Theorem 2sq 25375

Description: All primes of the form 4𝑘 + 1 are sums of two squares. This is Metamath 100 proof #20. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sq	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem 2sq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . 3 ⊢ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)) = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2		oveq1 6802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 gcd 𝑏) = (𝑥 gcd 𝑏))
3	2	eqeq1d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ↔ (𝑥 gcd 𝑏) = 1))
4		oveq1 6802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎↑2) = (𝑥↑2))
5	4	oveq1d 6810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)))
6	5	eqeq2d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2))))
7	3, 6	anbi12d 616	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)))))
8		oveq2 6803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑥 gcd 𝑏) = (𝑥 gcd 𝑦))
9	8	eqeq1d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥 gcd 𝑏) = 1 ↔ (𝑥 gcd 𝑦) = 1))
10		oveq1 6802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑏↑2) = (𝑦↑2))
11	10	oveq2d 6811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
12	11	eqeq2d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2)) ↔ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
13	9, 12	anbi12d 616	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (((𝑥 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑏↑2))) ↔ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))))
14	7, 13	cbvrex2v 3329	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
15	14	abbii 2888	. . 3 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))} = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑥 gcd 𝑦) = 1 ∧ 𝑧 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))}
16	1, 15	2sqlem11 25374	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → 𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)))
17	1	2sqlem2 25363	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
18	16, 17	sylib 208	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cab 2757  ∃wrex 3062   ↦ cmpt 4864  ran crn 5251  ‘cfv 6030  (class class class)co 6795  1c1 10142   + caddc 10144  2c2 11275  4c4 11277  ℤcz 11583   mod cmo 12875  ↑cexp 13066  abscabs 14181   gcd cgcd 15423  ℙcprime 15591  ℤ[i]cgz 15839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-ofr 7048  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-tpos 7507  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-ec 7901  df-qs 7905  df-map 8014  df-pm 8015  df-ixp 8066  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-phi 15677  df-pc 15748  df-gz 15840  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-prds 16315  df-pws 16317  df-imas 16375  df-qus 16376  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-nsg 17799  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-srg 18713  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-lidl 19388  df-rsp 19389  df-2idl 19446  df-nzr 19472  df-rlreg 19497  df-domn 19498  df-idom 19499  df-assa 19526  df-asp 19527  df-ascl 19528  df-psr 19570  df-mvr 19571  df-mpl 19572  df-opsr 19574  df-evls 19720  df-evl 19721  df-psr1 19764  df-vr1 19765  df-ply1 19766  df-coe1 19767  df-evl1 19895  df-cnfld 19961  df-zring 20033  df-zrh 20066  df-zn 20069  df-mdeg 24034  df-deg1 24035  df-mon1 24109  df-uc1p 24110  df-q1p 24111  df-r1p 24112  df-lgs 25240

This theorem is referenced by:  2sqb  25377