Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  splfv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv3 31868
Description: Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
splfv3.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
splfv3.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
splfv3.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
splfv3.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv3.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
splfv3.k (𝜑𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
splfv3 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Proof of Theorem splfv3
StepHypRef Expression
1 splfv3.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 splfv3.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 splfv3.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 splfv3.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 14648 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7 elfzuz3 13447 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
8 fzss2 13490 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
93, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
109, 2sseldd 3949 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
11 pfxlen 14580 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
121, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
1312oveq1d 7376 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
14 pfxcl 14574 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
16 ccatlen 14472 . . . . . 6 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
1715, 4, 16syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
18 splfv3.k . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
1913, 17, 183eqtr4rd 2784 . . . 4 (𝜑𝐾 = (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))
2019oveq2d 7377 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐾) = (𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
216, 20fveq12d 6853 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))))
22 ccatcl 14471 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
2315, 4, 22syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
24 swrdcl 14542 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
251, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
26 splfv3.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
27 lencl 14430 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28 nn0fz0 13548 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
2927, 28sylib 217 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
301, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
31 swrdlen 14544 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
321, 3, 30, 31syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
3332oveq2d 7377 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
3426, 33eleqtrrd 2837 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
35 ccatval3 14476 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
3623, 25, 34, 35syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
37 swrdfv 14545 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇))) → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
381, 3, 30, 26, 37syl31anc 1374 . 2 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
3921, 36, 383eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3914  cop 4596  cotp 4598  cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059   + caddc 11062  cmin 11393  0cn0 12421  cuz 12771  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  chash 14239  Word cword 14411   ++ cconcat 14467   substr csubstr 14537   prefix cpfx 14567   splice csplice 14646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647
This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  32035  cycpmco2lem6  32036
  Copyright terms: Public domain W3C validator