Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2cn 23572
 Description: Version of fsumcn 23571 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsum2cn (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2919 . . . 4 𝑢Σ𝑘𝐴 𝐵
2 nfcv 2919 . . . 4 𝑣Σ𝑘𝐴 𝐵
3 nfcv 2919 . . . . 5 𝑥𝐴
4 nfcv 2919 . . . . . 6 𝑥𝑣
5 nfcsb1v 3829 . . . . . 6 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
64, 5nfcsbw 3831 . . . . 5 𝑥𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
73, 6nfsum 15095 . . . 4 𝑥Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
8 nfcv 2919 . . . . 5 𝑦𝐴
9 nfcsb1v 3829 . . . . 5 𝑦𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
108, 9nfsum 15095 . . . 4 𝑦Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
11 csbeq1a 3819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
12 csbeq1a 3819 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1311, 12sylan9eq 2813 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1413sumeq2sdv 15109 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
151, 2, 7, 10, 14cbvmpo 7242 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
16 vex 3413 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
17 vex 3413 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
1816, 17op2ndd 7704 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) = 𝑣)
1918csbeq1d 3809 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
2016, 17op1std 7703 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) = 𝑢)
2120csbeq1d 3809 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
2221csbeq2dv 3812 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2319, 22eqtrd 2793 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2423sumeq2sdv 15109 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2524mpompt 7260 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2615, 25eqtr4i 2784 . 2 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
27 fsumcn.3 . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28 fsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29 fsum2cn.7 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30 txtopon 22291 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
3128, 29, 30syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
33 nfcv 2919 . . . . . 6 𝑢𝐵
34 nfcv 2919 . . . . . 6 𝑣𝐵
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpo 7242 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3623mpompt 7260 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3735, 36eqtr4i 2784 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
38 fsum2cn.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
3937, 38eqeltrrid 2857 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4027, 31, 32, 39fsumcn 23571 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4126, 40eqeltrid 2856 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⦋csb 3805  ⟨cop 4528   ↦ cmpt 5112   × cxp 5522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  1st c1st 7691  2nd c2nd 7692  Fincfn 8527  Σcsu 15090  TopOpenctopn 16753  ℂfldccnfld 20166  TopOnctopon 21610   Cn ccn 21924   ×t ctx 22260 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024 This theorem is referenced by:  dipcn  28602
 Copyright terms: Public domain W3C validator