Theorem tcphds 24395

Description: The distance of a pre-Hilbert space augmented with norm. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
tcphds.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
tcphds.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphds	⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Proof of Theorem tcphds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tcphval.n	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
2		tcphds.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	tchnmfval 24392	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
6	5	coeq1d 5770	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ))
7	3	tcphex 24381	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V
8	1, 3, 4	tcphval 24382	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑊 toNrmGrp (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))))
9		tcphds.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10	8, 9	tngds 23811	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∈ V → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺))
11	7, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥))) ∘ − ) = (dist‘𝐺)
12	6, 11	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  √csqrt 14944  Basecbs 16912  ·_𝑖cip 16967  distcds 16971  Grpcgrp 18577  -_gcsg 18579  normcnm 23732  toℂPreHilctcph 24331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-ds 16984  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-nm 23738  df-tng 23740  df-tcph 24333

This theorem is referenced by:  rrxds  24557