Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdrscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsdrscl 17775
 Description: In an algebraic closure system, closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
acsdrscl ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))

Proof of Theorem acsdrscl
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 → (toInc‘𝑡) = (toInc‘𝑌))
21eleq1d 2877 . . . 4 (𝑡 = 𝑌 → ((toInc‘𝑡) ∈ Dirset ↔ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset))
3 unieq 4814 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑌 𝑡 = 𝑌)
43fveq2d 6653 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 → (𝐹 𝑡) = (𝐹 𝑌))
5 imaeq2 5896 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑌 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑌))
65unieqd 4817 . . . . 5 (𝑡 = 𝑌 (𝐹𝑡) = (𝐹𝑌))
74, 6eqeq12d 2817 . . . 4 (𝑡 = 𝑌 → ((𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡) ↔ (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌)))
82, 7imbi12d 348 . . 3 (𝑡 = 𝑌 → (((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)) ↔ ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))))
9 isacs3lem 17771 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)))
10 acsdrscl.f . . . . . . 7 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1110isacs4lem 17773 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶((toInc‘𝑠) ∈ Dirset → 𝑠𝐶)) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
129, 11syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡))))
1312simprd 499 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
1413adantr 484 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toInc‘𝑡) ∈ Dirset → (𝐹 𝑡) = (𝐹𝑡)))
15 elfvdm 6681 . . . . 5 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ACS)
16 pwexg 5247 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom ACS → 𝒫 𝑋 ∈ V)
17 elpw2g 5214 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → (𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋))
1918biimpar 481 . . 3 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
208, 14, 19rspcdva 3576 . 2 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋) → ((toInc‘𝑌) ∈ Dirset → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌)))
21203impia 1114 1 ((𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ (toInc‘𝑌) ∈ Dirset) → (𝐹 𝑌) = (𝐹𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500  ∪ cuni 4803  dom cdm 5523   “ cima 5526  ‘cfv 6328  Moorecmre 16848  mrClscmrc 16849  ACScacs 16851  Dirsetcdrs 17532  toInccipo 17756 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ocomp 16581  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-drs 17534  df-poset 17551  df-ipo 17757 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator