Theorem tcphds 25287

Description: The distance of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphds.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphds	⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Proof of Theorem tcphds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphds.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	tchnmfval 25284	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
6	5	coeq1d 5876	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ))
7	3	tcphex 25273	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
8	1, 3, 4	tcphval 25274	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
9		tcphds.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10	8, 9	tngds 24690	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺))
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺)
12	6, 11	eqtrdi 2792	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5694  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  √csqrt 15275  Basecbs 17251  ·_𝑖cip 17309  distcds 17313  Grpcgrp 18970  -_gcsg 18972  normcnm 24611  toℂPreHilctcph 25223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-sup 9486  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-8 12339  df-9 12340  df-n0 12531  df-z 12618  df-dec 12738  df-uz 12883  df-rp 13039  df-seq 14046  df-exp 14106  df-cj 15141  df-re 15142  df-im 15143  df-sqrt 15277  df-abs 15278  df-sets 17204  df-slot 17222  df-ndx 17234  df-base 17252  df-plusg 17317  df-tset 17323  df-ds 17326  df-0g 17494  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-grp 18973  df-minusg 18974  df-sbg 18975  df-nm 24617  df-tng 24619  df-tcph 25225

This theorem is referenced by:  rrxds  25449