Theorem fsum2cn 24909

Description: Version of fsumcn 24908 for two-argument mappings. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
fsumcn.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
fsumcn.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsum2cn.7	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
fsum2cn.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
fsum2cn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝑘,𝐽,𝑥,𝑦   𝑘,𝐿   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦   𝑘,𝑌,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fsum2cn

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
2		nfcv 2903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑣Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
3		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑣
5		nfcsb1v 3933	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
6	4, 5	nfcsbw 3935	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
7	3, 6	nfsum 15724	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
8		nfcv 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
9		nfcsb1v 3933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
10	8, 9	nfsum 15724	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵
11		csbeq1a 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → 𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbeq1a 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
13	11, 12	sylan9eq 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → 𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
14	13	sumeq2sdv 15736	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑢 ∧ 𝑦 = 𝑣) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
15	1, 2, 7, 10, 14	cbvmpo 7527	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
16		vex 3482	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 ∈ V
17		vex 3482	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑣 ∈ V
18	16, 17	op2ndd 8024	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (2nd ‘𝑧) = 𝑣)
19	18	csbeq1d 3912	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
20	16, 17	op1std 8023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (1st ‘𝑧) = 𝑢)
21	20	csbeq1d 3912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
22	21	csbeq2dv 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
23	19, 22	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
24	23	sumeq2sdv 15736	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
25	24	mpompt 7547	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
26	15, 25	eqtr4i 2766	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
27		fsumcn.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
28		fsumcn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29		fsum2cn.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌))
30		txtopon 23615	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐿) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
32		fsumcn.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
33		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑢𝐵
34		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑣𝐵
35	33, 34, 6, 9, 13	cbvmpo 7527	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
36	23	mpompt 7547	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) = (𝑢 ∈ 𝑋, 𝑣 ∈ 𝑌 ↦ ⦋𝑣 / 𝑦⦌⦋𝑢 / 𝑥⦌𝐵)
37	35, 36	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵)
38		fsum2cn.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
39	37, 38	eqeltrrid 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
40	27, 31, 32, 39	fsumcn 24908	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 ⦋(2nd ‘𝑧) / 𝑦⦌⦋(1st ‘𝑧) / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))
41	26, 40	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ((𝐽 ×t 𝐿) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⦋csb 3908  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1^st c1st 8011  2^nd c2nd 8012  Fincfn 8984  Σcsu 15719  TopOpenctopn 17468  ℂ_fldccnfld 21382  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×_t ctx 23584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348

This theorem is referenced by:  dipcn  30749