MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2cn 24740
Description: Version of fsumcn 24739 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fsumcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fsumcn.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
fsum2cn.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsum2cn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝐴   π‘˜,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝐿   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝐾,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,π‘Œ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2897 . . . 4 β„²π‘’Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
2 nfcv 2897 . . . 4 β„²π‘£Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
3 nfcv 2897 . . . . 5 β„²π‘₯𝐴
4 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯𝑣
5 nfcsb1v 3913 . . . . . 6 β„²π‘₯⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡
64, 5nfcsbw 3915 . . . . 5 β„²π‘₯⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
73, 6nfsum 15641 . . . 4 β„²π‘₯Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
8 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑦𝐴
9 nfcsb1v 3913 . . . . 5 Ⅎ𝑦⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
108, 9nfsum 15641 . . . 4 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
11 csbeq1a 3902 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑒 β†’ 𝐡 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡)
12 csbeq1a 3902 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
1311, 12sylan9eq 2786 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ 𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
1413sumeq2sdv 15654 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
151, 2, 7, 10, 14cbvmpo 7498 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
16 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
17 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
1816, 17op2ndd 7982 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = 𝑣)
1918csbeq1d 3892 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡)
2016, 17op1std 7981 . . . . . . . 8 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑒)
2120csbeq1d 3892 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡)
2221csbeq2dv 3895 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2319, 22eqtrd 2766 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2423sumeq2sdv 15654 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2524mpompt 7517 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2615, 25eqtr4i 2757 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡)
27 fsumcn.3 . . 3 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
28 fsumcn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
29 fsum2cn.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
30 txtopon 23446 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
3128, 29, 30syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
32 fsumcn.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
33 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑒𝐡
34 nfcv 2897 . . . . . 6 Ⅎ𝑣𝐡
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpo 7498 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
3623mpompt 7517 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
3735, 36eqtr4i 2757 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡)
38 fsum2cn.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
3937, 38eqeltrrid 2832 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
4027, 31, 32, 39fsumcn 24739 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
4126, 40eqeltrid 2831 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β¦‹csb 3888  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  Fincfn 8938  Ξ£csu 15636  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21236  TopOnctopon 22763   Cn ccn 23079   Γ—t ctx 23415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179
This theorem is referenced by:  dipcn  30478
  Copyright terms: Public domain W3C validator