Theorem fsum2cn 23940

Description: Version of fsumcn 23939 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsum2cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑣Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
3		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
5		nfcsb1v 3853	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
6	4, 5	nfcsbw 3855	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
7	3, 6	nfsum 15330	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
8		nfcv 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9		nfcsb1v 3853	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
10	8, 9	nfsum 15330	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
11		csbeq1a 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbeq1a 3842	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
13	11, 12	sylan9eq 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
14	13	sumeq2sdv 15344	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
15	1, 2, 7, 10, 14	cbvmpo 7347	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
16		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
17		vex 3426	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
18	16, 17	op2ndd 7815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑣)
19	18	csbeq1d 3832	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
20	16, 17	op1std 7814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑢)
21	20	csbeq1d 3832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
22	21	csbeq2dv 3835	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
23	19, 22	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
24	23	sumeq2sdv 15344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
25	24	mpompt 7366	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
26	15, 25	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
27		fsumcn.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28		fsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29		fsum2cn.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30		txtopon 22650	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
31	28, 29, 30	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32		fsumcn.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
33		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
34		nfcv 2906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
35	33, 34, 6, 9, 13	cbvmpo 7347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
36	23	mpompt 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
37	35, 36	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
38		fsum2cn.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
39	37, 38	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
40	27, 31, 32, 39	fsumcn 23939	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
41	26, 40	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⦋csb 3828  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  1^st c1st 7802  2^nd c2nd 7803  Fincfn 8691  Σcsu 15325  TopOpenctopn 17049  ℂ_fldccnfld 20510  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283   ×_t ctx 22619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383

This theorem is referenced by:  dipcn  28983