Theorem baerlem5b 41704

Description: An equality that holds when 𝑋, 𝑌, 𝑍 are independent (non-colinear) vectors. Second equation of part (5) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem5a.p	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
baerlem5b	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Proof of Theorem baerlem5b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		baerlem3.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑊)
3		baerlem3.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
4		baerlem3.s	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
5		baerlem3.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		baerlem3.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		baerlem3.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		baerlem3.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
9		baerlem3.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
10		baerlem3.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11		baerlem3.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12		baerlem5a.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		eqid 2730	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		eqid 2730	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
15		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
16		eqid 2730	. 2 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
17		eqid 2730	. 2 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2730	. 2 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
19		eqid 2730	. 2 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	baerlem5blem2 41701	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌}) ⊕ (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ⊕ (𝑁‘{𝑋}))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3913   ∩ cin 3915  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17408  inv_gcminusg 18872  -_gcsg 18873  LSSumclsm 19570  LSpanclspn 20883  LVecclvec 21015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lvec 21016

This theorem is referenced by:  baerlem5bmN  41706  baerlem5abmN  41707  mapdh6lem2N  41723  hdmap1l6lem2  41797