Theorem veronesev4lem 50976

Description: Lemma for veronesevrowd 50979. Value of the fourth coordinate of the Veronese map at a point. (Contributed by Jiamin Zhao, 17-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
veronesevrow.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
veronesev4lem	⊢ (𝜑 → ((veronese‘𝑃)‘4) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))

Proof of Theorem veronesev4lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		veronesevrow.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2	1	veronesevald 50971	. 2 ⊢ (𝜑 → (veronese‘𝑃) = (𝑥 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)))))
3		1re 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		1lt4 12521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 4
5	3, 4	gtneii 11422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 1
6		neeq1 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 1 ↔ 4 ≠ 1))
7	5, 6	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 1)
8	7	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 1)
9	8	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) = 0)
10	9	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → (if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) = (0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)))
11	10	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) = ((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)))
12		iftrue 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
13	12	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → (if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) = (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)))
14	13	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)) = ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)))
15	11, 14	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
16		2re 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2lt4 12520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 4
18	16, 17	gtneii 11422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 2
19		neeq1 3017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 2 ↔ 4 ≠ 2))
20	18, 19	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 2)
21	20	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 2)
22	21	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0) = 0)
23	22	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → (0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) = (0 + 0))
24	23	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) = ((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)))
25	24	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
26		3re 12423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		3lt4 12519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 4
28	26, 27	gtneii 11422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 3
29		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 3 ↔ 4 ≠ 3))
30	28, 29	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 3)
31	30	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 3)
32	31	iffalsed 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0) = 0)
33	32	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → ((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) = ((0 + 0) + 0))
34	33	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + 0) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
35	15, 25, 34	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 4 → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
36		4re 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℝ
37		4lt5 12522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 < 5
38	36, 37	ltneii 11423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 5
39		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 5 ↔ 4 ≠ 5))
40	38, 39	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 5)
41	40	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 5)
42	41	iffalsed 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0) = 0)
43	42	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) = (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0))
44	43	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)) = ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)))
45	44	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))))
46		4lt6 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 < 6
47	36, 46	ltneii 11423	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 6
48		neeq1 3017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 4 → (𝑥 ≠ 6 ↔ 4 ≠ 6))
49	47, 48	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 4 → 𝑥 ≠ 6)
50	49	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 4 → ¬ 𝑥 = 6)
51	50	iffalsed 4492	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 4 → if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0) = 0)
52	51	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 4 → ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0)) = ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0))
53	52	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 4 → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
54	35, 45, 53	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 4 → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
55	54	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
56		0red 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → 0 ∈ ℝ)
57	56, 56	readdcld 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + 0) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + 0) ∈ ℂ)
59	58	addridd 11510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((0 + 0) + 0) = (0 + 0))
60	59	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = ((0 + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
61		00id 11485	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + 0) = 0)
63	62	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((0 + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
64	60, 63	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)))
65	1	rr3fv1cld 50947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘1) ∈ ℝ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (𝑃‘1) ∈ ℝ)
67	1	rr3fv2cld 50948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘2) ∈ ℝ)
68	67	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (𝑃‘2) ∈ ℝ)
69	66, 68	remulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) ∈ ℝ)
70	69, 56	readdcld 11338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) ∈ ℝ)
71	70	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) ∈ ℂ)
72	71	addridd 11510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0) = (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0))
73	72	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0)))
74	69	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) ∈ ℂ)
75	74	addridd 11510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
76	75	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + (((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0)) = (0 + ((𝑃‘1) · (𝑃‘2))))
77	64, 73, 76	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((0 + 0) + 0) + ((((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) + 0) + 0)) = (0 + ((𝑃‘1) · (𝑃‘2))))
78	74	addlidd 11511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (0 + ((𝑃‘1) · (𝑃‘2))) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
79	55, 77, 78	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 4) → (((if(𝑥 = 1, ((𝑃‘1)↑2), 0) + if(𝑥 = 2, ((𝑃‘2)↑2), 0)) + if(𝑥 = 3, ((𝑃‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑥 = 4, ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)), 0) + if(𝑥 = 5, ((𝑃‘2) · (𝑃‘3)), 0)) + if(𝑥 = 6, ((𝑃‘3) · (𝑃‘1)), 0))) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))
80		1zzd 12727	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
81		6nn 12432	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ
82	81	nnzi 12720	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℤ
83	82	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 6 ∈ ℤ)
84		4z 12730	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℤ
85	84	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
86	3, 36, 4	ltleii 11433	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 4
87	86	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 4)
88		6re 12433	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℝ
89	36, 88, 46	ltleii 11433	. . . 4 ⊢ 4 ≤ 6
90	89	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 4 ≤ 6)
91	80, 83, 85, 87, 90	elfzd 13647	. 2 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ (1...6))
92	65, 67	remulcld 11339	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)) ∈ ℝ)
93	2, 79, 91, 92	fvmptd 7001	1 ⊢ (𝜑 → ((veronese‘𝑃)‘4) = ((𝑃‘1) · (𝑃‘2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   ≤ cle 11344  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  6c6 12401  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  veronesecveronese 50968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-veronese 50969

This theorem is used by:  veronesevrowd  50979  veroquadgsumlem  50983