Theorem veronesev4lem 51254

Description: Lemma for veronesevrowd 51257. Value of the fourth coordinate of the Veronese map at a point. (Contributed by Jiamin Zhao, 17-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
veronesevrow.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
veronesev4lem	⊢ (𝜑 → ((veronese‘𝑃)‘4) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))

Proof of Theorem veronesev4lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		veronesevrow.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2	1	veronesevald 51249	. 2 ⊢ (𝜑 → (veronese‘𝑃) = (𝑥 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)))))
3		1re 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		1lt4 12545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 4
5	3, 4	gtneii 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 1
6		neeq1 3021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 4 ≠ 1))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 1)
8	7	neneqd 2964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 1)
9	8	iffalsed 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) = 0)
10	9	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → (if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) = (0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)))
11	10	oveq1d 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) = ((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)))
12		iftrue 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
13	12	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → (if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) = (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)))
14	13	oveq1d 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)) = ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)))
15	11, 14	oveq12d 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
16		2re 12441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2lt4 12544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 4
18	16, 17	gtneii 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 2
19		neeq1 3021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 4 ≠ 2))
20	18, 19	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 2)
21	20	neneqd 2964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 2)
22	21	iffalsed 4496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0) = 0)
23	22	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → (0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) = (0 + 0))
24	23	oveq1d 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) = ((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)))
25	24	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
26		3re 12447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		3lt4 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 4
28	26, 27	gtneii 11446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 3
29		neeq1 3021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 3 ↔ 4 ≠ 3))
30	28, 29	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 3)
31	30	neneqd 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 3)
32	31	iffalsed 4496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0) = 0)
33	32	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) = ((0 + 0) + 0))
34	33	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
35	15, 25, 34	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 4 → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
36		4re 12451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
37		4lt5 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 5
38	36, 37	ltneii 11447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 5
39		neeq1 3021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 5 ↔ 4 ≠ 5))
40	38, 39	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 5)
41	40	neneqd 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 5)
42	41	iffalsed 4496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0) = 0)
43	42	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) = (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0))
44	43	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)) = ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)))
45	44	oveq2d 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
46		4lt6 12551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 < 6
47	36, 46	ltneii 11447	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 6
48		neeq1 3021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 6 ↔ 4 ≠ 6))
49	47, 48	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 6)
50	49	neneqd 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 6)
51	50	iffalsed 4496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0) = 0)
52	51	oveq2d 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)) = ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0))
53	52	oveq2d 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
54	35, 45, 53	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
55	54	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
56		0red 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → 0 ∈ ℝ)
57	56, 56	readdcld 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + 0) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + 0) ∈ ℂ)
59	58	addridd 11534	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((0 + 0) + 0) = (0 + 0))
60	59	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = ((0 + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
61		00id 11509	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + 0) = 0)
63	62	oveq1d 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((0 + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
64	60, 63	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
65	1	rr3fv1cld 51225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘1) ∈ ℝ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (𝑃‘1) ∈ ℝ)
67	1	rr3fv2cld 51226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘2) ∈ ℝ)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (𝑃‘2) ∈ ℝ)
69	66, 68	remulcld 11363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) ∈ ℝ)
70	69, 56	readdcld 11362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) ∈ ℝ)
71	70	recnd 11361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) ∈ ℂ)
72	71	addridd 11534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0) = (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0))
73	72	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0)))
74	69	recnd 11361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) ∈ ℂ)
75	74	addridd 11534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
76	75	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0)) = (0 + ((𝑃‘1) · (𝑃‘2))))
77	64, 73, 76	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + ((𝑃‘1) · (𝑃‘2))))
78	74	addlidd 11535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + ((𝑃‘1) · (𝑃‘2))) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
79	55, 77, 78	3eqtrd 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
80		1zzd 12751	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
81		6nn 12456	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
82	81	nnzi 12744	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
83	82	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 6 ∈ ℤ)
84		4z 12754	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
85	84	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
86	3, 36, 4	ltleii 11457	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 4
87	86	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 4)
88		6re 12457	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
89	36, 88, 46	ltleii 11457	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 6
90	89	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 6)
91	80, 83, 85, 87, 90	elfzd 13671	. 2 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ (1...6))
92	65, 67	remulcld 11363	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) ∈ ℝ)
93	2, 79, 91, 92	fvmptd 7021	1 ⊢ (𝜑 → ((veronese‘𝑃)‘4) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ifcif 4485   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229   ≤ cle 11368  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  5c5 12424  6c6 12425  ℤcz 12717  ...cfz 13663  ↑cexp 14228  veronesecveronese 51246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-veronese 51247

This theorem is used by:  veronesevrowd  51257  veroquadgsumlem  51261