MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsdrscl 18591
Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
acsdrscl ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))

Proof of Theorem acsdrscl
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 → (toInc‘𝑡) = (toInc‘𝑌))
21eleq1d 2826 . . . 4 (𝑡 = 𝑌 → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3 unieq 4918 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑌 𝑡 = 𝑌)
43fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 → (𝐹 𝑡) = (𝐹 𝑌))
5 imaeq2 6074 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑌 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑌))
65unieqd 4920 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑌))
74, 6eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑡 = 𝑌 → ((𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡) ↔ (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌)))
82, 7imbi12d 344 . . 3 (𝑡 = 𝑌 → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))))
9 isacs3lem 18587 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
10 acsdrscl.f . . . . . . 7 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1110isacs4lem 18589 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
129, 11syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
1312simprd 495 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
1413adantr 480 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
15 elfvdm 6943 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
16 pwexg 5378 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom ACS → 𝒫 𝑋 ∈ V)
17 elpw2g 5333 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
1918biimpar 477 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
208, 14, 19rspcdva 3623 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌)))
21203impia 1118 1 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  dom cdm 5685  cima 5688  cfv 6561  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  ACScacs 17628  Dirsetcdrs 18339  toInccipo 18572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator