Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem5b 38911
Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Second equation of part (5) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
baerlem5b (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5b
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.m . 2 = (-g𝑊)
3 baerlem3.o . 2 0 = (0g𝑊)
4 baerlem3.s . 2 = (LSSum‘𝑊)
5 baerlem3.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6 baerlem3.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 baerlem3.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
8 baerlem3.c . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9 baerlem3.d . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10 baerlem3.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 baerlem3.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 baerlem5a.p . 2 + = (+g𝑊)
13 eqid 2824 . 2 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
14 eqid 2824 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15 eqid 2824 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16 eqid 2824 . 2 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17 eqid 2824 . 2 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18 eqid 2824 . 2 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19 eqid 2824 . 2 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19baerlem5blem2 38908 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) (𝑁‘{𝑋}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cdif 3915  cin 3917  {csn 4548  {cpr 4550  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  invgcminusg 18093  -gcsg 18094  LSSumclsm 18748  LSpanclspn 19729  LVecclvec 19860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-lsm 18750  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-drng 19490  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lvec 19861
This theorem is referenced by:  baerlem5bmN  38913  baerlem5abmN  38914  mapdh6lem2N  38930  hdmap1l6lem2  39004
  Copyright terms: Public domain W3C validator