Theorem 2zrngmsgrp 45505

Description: R is a (multiplicative) semigroup. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngmsgrp	⊢ 𝑀 ∈ Smgrp

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngmsgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2		2zrngbas.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
3		2zrngmmgm.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
4	1, 2, 3	2zrngmmgm 45504	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ Mgm
5		elrabi 3618	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
6		elrabi 3618	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
7		elrabi 3618	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	3anim123i 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
9		zcn 12324	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		zcn 12324	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
11		zcn 12324	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	3anim123i 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
13		mulass 10959	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏)))
14	8, 12, 13	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}) → ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏)))
15	14	rgen3 3121	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏))
16	1, 2	2zrngbas 45494	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
17	3, 16	mgpbas 19726	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑀)
18	1, 17	eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} = (Base‘𝑀)
19	1, 2	2zrngmul 45503	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	3, 19	mgpplusg 19724	. . 3 ⊢ · = (+g‘𝑀)
21	18, 20	issgrp 18376	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Smgrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏))))
22	4, 15, 21	mpbir2an 708	1 ⊢ 𝑀 ∈ Smgrp

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   · cmul 10876  2c2 12028  ℤcz 12319  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  Mgmcmgm 18324  Smgrpcsgrp 18374  mulGrpcmgp 19720  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mgp 19721  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  2zrngALT  45506