Theorem tgbtwnconn2 26639

Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwnconn.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgbtwnconn2.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
tgbtwnconn2.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwnconn2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Proof of Theorem tgbtwnconn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwnconn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tgbtwnconn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwnconn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwnconn.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwnconn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		tgbtwnconn.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		tgbtwnconn.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		tgbtwnconn2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
16		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
17	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16	tgbtwnexch3 26557	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
18	17	orcd 873	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
19	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	8	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
22	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
23	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
24		tgbtwnconn2.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
25	24	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
27	1, 2, 3, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26	tgbtwnexch3 26557	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
28	27	olcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
29		tgbtwnconn2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	1, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 29, 14, 24	tgbtwnconn1 26638	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
31	18, 28, 30	mpjaodan 959	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Basecbs 16684  distcds 16776  TarskiGcstrkg 26493  Itvcitv 26499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-oadd 8195  df-er 8380  df-pm 8500  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-hash 13880  df-word 14053  df-concat 14109  df-s1 14136  df-s2 14396  df-s3 14397  df-trkgc 26511  df-trkgb 26512  df-trkgcb 26513  df-trkg 26516  df-cgrg 26574

This theorem is referenced by:  tgbtwnconn3  26640  tgbtwnconn22  26642  tgbtwnconnln2  26644  legtrid  26654  hlcgrex  26679  mirbtwnhl  26743  mirhl2  26744  krippenlem  26753  lnopp2hpgb  26826  flatcgra  26887