Theorem tgbtwnconn2 28663

Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Proof of Theorem tgbtwnconn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		tgbtwnconn.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		tgbtwnconn2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
17	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	tgbtwnexch3 28581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
18	17	orcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
19	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24		tgbtwnconn2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
27	1, 2, 3, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26	tgbtwnexch3 28581	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
28	27	olcd 875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
29		tgbtwnconn2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	1, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 29, 14, 24	tgbtwnconn1 28662	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
31	18, 28, 30	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  distcds 17218  TarskiGcstrkg 28514  Itvcitv 28520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 28535  df-trkgb 28536  df-trkgcb 28537  df-trkg 28540  df-cgrg 28598

This theorem is referenced by:  tgbtwnconn3  28664  tgbtwnconn22  28666  tgbtwnconnln2  28668  legtrid  28678  hlcgrex  28703  mirbtwnhl  28767  mirhl2  28768  krippenlem  28777  lnopp2hpgb  28850  flatcgra  28911