Theorem splfv3 33592

Description: Symbols to the right of a splice are unaffected. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
splfv3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
splfv3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
splfv3.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
splfv3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
splfv3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv3	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

Proof of Theorem splfv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splfv3.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		splfv3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		splfv3.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		splfv3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14931	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfzuz3 13683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
8		fzss2 13728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
9	3, 7, 8	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑇) ⊆ (0...(♯‘𝑆)))
10	9, 2	sseldd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
11		pfxlen 14864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
12	1, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
13	12	oveq1d 7461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
14		pfxcl 14858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
15	1, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
16		ccatlen 14750	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
17	15, 4, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
18		splfv3.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
19	13, 17, 18	3eqtr4rd 2809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))
20	19	oveq2d 7462	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐾) = (𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
21	6, 20	fveq12d 6918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))))
22		ccatcl 14749	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
23	15, 4, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
24		swrdcl 14824	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
25	1, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
26		splfv3.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
27		lencl 14708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
28		nn0fz0 13789	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
29	27, 28	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
30	1, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
31		swrdlen 14826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
32	1, 3, 30, 31	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((♯‘𝑆) − 𝑇))
33	32	oveq2d 7462	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇)))
34	26, 33	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
35		ccatval3 14754	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
36	23, 25, 34, 35	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) = ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋))
37		swrdfv 14827	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^((♯‘𝑆) − 𝑇))) → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
38	1, 3, 30, 26, 37	syl31anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))
39	21, 36, 38	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝑋 + 𝐾)) = (𝑆‘(𝑋 + 𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ⟨cop 4838  ⟨cotp 4861  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230   + caddc 11233   − cmin 11571  ℕ₀cn0 12636  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688   ++ cconcat 14745   substr csubstr 14819   prefix cpfx 14851   splice csplice 14929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-splice 14930

This theorem is used by:  cycpmco2lem5  33767  cycpmco2lem6  33768