Theorem aaliou3 26259

Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou3	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸

Proof of Theorem aaliou3

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))
2		fveq2 6858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (!‘𝑘) = (!‘𝑖))
3	2	negeqd 11415	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → -(!‘𝑘) = -(!‘𝑖))
4	3	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (2↑-(!‘𝑘)) = (2↑-(!‘𝑖)))
5	4	cbvsumv 15662	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑖))
6		fveq2 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (!‘𝑗) = (!‘𝑖))
7	6	negeqd 11415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → -(!‘𝑗) = -(!‘𝑖))
8	7	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (2↑-(!‘𝑗)) = (2↑-(!‘𝑖)))
9		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (2↑-(!‘𝑖)) ∈ V
10	8, 1, 9	fvmpt 6968	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖) = (2↑-(!‘𝑖)))
11	10	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝑖)) = ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖))
12	11	sumeq2i 15664	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)
13	5, 12	eqtri 2752	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) = Σ𝑖 ∈ ℕ ((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖)) = (𝑙 ∈ ℕ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑙)((𝑗 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑗)))‘𝑖))
15	1, 13, 14	aaliou3lem9 26258	. 2 ⊢ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∈ 𝔸
16	15	nelir 3032	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (2↑-(!‘𝑘)) ∉ 𝔸

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1c1 11069  -cneg 11406  ℕcn 12186  2c2 12241  ...cfz 13468  ↑cexp 14026  !cfa 14238  Σcsu 15652  𝔸caa 26222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-0p 25571  df-limc 25767  df-dv 25768  df-dvn 25769  df-cpn 25770  df-ply 26093  df-idp 26094  df-coe 26095  df-dgr 26096  df-quot 26199  df-aa 26223

This theorem is referenced by: (None)