MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyadd 25601
Description: The sum of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
plyadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
plyadd.3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
plyadd (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐น   ๐‘ฅ,๐‘†,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ

Proof of Theorem plyadd
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘š ๐‘› ๐‘ง ๐‘Ž ๐‘ ๐‘— ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyadd.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
2 elply2 25580 . . . 4 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
32simprbi 498 . . 3 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
41, 3syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
5 plyadd.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
6 elply2 25580 . . . 4 (๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘† โŠ† โ„‚ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
76simprbi 498 . . 3 (๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
85, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))
9 reeanv 3216 . . 3 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
10 reeanv 3216 . . . . 5 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))))
11 simp1l 1198 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐œ‘)
1211, 1syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
1311, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
14 plyadd.3 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
1511, 14sylan 581 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ + ๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
16 simp1rl 1239 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
17 simp1rr 1240 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
18 simp2l 1200 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
19 simp2r 1201 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
20 simp3ll 1245 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0})
21 simp3rl 1247 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0})
22 simp3lr 1246 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
23 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘˜))
2423oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
2524sumeq2sdv 15597 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
26 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘˜) = (๐‘Žโ€˜๐‘—))
27 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘คโ†‘๐‘˜) = (๐‘คโ†‘๐‘—))
2826, 27oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
2928cbvsumv 15589 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3025, 29eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3130cbvmptv 5222 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3222, 31eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐น = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
33 simp3rr 1248 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
3423oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
3534sumeq2sdv 15597 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)))
36 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘โ€˜๐‘˜) = (๐‘โ€˜๐‘—))
3736, 27oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
3837cbvsumv 15589 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘คโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))
3935, 38eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ๐‘ค โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4039cbvmptv 5222 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—)))
4133, 40eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ ๐บ = (๐‘ค โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘—) ยท (๐‘คโ†‘๐‘—))))
4212, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 32, 41plyaddlem 25599 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)) โˆง (((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
43423expia 1122 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))) โ†’ ((((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4443rexlimdvva 3202 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)(((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง ((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4510, 44biimtrrid 242 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
4645rexlimdvva 3202 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
479, 46biimtrrid 242 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘Ž โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘š + 1))) = {0} โˆง ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘Žโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0)((๐‘ โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + 1))) = {0} โˆง ๐บ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))) โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†)))
484, 8, 47mp2and 698 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ (Polyโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โˆช cun 3912   โŠ† wss 3914  {csn 4590   โ†ฆ cmpt 5192   โ€œ cima 5640  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โ†‘m cmap 8771  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„•0cn0 12421  โ„คโ‰ฅcuz 12771  ...cfz 13433  โ†‘cexp 13976  ฮฃcsu 15579  Polycply 25568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-ply 25572
This theorem is referenced by:  plysub  25603  plyaddcl  25604  plyco  25625  plydivlem4  25679  iaa  25708  rngunsnply  41547
  Copyright terms: Public domain W3C validator