Theorem tcphtopn 25559

Description: The topology of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphtopn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
tcphtopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tcphtopn	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Proof of Theorem tcphtopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphtopn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	tcphex 25550	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
4		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 2, 5	tcphval 25551	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
7		tcphtopn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
9	6, 7, 8	tngtopn 24981	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
10	3, 9	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
11	1, 10	eqtr4id 2817	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  √csqrt 15412  Basecbs 17399  ·_𝑖cip 17445  distcds 17449  TopOpenctopn 17604  MetOpencmopn 21680  toℂPreHilctcph 25500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-seq 14155  df-exp 14215  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-tset 17459  df-ds 17462  df-rest 17605  df-topn 17606  df-topgen 17626  df-sbg 19161  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-tng 24915  df-tcph 25502

This theorem is used by:  rrxtopn  47433  opnvonmbllem2  47782