MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2cn 24257
Description: Version of fsumcn 24256 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcn.3 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
fsumcn.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
fsumcn.5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
fsum2cn.8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
fsum2cn (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝐴   π‘˜,𝐽,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝐿   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝐾,π‘₯,𝑦   π‘˜,𝑋,π‘₯,𝑦   π‘˜,π‘Œ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑦,π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘’Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
2 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘£Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
3 nfcv 2904 . . . . 5 β„²π‘₯𝐴
4 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯𝑣
5 nfcsb1v 3884 . . . . . 6 β„²π‘₯⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡
64, 5nfcsbw 3886 . . . . 5 β„²π‘₯⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
73, 6nfsum 15584 . . . 4 β„²π‘₯Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
8 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑦𝐴
9 nfcsb1v 3884 . . . . 5 Ⅎ𝑦⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
108, 9nfsum 15584 . . . 4 β„²π‘¦Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡
11 csbeq1a 3873 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑒 β†’ 𝐡 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡)
12 csbeq1a 3873 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 β†’ ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
1311, 12sylan9eq 2793 . . . . 5 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ 𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
1413sumeq2sdv 15597 . . . 4 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
151, 2, 7, 10, 14cbvmpo 7455 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
16 vex 3451 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
17 vex 3451 . . . . . . . 8 𝑣 ∈ V
1816, 17op2ndd 7936 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = 𝑣)
1918csbeq1d 3863 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡)
2016, 17op1std 7935 . . . . . . . 8 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑒)
2120csbeq1d 3863 . . . . . . 7 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑒 / π‘₯⦌𝐡)
2221csbeq2dv 3866 . . . . . 6 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2319, 22eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2423sumeq2sdv 15597 . . . 4 (𝑧 = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2524mpompt 7474 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
2615, 25eqtr4i 2764 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) = (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡)
27 fsumcn.3 . . 3 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
28 fsumcn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
29 fsum2cn.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
30 txtopon 22965 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
3128, 29, 30syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐿) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
32 fsumcn.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
33 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑒𝐡
34 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑣𝐡
3533, 34, 6, 9, 13cbvmpo 7455 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
3623mpompt 7474 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) = (𝑒 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ π‘Œ ↦ ⦋𝑣 / π‘¦β¦Œβ¦‹π‘’ / π‘₯⦌𝐡)
3735, 36eqtr4i 2764 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) = (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡)
38 fsum2cn.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
3937, 38eqeltrrid 2839 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
4027, 31, 32, 39fsumcn 24256 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 ⦋(2nd β€˜π‘§) / π‘¦β¦Œβ¦‹(1st β€˜π‘§) / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
4126, 40eqeltrid 2838 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐿) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β¦‹csb 3859  βŸ¨cop 4596   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Fincfn 8889  Ξ£csu 15579  TopOpenctopn 17311  β„‚fldccnfld 20819  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698
This theorem is referenced by:  dipcn  29711
  Copyright terms: Public domain W3C validator