Theorem 2sqlem5 26619

Description: Lemma for 2sq 26627. If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2sqlem5.3	⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
2sqlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
2sqlem5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem 2sqlem5

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem5.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆)
2		2sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
3	2	2sqlem2 26615	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
4	1, 3	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
5		2sqlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆)
6	2	2sqlem2 26615	. . 3 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
7	5, 6	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
8		reeanv 3214	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
9		reeanv 3214	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ↔ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
10		2sqlem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		2sqlem5.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 ∈ ℙ)
14		simplrr 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑥 ∈ ℤ)
15		simprlr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑦 ∈ ℤ)
16		simplrl 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑝 ∈ ℤ)
17		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑞 ∈ ℤ)
18		simprrr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
19		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)))
20	2, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	2sqlem4 26618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))) → 𝑁 ∈ 𝑆)
21	20	expr 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
22	21	rexlimdvva 3202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (∃𝑞 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
23	9, 22	syl5bir 243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
24	23	rexlimdvva 3202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℤ (∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
25	8, 24	syl5bir 243	. 2 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑝↑2) + (𝑞↑2)) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑁 ∈ 𝑆))
26	4, 7, 25	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071   ↦ cmpt 5164  ran crn 5601  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   + caddc 10924   · cmul 10926  ℕcn 12023  2c2 12078  ℤcz 12369  ↑cexp 13832  abscabs 14994  ℙcprime 16425  ℤ[i]cgz 16679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-fl 13562  df-mod 13640  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-dvds 16013  df-gcd 16251  df-prm 16426  df-gz 16680

This theorem is referenced by:  2sqlem6  26620