Theorem acsdrscl 18591

Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsdrscl.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
acsdrscl	⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))

Proof of Theorem acsdrscl

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (toInc‘𝑡) = (toInc‘𝑌))
2	1	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3		unieq 4918	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ∪ 𝑡 = ∪ 𝑌)
4	3	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (𝐹‘∪ 𝑡) = (𝐹‘∪ 𝑌))
5		imaeq2 6074	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (𝐹 “ 𝑡) = (𝐹 “ 𝑌))
6	5	unieqd 4920	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ∪ (𝐹 “ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))
7	4, 6	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → ((𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡) ↔ (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌)))
8	2, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑌 → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))))
9		isacs3lem 18587	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)))
10		acsdrscl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
11	10	isacs4lem 18589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → ∪ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
12	9, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡))))
13	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑡) = ∪ (𝐹 “ 𝑡)))
15		elfvdm 6943	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
16		pwexg 5378	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom ACS → 𝒫 𝑋 ∈ V)
17		elpw2g 5333	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
19	18	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
20	8, 14, 19	rspcdva 3623	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌)))
21	20	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹‘∪ 𝑌) = ∪ (𝐹 “ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  dom cdm 5685   “ cima 5688  ‘cfv 6561  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  ACScacs 17628  Dirsetcdrs 18339  toInccipo 18572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573

This theorem is referenced by: (None)