MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn2 28598
Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn2.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconn2.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn2.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Proof of Theorem tgbtwnconn2
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2734 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
8 tgbtwnconn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
10 tgbtwnconn.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
12 tgbtwnconn.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
14 tgbtwnconn2.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
16 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16tgbtwnexch3 28516 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
1817orcd 873 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
194adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
206adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
218adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
2212adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2310adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
24 tgbtwnconn2.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
2524adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 2, 3, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26tgbtwnexch3 28516 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
2827olcd 874 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
29 tgbtwnconn2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
301, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 29, 14, 24tgbtwnconn1 28597 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3118, 28, 30mpjaodan 960 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  Itvcitv 28455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkg 28475  df-cgrg 28533
This theorem is referenced by:  tgbtwnconn3  28599  tgbtwnconn22  28601  tgbtwnconnln2  28603  legtrid  28613  hlcgrex  28638  mirbtwnhl  28702  mirhl2  28703  krippenlem  28712  lnopp2hpgb  28785  flatcgra  28846
  Copyright terms: Public domain W3C validator