Theorem splfv3 33097

Description: Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
splfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
splfv3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
splfv3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
splfv3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
splfv3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv3	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Proof of Theorem splfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splfv3.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		splfv3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		splfv3.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		splfv3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14761	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfzuz3 13523	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
8		fzss2 13566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
9	3, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
10	9, 2	sseldd 3937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
11		pfxlen 14694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
12	1, 10, 11	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
13	12	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
14		pfxcl 14688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
16		ccatlen 14585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
17	15, 4, 16	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
18		splfv3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
19	13, 17, 18	3eqtr4rd 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))
20	19	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐾) = (𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
21	6, 20	fveq12d 6870	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))))
22		ccatcl 14584	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
23	15, 4, 22	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
24		swrdcl 14656	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
25	1, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
26		splfv3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
27		lencl 14543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28		nn0fz0 13627	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
29	27, 28	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
30	1, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
31		swrdlen 14658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
32	1, 3, 30, 31	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
33	32	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
34	26, 33	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
35		ccatval3 14589	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
36	23, 25, 34, 35	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
37		swrdfv 14659	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇))) → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
38	1, 3, 30, 26, 37	syl31anc 1391	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
39	21, 36, 38	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ⟨cop 4587  ⟨cotp 4589  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070   + caddc 11073   − cmin 11411  ℕ₀cn0 12478  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   ++ cconcat 14580   substr csubstr 14651   prefix cpfx 14681   splice csplice 14759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-splice 14760

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  33271  cycpmco2lem6  33272