Theorem splfv3 33501

Description: Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
splfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
splfv3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
splfv3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
splfv3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
splfv3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv3	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Proof of Theorem splfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splfv3.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		splfv3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		splfv3.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		splfv3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14880	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfzuz3 13634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
8		fzss2 13678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
9	3, 7, 8	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
10	9, 2	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
11		pfxlen 14813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
12	1, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
13	12	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
14		pfxcl 14807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
15	1, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
16		ccatlen 14700	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
17	15, 4, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
18		splfv3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
19	13, 17, 18	3eqtr4rd 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))
20	19	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐾) = (𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
21	6, 20	fveq12d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))))
22		ccatcl 14699	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
23	15, 4, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
24		swrdcl 14773	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
25	1, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
26		splfv3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
27		lencl 14658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28		nn0fz0 13739	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
29	27, 28	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
30	1, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
31		swrdlen 14775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
32	1, 3, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
33	32	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
34	26, 33	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
35		ccatval3 14704	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
36	23, 25, 34, 35	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
37		swrdfv 14776	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇))) → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
38	1, 3, 30, 26, 37	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
39	21, 36, 38	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181   + caddc 11184   − cmin 11522  ℕ₀cn0 12587  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  Word cword 14638   ++ cconcat 14695   substr csubstr 14768   prefix cpfx 14800   splice csplice 14878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-splice 14879

This theorem is used by:  cycpmco2lem5  33673  cycpmco2lem6  33674