Theorem acsdrscl 18746

Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
acsdrscl	⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))

Proof of Theorem acsdrscl

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (toInc‘𝑡) = (toInc‘𝑌))
2	1	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3		unieq 4881	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ∪ 𝑡 = ∪ 𝑌)
4	3	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (𝐹‘∪ 𝑡) = (𝐹‘∪ 𝑌))
5		imaeq2 6059	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (𝐹 “ 𝑡) = (𝐹 “ 𝑌))
6	5	unieqd 4883	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ∪ (𝐹 “ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))
7	4, 6	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ((𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡) ↔ (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌)))
8	2, 7	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))))
9		isacs3lem 18742	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
10		acsdrscl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
11	10	isacs4lem 18744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
12	9, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
13	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
15		elfvdm 6939	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
16		pwexg 5344	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom ACS → 𝒫 𝑋 ∈ V)
17		elpw2g 5299	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
19	18	biimpar 483	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
20	8, 14, 19	rspcdva 3581	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌)))
21	20	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  dom cdm 5655   “ cima 5658  ‘cfv 6555  Moorecmre 17778  mrClscmrc 17779  ACScacs 17781  Dirsetcdrs 18493  toInccipo 18727

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ocomp 17475  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-proset 18494  df-drs 18495  df-poset 18513  df-ipo 18728

This theorem is used by: (None)