Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  setc2othin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setc2othin 47955
Description: The category (SetCatβ€˜2o) is thin. A special case of setcthin 47954. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
setc2othin (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat

Proof of Theorem setc2othin
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2727 . . 3 (⊀ β†’ (SetCatβ€˜2o) = (SetCatβ€˜2o))
2 2oex 8478 . . . 4 2o ∈ V
32a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 2o ∈ V)
4 elpri 4645 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}} β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = {βˆ…}))
5 0ex 5300 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
6 sneq 4633 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = βˆ… β†’ {𝑦} = {βˆ…})
76eqeq2d 2737 . . . . . . . . 9 (𝑦 = βˆ… β†’ (π‘₯ = {𝑦} ↔ π‘₯ = {βˆ…}))
85, 7spcev 3590 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {βˆ…} β†’ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦})
98orim2i 907 . . . . . . 7 ((π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = {βˆ…}) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}))
10 mo0sn 47779 . . . . . . . 8 (βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯ ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}))
1110biimpri 227 . . . . . . 7 ((π‘₯ = βˆ… ∨ βˆƒπ‘¦ π‘₯ = {𝑦}) β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
124, 9, 113syl 18 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {βˆ…, {βˆ…}} β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
13 df2o2 8476 . . . . . 6 2o = {βˆ…, {βˆ…}}
1412, 13eleq2s 2845 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 2o β†’ βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
1514rgen 3057 . . . 4 βˆ€π‘₯ ∈ 2o βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯
1615a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 2o βˆƒ*𝑧 𝑧 ∈ π‘₯)
171, 3, 16setcthin 47954 . 2 (⊀ β†’ (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat)
1817mptru 1540 1 (SetCatβ€˜2o) ∈ ThinCat
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∨ wo 844   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒ*wmo 2526  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625  β€˜cfv 6537  2oc2o 8461  SetCatcsetc 18037  ThinCatcthinc 47918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-setc 18038  df-thinc 47919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator