MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem5 27375
Description: Lemma for 2sq 27383. If a number that is a sum of two squares is divisible by a prime that is a sum of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
2sqlem5.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2sqlem5.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2sqlem5.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
2sqlem5.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
2sqlem5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem 2sqlem5
Dummy variables ๐‘ ๐‘ž ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem5.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘†)
2 2sq.1 . . . 4 ๐‘† = ran (๐‘ค โˆˆ โ„ค[i] โ†ฆ ((absโ€˜๐‘ค)โ†‘2))
322sqlem2 27371 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)))
41, 3sylib 217 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)))
5 2sqlem5.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘†)
622sqlem2 27371 . . 3 ((๐‘ ยท ๐‘ƒ) โˆˆ ๐‘† โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
75, 6sylib 217 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
8 reeanv 3224 . . 3 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
9 reeanv 3224 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†” (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))
10 2sqlem5.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1110ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
12 2sqlem5.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
14 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
15 simprlr 778 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
16 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
17 simprll 777 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
18 simprrr 780 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
19 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)))
202, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 192sqlem4 27374 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
2120expr 455 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
2221rexlimdvva 3209 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
239, 22biimtrrid 242 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
2423rexlimdvva 3209 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
258, 24biimtrrid 242 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘žโ†‘2)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
264, 7, 25mp2and 697 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067   โ†ฆ cmpt 5235  ran crn 5683  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   + caddc 11149   ยท cmul 11151  โ„•cn 12250  2c2 12305  โ„คcz 12596  โ†‘cexp 14066  abscabs 15221  โ„™cprime 16649  โ„ค[i]cgz 16905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-gz 16906
This theorem is referenced by:  2sqlem6  27376
  Copyright terms: Public domain W3C validator