Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  splfv3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv3 30629
 Description: Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
splfv3.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
splfv3.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
splfv3.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
splfv3.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv3.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
splfv3.k (𝜑𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
splfv3 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Proof of Theorem splfv3
StepHypRef Expression
1 splfv3.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 splfv3.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 splfv3.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 splfv3.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 14102 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7 elfzuz3 12897 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
8 fzss2 12940 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
93, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
109, 2sseldd 3952 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
11 pfxlen 14034 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
121, 10, 11syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
1312oveq1d 7153 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
14 pfxcl 14028 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
151, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
16 ccatlen 13916 . . . . . 6 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
1715, 4, 16syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
18 splfv3.k . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
1913, 17, 183eqtr4rd 2870 . . . 4 (𝜑𝐾 = (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))
2019oveq2d 7154 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + 𝐾) = (𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
216, 20fveq12d 6658 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))))
22 ccatcl 13915 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
2315, 4, 22syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
24 swrdcl 13996 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
251, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
26 splfv3.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
27 lencl 13874 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28 nn0fz0 12998 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
2927, 28sylib 221 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
301, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
31 swrdlen 13998 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
321, 3, 30, 31syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
3332oveq2d 7154 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
3426, 33eleqtrrd 2919 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
35 ccatval3 13922 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
3623, 25, 34, 35syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
37 swrdfv 13999 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇))) → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
381, 3, 30, 26, 37syl31anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
3921, 36, 383eqtrd 2863 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3918  ⟨cop 4554  ⟨cotp 4556  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522   + caddc 10525   − cmin 10855  ℕ0cn0 11883  ℤ≥cuz 12229  ...cfz 12883  ..^cfzo 13026  ♯chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13911   substr csubstr 13991   prefix cpfx 14021   splice csplice 14100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-substr 13992  df-pfx 14022  df-splice 14101 This theorem is referenced by:  cycpmco2lem5  30790  cycpmco2lem6  30791
 Copyright terms: Public domain W3C validator