MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn2 27416
Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn2.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconn2.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn2.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Proof of Theorem tgbtwnconn2
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2736 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
8 tgbtwnconn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
10 tgbtwnconn.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
12 tgbtwnconn.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
14 tgbtwnconn2.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
16 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16tgbtwnexch3 27334 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
1817orcd 871 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
194adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
206adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
218adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
2212adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2310adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
24 tgbtwnconn2.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
2524adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 2, 3, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26tgbtwnexch3 27334 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
2827olcd 872 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
29 tgbtwnconn2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
301, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 29, 14, 24tgbtwnconn1 27415 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3118, 28, 30mpjaodan 957 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2942  cfv 6494  (class class class)co 7354  Basecbs 17080  distcds 17139  TarskiGcstrkg 27267  Itvcitv 27273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-er 8645  df-pm 8765  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-dju 9834  df-card 9872  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12411  df-xnn0 12483  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-fzo 13565  df-hash 14228  df-word 14400  df-concat 14456  df-s1 14481  df-s2 14734  df-s3 14735  df-trkgc 27288  df-trkgb 27289  df-trkgcb 27290  df-trkg 27293  df-cgrg 27351
This theorem is referenced by:  tgbtwnconn3  27417  tgbtwnconn22  27419  tgbtwnconnln2  27421  legtrid  27431  hlcgrex  27456  mirbtwnhl  27520  mirhl2  27521  krippenlem  27530  lnopp2hpgb  27603  flatcgra  27664
  Copyright terms: Public domain W3C validator