MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyadd 26095
Description: The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
plyadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
plyadd.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
plyadd (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐น   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem plyadd
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘š ๐‘› ๐‘ง ๐‘Ž ๐‘ ๐‘— ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
2 elply2 26074 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘† โІ โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
32simprbi 496 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
41, 3syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
5 plyadd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
6 elply2 26074 . . . 4 (๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘† โІ โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
76simprbi 496 . . 3 (๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
85, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
9 reeanv 3218 . . 3 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
10 reeanv 3218 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
11 simp1l 1194 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐œ‘)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
1511, 14sylan 579 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
16 simp1rl 1235 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
17 simp1rr 1236 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
18 simp2l 1196 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
19 simp2r 1197 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
20 simp3ll 1241 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0})
21 simp3rl 1243 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0})
22 simp3lr 1242 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
23 oveq1 7409 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘˜))
2423oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
2524sumeq2sdv 15652 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
26 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐‘Žโ€˜๐‘—))
27 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘คโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘—))
2826, 27oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
2928cbvsumv 15644 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3025, 29eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3130cbvmptv 5252 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3222, 31eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
33 simp3rr 1244 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
3423oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
3534sumeq2sdv 15652 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
36 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘โ€˜๐‘—))
3736, 27oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3837cbvsumv 15644 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3935, 38eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4039cbvmptv 5252 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4133, 40eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
4212, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41plyaddlem 26093 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
43423expia 1118 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))) โ†’ ((((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4443rexlimdvva 3203 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4510, 44biimtrrid 242 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4645rexlimdvva 3203 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
479, 46biimtrrid 242 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
484, 8, 47mp2and 696 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   โˆช cun 3939   โІ wss 3941  {csn 4621   โ†ฆ cmpt 5222   โ€œ cima 5670  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   โˆ˜f cof 7662   โ†‘m cmap 8817  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112  โ„•0cn0 12471  โ„คโ‰ฅcuz 12821  ...cfz 13485  โ†‘cexp 14028  ฮฃcsu 15634  Polycply 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-ply 26066
This theorem is referenced by:  plysub  26097  plyaddcl  26098  plyco  26119  plydivlem4  26174  iaa  26203  rngunsnply  42467
  Copyright terms: Public domain W3C validator