Theorem fsum2cn 24762

Description: Version of fsumcn 24761 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsum2cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑣Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
3		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
5		nfcsb1v 3886	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
6	4, 5	nfcsbw 3888	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
7	3, 6	nfsum 15657	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
8		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9		nfcsb1v 3886	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
10	8, 9	nfsum 15657	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
11		csbeq1a 3876	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbeq1a 3876	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
13	11, 12	sylan9eq 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
14	13	sumeq2sdv 15669	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
15	1, 2, 7, 10, 14	cbvmpo 7483	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
16		vex 3451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
17		vex 3451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
18	16, 17	op2ndd 7979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑣)
19	18	csbeq1d 3866	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
20	16, 17	op1std 7978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑢)
21	20	csbeq1d 3866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
22	21	csbeq2dv 3869	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
23	19, 22	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
24	23	sumeq2sdv 15669	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
25	24	mpompt 7503	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
26	15, 25	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
27		fsumcn.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28		fsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29		fsum2cn.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30		txtopon 23478	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32		fsumcn.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
33		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
34		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
35	33, 34, 6, 9, 13	cbvmpo 7483	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
36	23	mpompt 7503	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
37	35, 36	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
38		fsum2cn.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
39	37, 38	eqeltrrid 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
40	27, 31, 32, 39	fsumcn 24761	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
41	26, 40	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⦋csb 3862  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  Fincfn 8918  Σcsu 15652  TopOpenctopn 17384  ℂ_fldccnfld 21264  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111   ×_t ctx 23447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210

This theorem is referenced by:  dipcn  30649