Theorem tcphtopn 25211

Description: The topology of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphtopn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
tcphtopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tcphtopn	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Proof of Theorem tcphtopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphtopn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	tcphex 25202	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
4		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 2, 5	tcphval 25203	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
7		tcphtopn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
8		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
9	6, 7, 8	tngtopn 24633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
10	3, 9	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
11	1, 10	eqtr4id 2793	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  √csqrt 15186  Basecbs 17170  ·_𝑖cip 17216  distcds 17220  TopOpenctopn 17375  MetOpencmopn 21337  toℂPreHilctcph 25152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-tset 17230  df-ds 17233  df-rest 17376  df-topn 17377  df-topgen 17397  df-sbg 18905  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-top 22877  df-topon 22894  df-bases 22929  df-tng 24567  df-tcph 25154

This theorem is referenced by:  rrxtopn  46727  opnvonmbllem2  47076