Theorem tcphds 25199

Description: The distance of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphds.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphds	⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Proof of Theorem tcphds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphds.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	tchnmfval 25196	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
6	5	coeq1d 5818	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ))
7	3	tcphex 25185	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
8	1, 3, 4	tcphval 25186	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
9		tcphds.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10	8, 9	tngds 24604	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺))
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺)
12	6, 11	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  √csqrt 15168  Basecbs 17148  ·_𝑖cip 17194  distcds 17198  Grpcgrp 18875  -_gcsg 18877  normcnm 24532  toℂPreHilctcph 25135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-tset 17208  df-ds 17211  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-nm 24538  df-tng 24540  df-tcph 25137

This theorem is referenced by:  rrxds  25361