MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2cn 23473
Description: Version of fsumcn 23472 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsum2cn (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2977 . . . 4 𝑢Σ𝑘𝐴 𝐵
2 nfcv 2977 . . . 4 𝑣Σ𝑘𝐴 𝐵
3 nfcv 2977 . . . . 5 𝑥𝐴
4 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑥𝑣
5 nfcsb1v 3907 . . . . . 6 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
64, 5nfcsbw 3909 . . . . 5 𝑥𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
73, 6nfsumw 15041 . . . 4 𝑥Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
8 nfcv 2977 . . . . 5 𝑦𝐴
9 nfcsb1v 3907 . . . . 5 𝑦𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
108, 9nfsumw 15041 . . . 4 𝑦Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
11 csbeq1a 3897 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
12 csbeq1a 3897 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1311, 12sylan9eq 2876 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1413sumeq2sdv 15055 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
151, 2, 7, 10, 14cbvmpo 7242 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
16 vex 3498 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
17 vex 3498 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
1816, 17op2ndd 7694 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) = 𝑣)
1918csbeq1d 3887 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
2016, 17op1std 7693 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) = 𝑢)
2120csbeq1d 3887 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
2221csbeq2dv 3890 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2319, 22eqtrd 2856 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2423sumeq2sdv 15055 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2524mpompt 7260 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2615, 25eqtr4i 2847 . 2 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
27 fsumcn.3 . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28 fsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29 fsum2cn.7 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30 txtopon 22193 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
3128, 29, 30syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
33 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑢𝐵
34 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑣𝐵
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpo 7242 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3623mpompt 7260 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3735, 36eqtr4i 2847 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
38 fsum2cn.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
3937, 38eqeltrrid 2918 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4027, 31, 32, 39fsumcn 23472 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4126, 40eqeltrid 2917 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  csb 3883  cop 4567  cmpt 5139   × cxp 5548  cfv 6350  (class class class)co 7150  cmpo 7152  1st c1st 7681  2nd c2nd 7682  Fincfn 8503  Σcsu 15036  TopOpenctopn 16689  fldccnfld 20539  TopOnctopon 21512   Cn ccn 21826   ×t ctx 22162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926
This theorem is referenced by:  dipcn  28491
  Copyright terms: Public domain W3C validator