Theorem splfv3 31132

Description: Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
splfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
splfv3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
splfv3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
splfv3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
splfv3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv3	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Proof of Theorem splfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splfv3.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		splfv3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		splfv3.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		splfv3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14392	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfzuz3 13182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
8		fzss2 13225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
9	3, 7, 8	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
10	9, 2	sseldd 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
11		pfxlen 14324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
12	1, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
13	12	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
14		pfxcl 14318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
15	1, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
16		ccatlen 14206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
17	15, 4, 16	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
18		splfv3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
19	13, 17, 18	3eqtr4rd 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))
20	19	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐾) = (𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
21	6, 20	fveq12d 6763	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))))
22		ccatcl 14205	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
23	15, 4, 22	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
24		swrdcl 14286	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
25	1, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
26		splfv3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
27		lencl 14164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28		nn0fz0 13283	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
29	27, 28	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
30	1, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
31		swrdlen 14288	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
32	1, 3, 30, 31	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
33	32	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
34	26, 33	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
35		ccatval3 14212	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
36	23, 25, 34, 35	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
37		swrdfv 14289	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇))) → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
38	1, 3, 30, 26, 37	syl31anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
39	21, 36, 38	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4564  ⟨cotp 4566  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201   substr csubstr 14281   prefix cpfx 14311   splice csplice 14390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391

This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  31299  cycpmco2lem6  31300