Theorem aaliou3 25795

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou3	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸

Proof of Theorem aaliou3

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))
2		fveq2 6879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (!‘𝑘) = (!‘𝑖))
3	2	negeqd 11438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → -(!‘𝑘) = -(!‘𝑖))
4	3	oveq2d 7410	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑-(!‘𝑘)) = (2↑-(!‘𝑖)))
5	4	cbvsumv 15626	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑖))
6		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (!‘𝑗) = (!‘𝑖))
7	6	negeqd 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → -(!‘𝑗) = -(!‘𝑖))
8	7	oveq2d 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (2↑-(!‘𝑗)) = (2↑-(!‘𝑖)))
9		ovex 7427	. . . . . . 7 ⊢ (2↑-(!‘𝑖)) ∈ V
10	8, 1, 9	fvmpt 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖) = (2↑-(!‘𝑖)))
11	10	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑖)) = ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖))
12	11	sumeq2i 15629	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)
13	5, 12	eqtri 2760	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)
14		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)) = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖))
15	1, 13, 14	aaliou3lem9 25794	. 2 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
16	15	nelir 3049	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3046   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  1c1 11095  -cneg 11429  ℕcn 12196  2c2 12251  ...cfz 13468  ↑cexp 14011  !cfa 14217  Σcsu 15616  𝔸caa 25758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172  ax-addf 11173  ax-mulf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-oadd 8454  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-fi 9390  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-dju 9880  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-xnn0 12529  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-ioo 13312  df-ioc 13313  df-ico 13314  df-icc 13315  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-seq 13951  df-exp 14012  df-fac 14218  df-hash 14275  df-shft 14998  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15617  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17352  df-topn 17353  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-topgen 17373  df-pt 17374  df-prds 17377  df-xrs 17432  df-qtop 17437  df-imas 17438  df-xps 17440  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-cring 20019  df-subrg 20312  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-mopn 20876  df-fbas 20877  df-fg 20878  df-cnfld 20881  df-top 22327  df-topon 22344  df-topsp 22366  df-bases 22380  df-cld 22454  df-ntr 22455  df-cls 22456  df-nei 22533  df-lp 22571  df-perf 22572  df-cn 22662  df-cnp 22663  df-haus 22750  df-cmp 22822  df-tx 22997  df-hmeo 23190  df-fil 23281  df-fm 23373  df-flim 23374  df-flf 23375  df-xms 23757  df-ms 23758  df-tms 23759  df-cncf 24325  df-0p 25118  df-limc 25314  df-dv 25315  df-dvn 25316  df-cpn 25317  df-ply 25633  df-idp 25634  df-coe 25635  df-dgr 25636  df-quot 25735  df-aa 25759

This theorem is referenced by: (None)