Theorem 2sq 26922

Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of two squares. This is Metamath 100 proof #20. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sq	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem 2sq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)) = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 gcd 𝑏) = (𝑥 gcd 𝑏))
3	2	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ↔ (𝑥 gcd 𝑏) = 1))
4		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑2) = (𝑥↑2))
5	4	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)))
6	5	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2))))
7	3, 6	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)))))
8		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑥 gcd 𝑏) = (𝑥 gcd 𝑦))
9	8	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥 gcd 𝑏) = 1 ↔ (𝑥 gcd 𝑦) = 1))
10		oveq1 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑2) = (𝑦↑2))
11	10	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
12	11	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
13	9, 12	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
14	7, 13	cbvrex2vw 3239	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
15	14	abbii 2802	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))} = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
16	1, 15	2sqlem11 26921	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)))
17	1	2sqlem2 26910	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
18	16, 17	sylib 217	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  ∃wrex 3070   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109  2c2 12263  4c4 12265  ℤcz 12554   mod cmo 13830  ↑cexp 14023  abscabs 15177   gcd cgcd 16431  ℙcprime 16604  ℤ[i]cgz 16858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-phi 16695  df-pc 16766  df-gz 16859  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-rlreg 20891  df-domn 20892  df-idom 20893  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-evl 21627  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-evl1 21826  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-mon1 25639  df-uc1p 25640  df-q1p 25641  df-r1p 25642  df-lgs 26787

This theorem is referenced by:  2sqb  26924  2sqnn0  26930