Theorem tcphds 25153

Description: The distance of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphds.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphds	⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Proof of Theorem tcphds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphds.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	tchnmfval 25150	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
6	5	coeq1d 5859	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ))
7	3	tcphex 25139	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
8	1, 3, 4	tcphval 25140	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
9		tcphds.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10	8, 9	tngds 24558	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺))
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺)
12	6, 11	eqtrdi 2784	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ↦ cmpt 5226   ∘ ccom 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  √csqrt 15207  Basecbs 17174  ·_𝑖cip 17232  distcds 17236  Grpcgrp 18884  -_gcsg 18886  normcnm 24479  toℂPreHilctcph 25089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-ds 17249  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-nm 24485  df-tng 24487  df-tcph 25091

This theorem is referenced by:  rrxds  25315