Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconn2 26373
 Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconn2.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconn2.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconn2.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconn2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))

Proof of Theorem tgbtwnconn2
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2801 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
8 tgbtwnconn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
98adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵𝑃)
10 tgbtwnconn.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
1110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
12 tgbtwnconn.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑃)
1312adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
14 tgbtwnconn2.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
1514adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
16 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
171, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16tgbtwnexch3 26291 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
1817orcd 870 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
194adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
206adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
218adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵𝑃)
2212adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
2310adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
24 tgbtwnconn2.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
2524adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
26 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
271, 2, 3, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26tgbtwnexch3 26291 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶))
2827olcd 871 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
29 tgbtwnconn2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
301, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 29, 14, 24tgbtwnconn1 26372 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
3118, 28, 30mpjaodan 956 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐵𝐼𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  distcds 16569  TarskiGcstrkg 26227  Itvcitv 26233 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26245  df-trkgb 26246  df-trkgcb 26247  df-trkg 26250  df-cgrg 26308 This theorem is referenced by:  tgbtwnconn3  26374  tgbtwnconn22  26376  tgbtwnconnln2  26378  legtrid  26388  hlcgrex  26413  mirbtwnhl  26477  mirhl2  26478  krippenlem  26487  lnopp2hpgb  26560  flatcgra  26621
 Copyright terms: Public domain W3C validator