Theorem tcphtopn 23830

Description: The topology of a subcomplex pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphtopn.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
tcphtopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tcphtopn	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Proof of Theorem tcphtopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphtopn.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	tcphex 23821	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
4		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
5		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
6	4, 2, 5	tcphval 23822	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
7		tcphtopn.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
8		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
9	6, 7, 8	tngtopn 23256	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑉 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
10	3, 9	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐺))
11	1, 10	eqtr4id 2852	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  √csqrt 14584  Basecbs 16475  ·_𝑖cip 16562  distcds 16566  TopOpenctopn 16687  MetOpencmopn 20081  toℂPreHilctcph 23772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-tset 16576  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-sbg 18100  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-tng 23191  df-tcph 23774

This theorem is referenced by:  rrxtopn  42926  opnvonmbllem2  43272