MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsdrscl 18604
Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
acsdrscl ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))

Proof of Theorem acsdrscl
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 → (toInc‘𝑡) = (toInc‘𝑌))
21eleq1d 2824 . . . 4 (𝑡 = 𝑌 → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3 unieq 4923 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑌 𝑡 = 𝑌)
43fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 → (𝐹 𝑡) = (𝐹 𝑌))
5 imaeq2 6076 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑌 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑌))
65unieqd 4925 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑌))
74, 6eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑡 = 𝑌 → ((𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡) ↔ (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌)))
82, 7imbi12d 344 . . 3 (𝑡 = 𝑌 → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))))
9 isacs3lem 18600 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
10 acsdrscl.f . . . . . . 7 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1110isacs4lem 18602 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
129, 11syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
1312simprd 495 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
1413adantr 480 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
15 elfvdm 6944 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
16 pwexg 5384 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom ACS → 𝒫 𝑋 ∈ V)
17 elpw2g 5339 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
1918biimpar 477 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
208, 14, 19rspcdva 3623 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌)))
21203impia 1116 1 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912  dom cdm 5689  cima 5692  cfv 6563  Moorecmre 17627  mrClscmrc 17628  ACScacs 17630  Dirsetcdrs 18351  toInccipo 18585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator