MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2cn 24896
Description: Version of fsumcn 24895 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsum2cn (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . 4 𝑢Σ𝑘𝐴 𝐵
2 nfcv 2904 . . . 4 𝑣Σ𝑘𝐴 𝐵
3 nfcv 2904 . . . . 5 𝑥𝐴
4 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑥𝑣
5 nfcsb1v 3922 . . . . . 6 𝑥𝑢 / 𝑥𝐵
64, 5nfcsbw 3924 . . . . 5 𝑥𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
73, 6nfsum 15728 . . . 4 𝑥Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
8 nfcv 2904 . . . . 5 𝑦𝐴
9 nfcsb1v 3922 . . . . 5 𝑦𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
108, 9nfsum 15728 . . . 4 𝑦Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵
11 csbeq1a 3912 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
12 csbeq1a 3912 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣𝑢 / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1311, 12sylan9eq 2796 . . . . 5 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
1413sumeq2sdv 15740 . . . 4 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
151, 2, 7, 10, 14cbvmpo 7528 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
16 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑢 ∈ V
17 vex 3483 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
1816, 17op2ndd 8026 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) = 𝑣)
1918csbeq1d 3902 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
2016, 17op1std 8025 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) = 𝑢)
2120csbeq1d 3902 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑢 / 𝑥𝐵)
2221csbeq2dv 3905 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → 𝑣 / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2319, 22eqtrd 2776 . . . . 5 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2423sumeq2sdv 15740 . . . 4 (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2524mpompt 7548 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
2615, 25eqtr4i 2767 . 2 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
27 fsumcn.3 . . 3 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28 fsumcn.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29 fsum2cn.7 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30 txtopon 23600 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32 fsumcn.5 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
33 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑢𝐵
34 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑣𝐵
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpo 7528 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3623mpompt 7548 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) = (𝑢𝑋, 𝑣𝑌𝑣 / 𝑦𝑢 / 𝑥𝐵)
3735, 36eqtr4i 2767 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵)
38 fsum2cn.8 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
3937, 38eqeltrrid 2845 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4027, 31, 32, 39fsumcn 24895 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘𝐴 (2nd𝑧) / 𝑦(1st𝑧) / 𝑥𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
4126, 40eqeltrid 2844 1 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  csb 3898  cop 4631  cmpt 5224   × cxp 5682  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  1st c1st 8013  2nd c2nd 8014  Fincfn 8986  Σcsu 15723  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233   ×t ctx 23569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333
This theorem is referenced by:  dipcn  30740
  Copyright terms: Public domain W3C validator