Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxdim 32373
Description: Dimension of the generalized Euclidean space. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxdim.1 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
rrxdim (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (dimβ€˜π») = (β™―β€˜πΌ))

Proof of Theorem rrxdim
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxdim.1 . . . . 5 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
21rrxval 24774 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 eqid 2733 . . . . 5 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
4 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2733 . . . . 5 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
63, 4, 5tcphval 24605 . . . 4 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))
72, 6eqtrdi 2789 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯)))))
87fveq2d 6850 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (dimβ€˜π») = (dimβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
9 resubdrg 21035 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
109simpri 487 . . . 4 ℝfld ∈ DivRing
11 eqid 2733 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
1211frlmlvec 21190 . . . 4 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
1310, 12mpan 689 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
144tcphex 24604 . . 3 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))) ∈ V
15 eqid 2733 . . . 4 ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯)))) = ((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))
1615tngdim 32372 . . 3 (((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LVec ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))) ∈ V) β†’ (dimβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (dimβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
1713, 14, 16sylancl 587 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (dimβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (dimβ€˜((ℝfld freeLMod 𝐼) toNrmGrp (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ↦ (βˆšβ€˜(π‘₯(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))π‘₯))))))
1811frlmdim 32370 . . 3 ((ℝfld ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (dimβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β™―β€˜πΌ))
1910, 18mpan 689 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (dimβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β™―β€˜πΌ))
208, 17, 193eqtr2d 2779 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (dimβ€˜π») = (β™―β€˜πΌ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  β™―chash 14239  βˆšcsqrt 15127  Basecbs 17091  Β·π‘–cip 17146  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  LVecclvec 20607  β„‚fldccnfld 20819  β„fldcrefld 21031   freeLMod cfrlm 21175   toNrmGrp ctng 23957  toβ„‚PreHilctcph 24554  β„^crrx 24770  dimcldim 32360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-rpss 7664  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-r1 9708  df-rank 9709  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ocomp 17162  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-mri 17476  df-acs 17477  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18210  df-ipo 18425  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-nzr 20196  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lmhm 20527  df-lbs 20580  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-refld 21032  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-uvc 21212  df-tng 23963  df-tcph 24556  df-rrx 24772  df-dim 32361
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator