq2d 2736 . . . . . . . . 9 (𝑦 = βˆ… β†’ (π‘₯ = {𝑦} ↔ π‘₯ = {βˆ…}))
85, 7spcev 3586 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {βˆ…} β†’ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦})
98orim2i 908 . . . . . . 7 ((π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = {βˆ…}) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}))
10 mo0sn 47997 . . . . . . . 8 (βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯ ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}))
1110biimpri 227 . . . . . . 7 ((π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}) β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
124, 9, 113syl 18 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}} β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
13 df2o2 8492 . . . . . 6 2o = {βˆ…, {βˆ…}}
1412, 13eleq2s 2843 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 2o β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
1514rgen 3053 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ 2o βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯
1615a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 2o βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
171, 3, 16setcthin 48172 . 2 (⊀ β†’ (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat)
1817mptru 1540 1 (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∨ wo 845   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒ*wmo 2526  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  {csn 4624  {cpr 4626  β€˜cfv 6542  2oc2o 8477  SetCatcsetc 18061  ThinCatcthinc 48136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-hom 17254  df-cco 17255  df-cat 17645  df-cid 17646  df-setc 18062  df-thinc 48137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator