Theorem fsum2cn 25081

Description: Version of fsumcn 25080 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsum2cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑣Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
3		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
5		nfcsb1v 3878	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
6	4, 5	nfcsbw 3880	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
7	3, 6	nfsum 15766	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
8		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9		nfcsb1v 3878	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
10	8, 9	nfsum 15766	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
11		csbeq1a 3868	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbeq1a 3868	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
13	11, 12	sylan9eq 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
14	13	sumeq2sdv 15778	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
15	1, 2, 7, 10, 14	cbvmpo 7513	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
16		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
17		vex 3461	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
18	16, 17	op2ndd 8003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑣)
19	18	csbeq1d 3858	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
20	16, 17	op1std 8002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑢)
21	20	csbeq1d 3858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
22	21	csbeq2dv 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
23	19, 22	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
24	23	sumeq2sdv 15778	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
25	24	mpompt 7533	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
26	15, 25	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
27		fsumcn.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28		fsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29		fsum2cn.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30		txtopon 23799	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
31	28, 29, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32		fsumcn.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
33		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
34		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
35	33, 34, 6, 9, 13	cbvmpo 7513	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
36	23	mpompt 7533	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
37	35, 36	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
38		fsum2cn.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
39	37, 38	eqeltrrid 2870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
40	27, 31, 32, 39	fsumcn 25080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
41	26, 40	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⦋csb 3854  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991  Fincfn 8949  Σcsu 15761  TopOpenctopn 17496  ℂ_fldccnfld 21572  TopOnctopon 23117   Cn ccn 23431   ×_t ctx 23768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-cnfld 21573  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530

This theorem is used by:  dipcn  31143