Theorem tcphtopn 25180

Description: The topology of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphtopn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
tcphtopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tcphtopn	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Proof of Theorem tcphtopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphtopn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	tcphex 25171	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
4		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 2, 5	tcphval 25172	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
7		tcphtopn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
9	6, 7, 8	tngtopn 24592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
10	3, 9	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
11	1, 10	eqtr4id 2788	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  √csqrt 15154  Basecbs 17134  ·_𝑖cip 17180  distcds 17184  TopOpenctopn 17339  MetOpencmopn 21297  toℂPreHilctcph 25121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-tset 17194  df-ds 17197  df-rest 17340  df-topn 17341  df-topgen 17361  df-sbg 18866  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-tng 24526  df-tcph 25123

This theorem is referenced by:  rrxtopn  46470  opnvonmbllem2  46819